インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

やたらすごい素数

313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393


これは何の変哲もない只の1089桁の素数に見えたかもしれない。


本当にそうだろうか?


1089=33\times 33なので、この素数を33桁毎に改行して33×33の正方形の形に書いてみよう。


\begin{align}&313991399371199131139799331911377\\
&147529895941991587879456361416793\\
&343797754289852575517133312684269\\
&943695978946644516863648961536981\\
&354977375935673418795287369494189\\
&373478623641239162919379269294319\\
&941871985794933399739235523691657\\
&154837889117834232678974449658279\\
&117129522895488222612449716435651\\
&112797868118722475112367318718359\\
&954332756851152845673554343833423\\
&958324129279242571543956244312159\\
&149656971499164148747227159798119\\
&915531789396889314926554998567389\\
&189177184378411356887579966732519\\
&395769634484946484155736859195773\\
&976485587598811713196922772648319\\
&742413259665798111566314845954551\\
&344321292792178583218155711143611\\
&735499324729469232679643212644511\\
&755544726594454683193623626957711\\
&324895114496128478896375157597659\\
&974246467315936911531792288239249\\
&136494329788845728831611728857639\\
&343337449493221561738959339141347\\
&119138332653219119612984163669317\\
&356624631952956188127648784846583\\
&361813646131913157456632928169513\\
&747231224138425962243343371145487\\
&745954412587484837933238642278851\\
&955148574512595199969685612245439\\
&118737626399742196143742577819117\\
&917319979999777371311371999793393\end{align}



この見事な正方形を眺めていると、33桁の数が33個並んでいるように思えてくる。


もう、お気づきだろうか?


そう、313991399371199131139799331911377

から  \ \ 917319979999777371311371999793393

までの33個の数は全て素数なのである。


更に、これら33個の数をそれぞれひっくり返してみてほしい。


\begin{align}&773119133997931131991173993199313\\
&397614163654978785199149598925741\\
&962486213331715575258982457797343\\
&189635169846368615446649879596349\\
&981494963782597814376539573779453\\
&913492962973919261932146326874373\\
&756196325532937993339497589178149\\
&972856944479876232438711988738451\\
&156534617944216222884598225921711\\
&953817813763211574227811868797211\\
&324338343455376548251158657233459\\
&951213442659345175242972921423859\\
&911897951722747841461994179656941\\
&983765899455629413988693987135519\\
&915237669975788653114873481771981\\
&377591958637551484649484436967593\\
&913846277229691317118895785584679\\
&155459548413665111897566952314247\\
&116341117551812385871297292123443\\
&115446212346976232964927423994537\\
&117759626326391386454495627445557\\
&956795751573698874821694411598423\\
&942932882297135119639513764642479\\
&936758827116138827548887923494631\\
&743141933959837165122394944733343\\
&713966361489216911912356233831911\\
&385648487846721881659259136426653\\
&315961829236654751319131646318163\\
&784541173343342269524831422132747\\
&158872246832339738484785214459547\\
&934542216586969991595215475841559\\
&711918775247341691247993626737811\\
&393397999173113173777999979913719\end{align}


こうして得られる33個の数も全て素数だ。


つまり、先ほどの33個の数は全てエマープだったのだ。



ところで、最初の正方形を縦向きの方向にも眺めてみただろうか?


\begin{align}&\color{red}{3}13991399371199131139799331911377\\
&\color{red}{1}47529895941991587879456361416793\\
&\color{red}{3}43797754289852575517133312684269\\
&\color{red}{9}43695978946644516863648961536981\\
&\color{red}{3}54977375935673418795287369494189\\
&\color{red}{3}73478623641239162919379269294319\\
&\color{red}{9}41871985794933399739235523691657\\
&\color{red}{1}54837889117834232678974449658279\\
&\color{red}{1}17129522895488222612449716435651\\
&\color{red}{1}12797868118722475112367318718359\\
&\color{red}{9}54332756851152845673554343833423\\
&\color{red}{9}58324129279242571543956244312159\\
&\color{red}{1}49656971499164148747227159798119\\
&\color{red}{9}15531789396889314926554998567389\\
&\color{red}{1}89177184378411356887579966732519\\
&\color{red}{3}95769634484946484155736859195773\\
&\color{red}{9}76485587598811713196922772648319\\
&\color{red}{7}42413259665798111566314845954551\\
&\color{red}{3}44321292792178583218155711143611\\
&\color{red}{7}35499324729469232679643212644511\\
&\color{red}{7}55544726594454683193623626957711\\
&\color{red}{3}24895114496128478896375157597659\\
&\color{red}{9}74246467315936911531792288239249\\
&\color{red}{1}36494329788845728831611728857639\\
&\color{red}{3}43337449493221561738959339141347\\
&\color{red}{1}19138332653219119612984163669317\\
&\color{red}{3}56624631952956188127648784846583\\
&\color{red}{3}61813646131913157456632928169513\\
&\color{red}{7}47231224138425962243343371145487\\
&\color{red}{7}45954412587484837933238642278851\\
&\color{red}{9}55148574512595199969685612245439\\
&\color{red}{1}18737626399742196143742577819117\\
&\color{red}{9}17319979999777371311371999793393\end{align}



