重心
三角形に対して、辺
の中点を
とする。辺
, 辺
についても同様に考えて
を定義する。
定理: 直線は一点で交わる。
この一点を重心という。
特徴: 重心をとすると、
が成り立つ。
垂心
三角形に対して、点
から辺
への垂線の足を
とする。辺
, 辺
についても同様に考えて
を定義する。
定理: 直線は一点で交わる。
この一点を垂心という。
外心
三角形に対して、辺
の垂直二等分線を
とする。辺
, 辺
についても同様に考えて
を定義する。
定理: は一点で交わる。
この一点を外心という。
特徴: 外心は三角形の外接円の中心である。
内心
三角形に対して、
の二等分線を
とする。角
, 角
についても同様に考えて
を定義する。
定理: は一点で交わる。
この一点を内心という。
特徴: 内心は三角形の内接円の中心である。
傍心
三角形に対して、
の二等分線を
とする。また、角
の外角、角
の外角の二等分線をそれぞれ
とする。
定理: は一点で交わる。
についても同様に考えることによって得られる三角形
の外側の三つの点を傍心という(つまり、傍心は三つある)。
特徴: 定理で定まる点は辺, 直線
, 直線
に接する円(傍接円)の中心である。
第一Fermat-Torricelli点
三角形に対して、
を一辺とする二つの正三角形のうち直線
について点
と反対側にあるものを
とする。辺
, 辺
についても同様に考えて
を定義する。
定理: の外接円と
の外接円と
の外接円は一点で交わる。
この一点を第一Fermat-Torricelli点という。
特徴: 三角形が内角が
以上の頂点を持たないとき、第一Fermat-Torricelli点
は三頂点からの距離の和が最小となるような点になっている。また、
になっている。
第二Fermat-Torricelli点
三角形に対して、
を一辺とする二つの正三角形のうち直線
について点
と同じ側にあるものを
とする。辺
, 辺
についても同様に考えて
を定義する。
定理: の外接円と
の外接円と
の外接円は一点で交わる。
この一点を第二Fermat-Torricelli点という。
参考記事: 三角形の五心の話(10)Fermat点
Napoléonの三角形とNapoléon点
第一・第二Fermat-Torricelli点の記号を利用する。
定理: の重心をそれぞれ結んでできる三角形は正三角形である。また、
の重心をそれぞれ結んでできる三角形も正三角形である。これら二つの正三角形の重心は三角形
の重心と一致する。
これらの正三角形をそれぞれNapoléonの外三角形・内三角形という。
定理: の重心をそれぞれ
とする。このとき、直線
は一点で交わる。
この一点を第一Napoléon点という。
定理: の重心をそれぞれ
とする。このとき、直線
は一点で交わる。
この一点を第二Napoléon点という。
参考記事: ナポレオンの定理とナポレオン点
Euler線
三角形の重心・垂心・外心をそれぞれを
とする。
定理: は同一直線上に存在する。
が正三角形でないとき、この直線をEuler線という。
特徴: が成り立つ。
九点円
三角形に対して、重心・垂心の項目で定義した点
を考え、
を垂心とする。
の中点ををそれぞれ
とする。
定理: 九点は同一円周上に存在する。
この円を九点円という。
特徴: 九点円の中心はEuler線上にあり、外心と垂心の中点である。
Feuerbachの定理
定理: 三角形の内接円と九点円は内接し、傍接円と九点円は外接する。
沢(澤)山勇三郎はこの定理の証明を二十二通り与えたらしい。
Lesterの定理
この定理によって存在する円のことをLester円という。要は次のようになっているということだ:



この記事ではN. I. BeluhovによるLesterの定理の証明を紹介する。
Beluhovの補題
だと
が存在しない。

証明. に関して
と対称な点を
,
と対称な点を
とする。

示すべきことはが直線
上にあることである。理由:
に関する対称変換で
と対応しており、直線は直線に移るため。
各点の定義からが成り立つ。
また、
と角度を追跡できる。よって、
三角形と三角形
は互いに相似な二等辺三角形であり、底角は
に等しい
ことがわかった。
接弦定理より三角形と三角形
は相似である。この相似が定める変換
によって、点
を
と定義する(
と
が対応する)。このとき、
という相似があるため、であることから
が従う。すると、三角形が二等辺三角形であることを思い出すと、二組の対辺がそれぞれ等しいので四角形
は平行四辺形である。
また、
と角度を追跡できるので、点は直線
上にあることがわかる。よって、直線
と直線
は平行である。
点をベクトルの等式
が成り立つように導入する。すると、三辺相等によって
が成り立つ。よって、
が成り立ち、直線と直線
は平行なので錯角を見ると
が得られる。三角形の外接円と直線
の交点を
とする。示すべきことは
である。
円周角の定理よりなので、
.
同様に、
および円周角の定理からわかるより
を得る。
よって、一辺両端角相等よりが成り立ち、これは
を示している。 Q.E.D.
第一・第二Fermat-Torricelli点とNapoléonの三角形の関係
証明. 三角形を考える。第一・第二Fermat-Torricelli点の定義で使った正三角形
の記号を用いる。これら六つの正三角形の重心をそれぞれ
とする。第一Fermat-Torricelli点を
, 第二Fermat-Torricelli点を
とする。Napoléonの定理より
および
はともに正三角形である。
と分割する。
は同一円周上にある。理由: 定義より
が成り立つので、
は
の外接円上にある。よって、定義より
もこの上にある。
よって、円周角の定理より.
同様には同一円周上にあるので
.
故にが成り立ち、円周角の定理の逆によって
は三角形
の外接円上にあることがわかる。
次に、と分割する。
は同一円周上にある。理由: 定義より
が成り立つので、
は
の外接円上にある。よって、定義より
もこの上にある。
よって、円周角の定理より.
同様には同一円周上にあるので
.
故にが成り立ち、円周角の定理の逆によって
は三角形
の外接円上にあることがわかる。 Q.E.D.
Lesterの定理の証明
不等辺三角形を考えて、上記定理と同じ記号を用いる。正三角形
および
の重心は三角形
の重心
に一致する。
主張の証明. 上述の定理およびの定義より
は
中心の円と
中心の円の共通弦となっており、従って
は直線
に関する
の対称点となっている。また、
は
中心の円と
中心の円の共通弦となっており、
は直線
に関する
の対称点となっている*1。定義より
と
は互いに直線
に関して対称な位置にあるので
である。これより
がわかり、
より
は直線
上にはなく
は三角形をなしていることから
および
も三角形をなすことわかり、直線
が三角形
の外接円の
における接線と平行でないことがわかる。よって、三角形
に対してBeluhovの補題を適用することができ、帰結として
は直線
上にあることが従う。
,
に対しても同様に考えることによって
は三直線
の交点であることが示された。ところで、定義から
はそれぞれ辺
の垂直二等分線である。つまり、
は三角形
の外心である。 主張の証明終わり.

三角形の九点円の中心を
とする。三角形
の垂心を
とすると、
はEuler線(=直線
)上にあり、
,
が成り立つのであった。つまり、
=
であり、
もEuler線上にあって
は
の中点となっている。よって、方べきの定理より
が成り立ち、方べきの定理の逆より四点は同一円周上にあることが示された。 Q.E.D.
*1:この時点ではの可能性を論じていないが、仮に等号が成り立ったとしても対称であるという主張は正しい。