私達は実数を有理数で近似したい。
誤差未満の範囲で実数が有理数で近似されている状況は、不等式を用いて
と表すことができます。
さて、そもそも実数は有理数列の極限なので、いくらでも小さい誤差で近似できます。
例えば、円周率は
と有理数で近似できます。誤差はとても小さく感じます。
一方で、
が成り立ちます。
とを比較すると、とではの方が小さいので、はよりも良い近似であると考えてよいでしょうか?
実際は有理数とでは円周率の近似として後者の方が優れている点があります。それは「近似分数の分母の大きさに対して誤差がどれぐらい小さいか」を考えたときにわかってきます。
については
が成り立つ(!)のに対し、については
ぐらいしか言えません。
つまり、は近似の誤差と「1/分母」の大きさが大体同じぐらいの大きさなのに対し、は近似の誤差が「1/(分母の3乗)」で押さえられており、この観点で円周率近似としてはの方が圧倒的に優秀であると考えることができるのです。
は円周率に「効率よく」近いというわけです。
今、は有理数で近似されたがっている実数だとしましょう。
各正整数がの有理近似の分母を担うとき、近似の誤差をについてどれぐらいにできるかを考えたいです。
先ほどのの場合は
の型の有理近似が, , の場合に成立していたと考えることができます。
誤差としてだけを考えるべきだという理由は何もないので、いっそのこと完全に一般化して、この部分をに関する関数 に置き換えて研究することにしましょう!:
として、
という型の有理近似が成り立つかを考察していきます。
ちなみに、円周率は の場合にで近似が存在しましたが、他のでも見つかるでしょうか?
実際は、そのようなは有限個しかないだろうと予想されています。
もしこの予想が正しければ、に対してが良い円周率近似を与えたことは偶発的であったと言えるでしょう。
そのような偶発的にしか近似できない状況ではない場合、すなわち、関数 を指定したときにが成り立つが無限に存在する場合に興味が湧きます。
そのような場合を「はレベル の有理近似列を持つ」と表現してみましょう。
ただし、「はレベル の有理近似列を持つ」の定義において、無限に存在して欲しい各有理数は既約分数でとることができると仮定しておきます(とは互いに素)*1。
このような概念が生み出されると色々と研究をしたくなります。例えば、を指定したときに、どのようながレベル の有理近似列を持つかを知りたくなります。
問題は自由に設定できますが、実際の先行研究において、ある問題設定でとてもとても面白い現象が発見されました。
それは「レベル の有理近似列を持つの割合を調べる」という問題設定です。
具体的なを幾つか、あるいは欲張りに全部決定しようとするのではなく、要求を「どれぐらいあるか」ということだけに妥協して、緩い問題設定にするのです。
ここでの「割合」の意味を数学的に定めましょう。
まず、がレベル の有理近似列を持つならば、もレベル の有理近似列を持つことは明らかです。vice versa.
なので、考えるの範囲は閉区間に限定できます。
そこで、集合を
と定め、のルベーグ測度でもって「割合」と考えることにしましょう。
のルベーグ測度 なら「レベル の有理近似列を持つ実数は全然ないんだなあ」と思うことができますし、
のルベーグ測度 なら「殆ど全ての実数がレベル の有理近似列を持つんだなあ」と思うことができますし、
のルベーグ測度 なら「レベル の有理近似列を持つ実数は半分ぐらいなんだなあ」と思うことができます。
なので、この問題意識のもとでは、を指定する毎にが計算できればとても嬉しいです。
答えはこうです。
「のルベーグ測度はかしかとりえない。」
更に。
「とても単純な判定基準によって、かかを判定可能である。」
その判定基準とは。
をオイラーのトーシェント関数とします。すなわち、はと互いに素な以下の正整数の個数です。
ここで、正項級数
を考えましょう。
これは 毎に有限値に収束するか、正の無限大に発散するかのいずれかです。
DuffinとSchaefferは1941年、次の美しい予想に到達しました。
「のとき、のルベーグ測度はであり、
のとき、のルベーグ測度はである。」
R. J. Duffin, A. C. Schaeffer, Khinchin’s problem in metric Diophantine approximation, Duke Math. J. 8 (1941), 243–255.
級数の収束・発散でのルベーグ測度がからに切り替わるなんて、とても不思議です。
約80年もの期間、この予想は未解決であり続けましたが、KoukoulopoulosとMaynardがこの予想を解決するに至りました。
D. Koukoulopoulos, J. Maynard, On the Duffin-Schaeffer conjecture, Ann. of Math. 192 (2020), 251–307.
よって、上記判定法は真であります。
最後にDuffin−Schaeffer予想の応用を1つ紹介します。として
を選びます。
すると、が素数でない場合は不等式は成立し得ません。なので、素数とで割れない整数を用いて
という不等式が成り立つようなの近似を考察していることになります(分母が素数であるような近似に限定)。
素数の逆数和が発散することに注意すると、今考えている に対して
が成り立ちます。
よって、Duffin−Schaeffer予想曰く
「殆ど全ての実数に対して、が成り立つような有理近似(は素数ではで割れない整数)が無限に存在する。」
素敵!
*1:既約分数を考えることは自然に思われるかもしれませんが、実際は既約とは限らない場合が先行的に研究されてきました。その上で、既約分数を扱いたくなる部分にこそ重要な歴史の流れがあるのですが、この記事では全て割愛します。