三木の恒等式をリーマンゼータ値の関係式に書き直す

$n$ は $2$ 以上の整数とします。

関-Bernoulli数に関するEuler-Ramanujanの恒等式

$\displaystyle -(2n+1)B_{2n} = \sum_{k=1}^{n-1}\binom{2n}{2k}B_{2k}B_{2n-2k}$

をEulerの公式

$\displaystyle \zeta (2n) = \frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n}$

を使ってRiemannゼータ関数の偶数値の関係式であるWilliamsの公式

$\displaystyle \zeta (2n)=\frac{2}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)$

に書き換えることができました(リーマンゼータ関数 - INTEGERS)。

同様にして、三木の恒等式

$\displaystyle 2H_{2n}\frac{B_{2n}}{2n} = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{B_{2n}}{2n}\frac{B_{2n-2k}}{2n-2k}- \sum_{k=1}^{n-1}\binom{2n}{2k}\frac{B_{2n}}{2n}\frac{B_{2n-2k}}{2n-2k}$

をEulerの公式で書き換えると

$\displaystyle \zeta(2n) = \frac{2n}{H_{2n}}\Biggl(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\zeta(2k)}{2k}\frac{\zeta(2n-2k)}{2n-2k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\binom{2n}{2k}}\frac{\zeta(2k)}{2k}\frac{\zeta(2n-2k)}{2n-2k}\Biggr)$

という関係式になります。どう表示するのがセンスが良いのか分かりませんが、 $\zeta_{/}(s):=\zeta(s)/s$ と定義すれば

$\displaystyle \zeta_{/}(2n) = \frac{1}{H_{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\binom{2n}{2k}-1}{\binom{2n}{2k}}\zeta_{/}(2k)\zeta_{/}(2n-2k)$

と表すこともできます。

例えば、 $n=4$ のときを考えると、Williamの公式からは

$9\zeta(8)=4\zeta(2)\zeta(6)+2\zeta(4)^2$

が言えて、今回の公式からは

$761\zeta(8)=360\zeta(2)\zeta(6)+138\zeta(4)^2$

が言えます。

どうでもよい蘊蓄ですが、 $761$ は素数で、円周率の十進法表記における小数点以下 $761$ 個の数字を終えた第 $762$ 位より $9$ が6連続で並んでおり、Feynman pointと呼ばれています。

$\begin{align}\pi = &3.14159265358979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 59\\ &23078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 093844\\ &6095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489\\ & 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564\\ &856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 06315588\\ &17 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 13\\ &84146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 310511\\ &8548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362\\ & 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931\\ &767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 75778960\\ &91 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 42\\ &01995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4\color{red}{999999}\cdots\end{align}$