縦向きに読んでできる33桁の数を横向きに並べ替えると次のようになる。


\begin{align}&\color{red}{313933911199191397377391313377919} \\
&144457451155418974435273415644511 \\
&373343147248959562455446396175587 \\
&957694881733651744345824316829173 \\
&929977732932537681294949332135431 \\
&197578179724617953194564784314879 \\
&387936985871971652237143436624569 \\
&995772882652788385922162433421727 \\
&954853592869194479246479921642469 \\
&392996718182433456775437469115539 \\
&748434919157997896929918955338199 \\
&119651475819968485294658332187299 \\
&198662984712184987144198229944577 \\
&995473338254681419765234215128947 \\
&912439348222491618894865196354527 \\
&155541322485133471526497511198113 \\
&387116932747415811838712618563997 \\
&175682922551846431323818198727961 \\
&185879766165798115261858761429913 \\
&371691371174428596179933312543641 \\
&997359982233767566893611827633931 \\
&741623294359255793166376996632673 \\
&953487374655257321542791584343847 \\
&963879549746749624533521948238521 \\
&333932547332199878726127317936659 \\
&361666241144596574112582368274179 \\
&112199396834986925126788934812279 \\
&946542664783757169169528168112287 \\
&118399953131963945445935464647419 \\
&164644185832872584347797196958593 \\
&372913626341135735657626335548413 \\
&796881575525181715111543418185319 \\
&739199791939999391111999773371973 \end{align}



これら33個の数は素数であるが、それぞれをひっくり返した


\begin{align}&919773313193773793191991119339313\\
&115446514372534479814551154754441 \\
&785571693644554265959842741343373 \\
&371928613428543447156337188496759\\
&134531233949492186735239237779929 \\
&978413487465491359716427971875791 \\
&965426634341732256179178589639783 \\
&727124334261229583887256288277599 \\
&964246129974642974491968295358459 \\
&935511964734577654334281817699293\\
&991833559819929698799751919434847\\
&992781233856492584869918574156911\\
&775449922891441789481217489266891\\
&749821512432567914186452833374599\\
&725453691568498816194222843934219\\
&311891115794625174331584223145551\\
&799365816217838118514747239611783\\
&169727891818323134648155229286571\\
&319924167858162511897561667978581\\
&146345213339971695824471173196173\\
&139336728116398665767332289953799\\
&376236699673661397552953492326147 \\
&748343485197245123752556473784359\\
&125832849125335426947647945978369 \\
&956639713721627878991233745239333\\
&971472863285211475695441142666163 \\
&972218439887621529689438693991211\\
&782211861825961961757387466245649\\
&914746464539544549369131359993811\\
&395859691797743485278238581446461\\
&314845533626756537531143626319273\\
&913581814345111517181525575188697 \\
&379173377999111193999939197991937\end{align}


達も素数だ。



もっと、素数が欲しいって?



