明示的ABC予想

ABC予想について述べた記事

integers.hatenablog.com

において「強い予想」として次を述べていました：

予想任意のABCトリプル $(a, b, c)$ に対して不等式

$c < \mathrm{rad}(abc)^2$

が成り立つ。

この予想は A. Granville, T. J. Tucker, "It’s as easy as abc", Notices of the AMS, 49 (2002), 1224-31. のp. 1227には既に述べられています。

しかし、ABCトリプルのクオリティの現状の記録は $q(2, 3^{10}\cdot 109, 23^5)≒1.6299$ なので、指数 $2$ をもうちょっと下げられるのではないかという気はします。この記事では、 $7/4=1.75$ と予想できるということを述べます。

Laishram-Shorey予想 任意のABCトリプル $(a, b, c)$ に対して不等式

$c < \mathrm{rad}(abc)^{\frac{7}{4}}$

が成り立つ。

何故このようなことを予想できるかについてですが、実はBakerによる次のような予想が知られています。

Bakerの明示的ABC予想 任意のABCトリプル $(a, b, c)$ に対して不等式

$\displaystyle c < \frac{6}{5}\cdot \frac{N(\log N)^{\omega(N)}}{\omega(N)!}$

が成り立つ。ここで、 $N=\mathrm{rad}(abc)$ であり、 $\omega$ は素因数の個数を表す数論的関数。

この予想は

A. Baker, "Experiments on the abc-conjecture", Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 253–260.

で提唱されたものです。予想の根拠はこの記事では取り合えず述べないことにして、この予想を仮定するとLaishram-Shorey予想が導出されるということを紹介します。

$p_i$ : $i$ 番目の素数.
$\displaystyle \vartheta(x) := \sum_{p \leq x}\log p$ : Chebyshev関数( $p$ は素数, $x > 0$ ).
$\displaystyle p_n\# := \prod_{i=1}^np_i$ : 素数階乗.

命題 $N$ を正整数とし、 $\omega = \omega(N)$ とする。また、 $\varepsilon > 0$ をとる。このとき、正整数 $\omega_{\varepsilon}$ が存在して、 $N \geq p_{\omega_{\varepsilon}}\#$ であれば

$\displaystyle \frac{(\log N)^{\omega}}{\omega !} < \frac{N^{\varepsilon}}{\sqrt{2\pi \omega_{\varepsilon}}}$

が成り立つ。

証明. 正整数 $n$ に対して、 $F(n)$ を

$\displaystyle F(n):=\log n+\log \log n-1.076869$

と定める。 $n \geq 5$ であれば $F(n) > 1$ である*1。正整数 $\omega_{\varepsilon}'$ を

$\varepsilon F(n)-\log F(n) \geq 1, \quad ({}^{\forall}n \geq \omega_{\varepsilon}')$

が成り立つような $5$ 以上で最小のものとする。一旦、 $\omega \geq \omega_{\varepsilon}'$ と仮定する。 $N \geq p_{\omega}\#$ であることと、 $\varepsilon F(\omega) \geq 1+\log F(\omega) > 1$ およびRobinの定理

$\vartheta(p_n) \geq nF(n), \quad (n \geq 1)$

より*2、

$\displaystyle \log N \geq \vartheta (p_{\omega}) \geq \omega F(\omega) > \frac{\omega}{\varepsilon}$

が成り立つ。微分すれば関数 $\frac{x^{\varepsilon}}{(\log x)^{\omega}}$ は $x \geq \omega /\varepsilon$ で単調増加であることがわかるため、

$\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} \geq \frac{\omega !e^{\varepsilon \omega F(\omega)}}{(\omega F(\omega) )^{\omega}} > \sqrt{2\pi\omega}\left(\frac{\omega}{e}\right)^{\omega}\frac{e^{\varepsilon \omega F(\omega)}}{(\omega F(\omega) )^{\omega}}$

なる不等式を得る(Stirlingの公式を用いている)。

$\begin{align} \log \left(\sqrt{2\pi\omega}\left(\frac{\omega}{e}\right)^{\omega}\frac{e^{\varepsilon \omega F(\omega)}}{(\omega F(\omega) )^{\omega}} \right) &= \log \sqrt{2\pi \omega}+\omega (\log \omega -1)+\varepsilon \omega F(\omega)-\omega (\log \omega + \log F(\omega) ) \\ &> \log \sqrt{2\pi \omega}+\omega \left(\varepsilon F(\omega)-\log F(\omega)-1\right) \geq \log \sqrt{2 \pi \omega}\end{align}$

と評価できるので、結局

$\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} > \sqrt{2\pi \omega}$ −①

が得られた( $\omega \geq \omega_{\varepsilon}'$ の場合。この仮定はここまで)。 $\omega_{\varepsilon}$ を

$\displaystyle \vartheta (p_n) \geq \frac{n}{\varepsilon}, \quad \frac{n!(p_n\#)^{\varepsilon}}{(\vartheta(p_n) )^n} > \sqrt{2\pi n}, \quad (\omega_{\varepsilon} \leq {}^{\forall}n \leq \omega_{\varepsilon}')$

