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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

スターリングの公式

この記事ではStirlingの公式を次の形で証明します(Robbinsによる)。

Stirlingの公式 nを正整数とするとき、
\displaystyle n!=\sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}e^{r_n}
\displaystyle \frac{1}{12n+1} < r_n < \frac{1}{12n}
を満たす形で成り立つ。

証明. S_n:=\log (n!) = \sum_{j=1}^{n-1}\log(j+1)とし、

\displaystyle \log (j+1) = A_j+B_j-\varepsilon_j

と分ける。ここで、

\begin{align} A_j &:= \int_j^{j+1}\log xdx \\ B_j &:= \frac{1}{2}(\log(j+1)-\log j) \\ \varepsilon_j &:= \int_j^{j+1}\log xdx - \frac{1}{2}(\log(j+1)+\log j)= \frac{2j+1}{2}\log \frac{j+1}{j}-1\end{align}

である。すると、

\displaystyle S_n = \sum_{j=1}^{n-1}(A_j+B_j-\varepsilon_j) = \int_1^n\log x dx+\frac{1}{2}\log n-\sum_{j=1}^{n-1}\varepsilon_j = \left(n+\frac{1}{2}\right)\log n-n+1-\sum_{j=1}^{n-1}\varepsilon_j

となる。対数関数のマクローリン展開によって

\displaystyle \log \frac{1+x}{1-x} = 2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}, \quad \left|x\right| < 1

なので、x=(2j+1)^{-1}とおくと \frac{1+x}{1-x} = \frac{j+1}{j}であり、

\displaystyle \varepsilon_j = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2j+1)^{2k}}

である。よって、

\displaystyle \varepsilon_j < \frac{1}{3(2j+1)^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2j+1)^{2k}} = \frac{1}{3(2j+1)^2}\cdot \frac{1}{1-(2j+1)^{-2}}=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}\right)

\begin{align} \varepsilon_j &> \frac{1}{3(2j+1)^2}\left(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(3(2j+1)^2)^k}\right) =\frac{1}{3(2j+1)^2}\cdot \frac{1}{1-(3(2j+1)^2)^{-1}} \\ &> \frac{1}{12}\left(\frac{1}{j+\frac{1}{12}}-\frac{1}{j+1+\frac{1}{12}}\right)\end{align}

望遠鏡和のパーツで押さえられる。故に、r_n:=\sum_{j=n}^{\infty}\varepsilon_jとすれば

\displaystyle \frac{1}{12n+1} < r_n < \frac{1}{12n}

かつ

\displaystyle S_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\log n-n+1-r_1+r_n

となって、C:=e^{1-r_1}とすれば

\displaystyle n!=Cn^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}e^{r_n}

が示された。Cの決定は

mathtrain.jp

を見よ。 Q.E.D.