では、斜めに33個の数を取り出してごらんなさい。


\begin{align}&\color{red}{3}13991399371199131139799331911377\\
&1\color{red}{4}7529895941991587879456361416793\\
&34\color{red}{3}797754289852575517133312684269\\
&943\color{red}{6}95978946644516863648961536981\\
&3549\color{red}{7}7375935673418795287369494189\\
&37347\color{red}{8}623641239162919379269294319\\
&941871\color{red}{9}85794933399739235523691657\\
&1548378\color{red}{8}9117834232678974449658279\\
&11712952\color{red}{2}895488222612449716435651\\
&112797868\color{red}{1}18722475112367318718359\\
&9543327568\color{red}{5}1152845673554343833423\\
&95832412927\color{red}{9}242571543956244312159\\
&149656971499\color{red}{1}64148747227159798119\\
&9155317893968\color{red}{8}9314926554998567389\\
&18917718437841\color{red}{1}356887579966732519\\
&395769634484946\color{red}{4}84155736859195773\\
&9764855875988117\color{red}{1}3196922772648319\\
&74241325966579811\color{red}{1}566314845954551\\
&344321292792178583\color{red}{2}18155711143611\\
&7354993247294692326\color{red}{7}9643212644511\\
&75554472659445468319\color{red}{3}623626957711\\
&324895114496128478896\color{red}{3}75157597659\\
&9742464673159369115317\color{red}{9}2288239249\\
&13649432978884572883161\color{red}{1}728857639\\
&343337449493221561738959\color{red}{3}39141347\\
&1191383326532191196129841\color{red}{6}3669317\\
&35662463195295618812764878\color{red}{4}846583\\
&361813646131913157456632928\color{red}{1}69513\\
&7472312241384259622433433711\color{red}{4}5487\\
&74595441258748483793323864227\color{red}{8}851\\
&955148574512595199969685612245\color{red}{4}39\\
&1187376263997421961437425778191\color{red}{1}7\\
&91731997999977737131137199979339\color{red}{3}\end{align}


\color{red}{343678982159181411273391364148413}


これは素数で、逆から読んだ


\displaystyle 314841463193372114181951289876343


も素数となっている。


もう一つの対角線上に並ぶ


\begin{align}&31399139937119913113979933191137\color{red}{7}\\
&1475298959419915878794563614167\color{red}{9}3\\
&343797754289852575517133312684\color{red}{2}69\\
&94369597894664451686364896153\color{red}{6}981\\
&3549773759356734187952873694\color{red}{9}4189\\
&373478623641239162919379269\color{red}{2}94319\\
&94187198579493339973923552\color{red}{3}691657\\
&1548378891178342326789744\color{red}{4}9658279\\
&117129522895488222612449\color{red}{7}16435651\\
&11279786811872247511236\color{red}{7}318718359\\
&9543327568511528456735\color{red}{5}4343833423\\
&958324129279242571543\color{red}{9}56244312159\\
&14965697149916414874\color{red}{7}227159798119\\
&9155317893968893149\color{red}{2}6554998567389\\
&189177184378411356\color{red}{8}87579966732519\\
&39576963448494648\color{red}{4}155736859195773\\
&9764855875988117\color{red}{1}3196922772648319\\
&742413259665798\color{red}{1}11566314845954551\\
&34432129279217\color{red}{8}583218155711143611\\
&7354993247294\color{red}{6}9232679643212644511\\
&755544726594\color{red}{4}54683193623626957711\\
&32489511449\color{red}{6}128478896375157597659\\
&9742464673\color{red}{1}5936911531792288239249\\
&136494329\color{red}{7}88845728831611728857639\\
&34333744\color{red}{9}493221561738959339141347\\
&1191383\color{red}{3}2653219119612984163669317\\
&356624\color{red}{6}31952956188127648784846583\\
&36181\color{red}{3}646131913157456632928169513\\
&7472\color{red}{3}1224138425962243343371145487\\
&745\color{red}{9}54412587484837933238642278851\\
&95\color{red}{5}148574512595199969685612245439\\
&1\color{red}{1}8737626399742196143742577819117\\
&\color{red}{9}17319979999777371311371999793393\end{align}


\color{red}{915933639716468114827957743296297}


も素数で、もうお分かりの通り、これを逆から読んだ


792692347759728411864617936339519


も素数である。



こうして、我々はとある1089桁の素数から作られる33×33の正方形の縦横斜めに合計68個のエマープ(つまり、136個の素数)があることを知ったが、これら136個の素数は全て相異なっている*1



確認用素数判定機(1089桁のやつもすぐ判定できます)
www.alpertron.com.ar

※発見者は私ではありません。私自身はPrime Curios!というサイトで知ったのですが、実際の発見者は知りません。ただ、検証はしました。

追記:一般的には「Prime Curios!に投稿した人=発見者」ではないですが、このやたらすごい素数については投稿者であるJens Kruse Andersenが発見者と思われます。Prime Recordsというやばいサイトの管理者です。

関連記事
integers.hatenablog.com

*1:なお、最初の1089桁の素数は残念ながらエマープではない。リバースした数はとりあえず149 \times 641597771で割り切れる。