が成り立つ最小正整数と定める( $n=\omega_{\varepsilon}'$ で成立することは①で $N=p_{\omega_{\varepsilon}'}\#$ とすればわかる。よって、 $\omega_{\varepsilon}$ は確かに存在する)。そうすると、部分的に同じ議論が適用できて①は $\omega \geq \omega_{\varepsilon}$ に対して成立することわかり、このとき所望の不等式が成立する。

よって、後は $\omega < \omega_{\varepsilon}$ かつ $N \geq p_{\omega_{\varepsilon}}\#$ のときを考えればよい。このとき、

$\displaystyle \log N \geq \vartheta(p_{\omega_{\varepsilon}}) \geq \frac{\omega_{\varepsilon}}{\varepsilon}$

なので、

$\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} \geq \frac{\omega !(p_{\omega_{\varepsilon}}\#)^{\varepsilon}}{\vartheta (p_{\omega_{\varepsilon}})^{\omega}} = \frac{\omega_{\varepsilon}!(p_{\omega_{\varepsilon}}\#)^{\varepsilon}}{\vartheta(p_{\omega_{\varepsilon}})^{\omega_{\varepsilon}}}\cdot \frac{\omega !}{\omega_{\varepsilon}!}(\vartheta (p_{\omega_{\varepsilon}}) )^{\omega_{\varepsilon}-\omega} > \sqrt{2\pi \omega_{\varepsilon}} \cdot \frac{\omega !\omega_{\varepsilon}^{\omega_{\varepsilon}-\omega}}{\omega_{\varepsilon}!} \geq \sqrt{2\pi \omega_{\varepsilon}}$

と所望の評価が得られる。 Q.E.D.

定理 Bakerの明示的ABC予想が成立すると仮定すると、Laishram-Shorey予想が成り立つ。

証明. 正整数 $N$ に対して $\omega=\omega(N)$ とするとき、

$\displaystyle \frac{(\log N)^{\omega}}{\omega !} < \frac{5}{6}N^{\frac{3}{4}}$

が成り立つことを示せばよい。さて、命題の証明における $\omega_{\varepsilon}'$ および $\omega_{\varepsilon}$ は $\varepsilon$ から明示的に計算可能である。数値計算をすれば*3、 $\omega_{\frac{3}{4}} = 14$ が確認できる。

$\displaystyle \sqrt{2\pi \omega_{\frac{3}{4}}} = 9.37894... \geq \frac{6}{5}$

なので、命題より、 $N < 43\#$ の場合を考えればよい( $\omega < 14$ )。 $4 \leq \omega < 14$ のときは数値計算によって

$\displaystyle \log N \geq \vartheta (p_{\omega}) \geq \frac{4}{3}\omega$

が確認でき、関数 $x^{\frac{3}{4}}/(\log x)^{\omega}$ の単調性から

$\displaystyle \frac{\omega !N^{\varepsilon}}{(\log N)^{\omega}} \geq \frac{\omega !(p_{\omega}\#)^{\varepsilon}}{\vartheta (p_{\omega})^{\omega}} > \frac{6}{5}$

が確認できる(最後の不等式は数値計算)。あとは $\omega=1, 2, 3$ の場合であるが、このとき、

$\displaystyle \frac{\omega !N^{\frac{3}{4}}}{(\log N)^{\omega}} > \frac{6}{5}$ −②

が $N=e^{\frac{4\omega}{3}}$ に対して成立することを確認できるため(三回計算するだけ)、単調性より $N \geq e^{\frac{4\omega}{3}}$ に対しては主張が成立することがわかった。

最終的に残ったのは、 $\omega=1, 2, 3$ かつ $N < e^{\frac{4\omega}{3}}$ の場合のみで、それは

$N=2, 3, 6, 10, 12, 14, 30, 42$

に限定される。これらのときも②の成立が直接確認できる。 Q.E.D.

*1: $F(5)=1.008454...$

*2:G. Robin, Estimation de la fonction de Tchebychef $\theta$ sur le $k$ -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction $\omega(n)$ nombre de diviseurs premiers de n, Acta Arith. 42 (1983), 367-389. これは素数定理関連のeffectiveな結果の一つで、Rosser-SchoenfeldやDusartの結果などをこれまでの記事でも使ってきたが、一貫して証明を紹介するのは諦めているものの一つである。

*3: $\frac{3}{4}x-\log x-1$ の零点は $2.61$ と $2.62$ の間にあり、 $F(14)=2.532610..., F(15) = 2.627410...$ である。つまり、 $\omega_{\frac{3}{4}}'=15$ がわかる。また、 $p_{14}=43$ で、 $\vartheta(p_{13})=33.34887..., \vartheta(p_{14})=37.11007...$ , $G(n)=(n!(p_n\#)^{3/4})/(\vartheta(p_n) )^n$ としたとき、 $G(13)=7.18867... < \sqrt{2\pi \cdot 13} =9.03777...$ , $G(14)=11.35135... > \sqrt{2\pi \cdot 14} = 9.37894...$ なので $\omega_{\frac{3}{4}}=14$ が確定する。

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数、特に整数に関する記事。

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