INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

Shanksの恒等式の拡張と円周率近似の作図

整数整数-31 整数-113 整数-355 数数-円周率 Ramanujan

以前紹介したShanksの恒等式

integers.hatenablog.com

はWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています:

$K^2=m+n$ のとき、

$\sqrt{K+\sqrt{n}}+\sqrt{K+m-\sqrt{n}+2\sqrt{m(K-\sqrt{n})}} = \sqrt{m}+\sqrt{2(K+\sqrt{m})}.$

$11^2=5+116$ のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えば $6^2=5+31$ より

$\begin{align}&\sqrt{6+\sqrt{31}}+\sqrt{11-\sqrt{31}+2\sqrt{30-5\sqrt{31}}} = \sqrt{5}+\sqrt{12+2\sqrt{5}}\\ &=6.294655903737137999795666954270866835755781658953676453787\dots \end{align}$

が得られますし、 $12^2=31+113$ より

$\begin{align}&\sqrt{12+\sqrt{113}}+\sqrt{43-\sqrt{113}+2\sqrt{372-31\sqrt{113}}} = \sqrt{31}+\sqrt{24+2\sqrt{31}}\\ &=11.49528734681414510373602785519044656701402256143457869209\dots \end{align}$

が得られます。

$6^2=5+31$ 、 $12^2=31+113$ と言えばピンとくるものがありますよね。

~~私がフリーハンドで描いた次の芸術的な図をご覧ください~~(GeoGebraで描き直しました)：

f:id:integers:20180212004837p:plain

$O$ を中心とする円を考える.
$AB$ は円の直径.
$M$ は $AO$ の中点. $T$ は $OB$ を $2:1$ に内分する点.
$PT$ は $AB$ と垂直.
$BQ=PT$ .
$OS$ と $TR$ は $BQ$ と平行.
$AD=AS$ .
$AC=RS$ で、 $AC$ を延長してできる直線は円の $A$ における接線.
$BE=BM$ .
$EX$ は $CD$ と平行*1.

このとき、Ramanujan曰く、「 $BX^2$ は円の面積に非常に近い」(1914年)。

$AO=1$ としてみましょう。勾股弦の定理を使っていけば計算できます*2。まず、 $PT$ を求めると $\displaystyle PT=\frac{\sqrt{5}}{3}$ . よって、 $\displaystyle BQ=\frac{\sqrt{5}}{3}$ . これより、

$\displaystyle AQ=\sqrt{4-\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{6^2-5}}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3}$ .

よって、 $\displaystyle AS=\frac{\sqrt{31}}{6}$ 、 $\displaystyle AC=RS=\frac{\sqrt{31}}{9}$ .

$\displaystyle BC = \sqrt{4+\frac{31}{81}}=\frac{\sqrt{18^2+31}}{9}=\frac{\sqrt{355}}{9}$ .

$\displaystyle BE=BM=\frac{3}{2}$ .

$\displaystyle BD = \sqrt{4-\frac{31}{36}}=\frac{\sqrt{12^2-31}}{6} = \frac{\sqrt{113}}{6}$ .

従って、

$\displaystyle BX= \frac{BE}{BD}\times BC = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{113}}{6}}\times \frac{\sqrt{355}}{9} = \sqrt{\frac{355}{113}}$ .

すなわち、 $BX^2$ は密率

$\displaystyle \frac{355}{113}=3.141592920353982300884955752212389380530973451327433628318\dots$

になっていることが分かりました。密率については

integers.hatenablog.com

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください。

実は密率に現れる $113$ と $355$ には $31$ が

$113= 12^2-31, \quad 355= 18^2+31$

という形で関わっており、それを上手く作図化したというわけです。見事。

*1: $X$ は $AD$ 上にはない。

*2:integers.hatenablog.com