インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

図形の問題の解答

高校数学

先日紹介した思い出の図形問題

integers.hatenablog.com

の解答を幾つか紹介します。

解答１

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AB=CDという条件から、図のように

\triangle ABD \equiv \triangle CDE

となるように点Eを導入する。このとき、AD=CEかつ\angle ADE=\angle CED=110^{\circ}が成り立ち、この状況において四角形ADECが等脚台形になっていることはよく知られた通り。よって、錯角を見れば\angle ACB=40^{\circ}がわかる。

解答２

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図のようにBE=BAとなるように(すなわち、\angle AEB=70^{\circ}となるように)補助線AEを引く。このとき、二辺夾角相等により

\triangle ABE \equiv \triangle DCA

が示せるので、\angle ACB=\angle EBA=40^{\circ}を得る。


以上、二つの解答は直接的な証明ですが、解答１は補助線を２本使うのに対し、解答２は補助線１本で済むというのが中学生時代の私の小さな喜びだったわけです。この問題を色々なところで人に話すと、解答２を答えてくれる人もたくさんいます。一方、以下で述べる解答３、４は間接法です*1。

同一法

問題の条件を満たす図形の存在は"up to similarity"で一意的であることがすぐに分かります。なので、\angle ACB=40^{\circ}であって問題の条件が全て成立するような図形を構成出来れば証明が完了します。論理的にはそれだけの話ですが、受験業界では同一法という用語を用いることが多いようです。同一法による証明を紹介しましょう。

解答３

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図のように底角が40^{\circ}であるような二等辺三角ABCを考え、\angle BAD=30^{\circ}となるように線分BC上に点Dをとる。このとき、AB=CDを示せばよいが、\angle CAD=\angle CDA=70^{\circ}なので、AC=CDであり、AB=AC=CDを得る。

なお、この図形は正十八角形の対角線のみで作ることができます(正十八角形の一辺に対する円周角は10^{\circ}なので、容易に角度計算ができます)。

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解答４は背理法です。

解答４

f:id:integers:20161012224246j:plain

? < 40^{\circ}と仮定する。このとき、AB < ACとなり、従ってDC < ACとなる。すると、\angle CAD < \angle ADC = 70^{\circ}となって、\triangle ACDの内角の和が180^{\circ}より小さくなってしまう。しかし、我々は今Euclid幾何学の世界にいるのであった。? > 40^{\circ}としても同様の矛盾が生じ、?=40^{\circ}でなければならない。

*1:それぞれ、同僚のゼリーさん、あーくさんから教えていただきました。

局所有限性に関する補題

定理解説

定義 位相空間Xの部分集合族\mathcal{F}が局所有限であるとは、Xの各点が高々有限個の\mathcal{F}の元としか共通部分を持たないような近傍を持つときにいう。

補題１ Xを位相空間、\mathcal{F}をXの局所有限な部分集合族とし、\mathcal{F}の元は全て閉集合であるとする。このとき、\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}Fも閉集合となる。

証明.Oを\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}Fの補集合としてOが開集合であることを示す。O \neq \emptysetのときに示せばよい。x \in Oを任意に取る。\mathcal{F}が局所有限なので、x \in Vであり、Vと共通部分を持つ\mathcal{F}の元が有限個(それらをF_1, \dots, F_kとする)であるような開集合Vが存在する。\displaystyle U:=\bigcap_{i=1}^k(X\setminus F_i) \cap Vとおくと、これは開集合でx \in Uであり、\displaystyle U \cap \bigcup_{F \in \mathcal{F}}F=\emptysetなのでU \subset Oを満たす。よって、Oは開集合である。 Q.E.D.

補題２ Hausdorff位相群の任意の離散部分群は閉部分群である。

証明. HをGの離散部分群とする。\displaystyle H=\bigcup_{h \in H}\{h\}であるが、任意のh \in Hに対して\{h\}は閉集合(GはHausdorff)なので、\displaystyle \mathcal{F}:=\{\{h\}\mid h\in H\}が局所有限であることを示せば補題１よりHはGの閉部分群となる。よって、\mathcal{F}が局所有限であることを示そう。Gの単位元をeとする。\mathcal{F}が局所有限でないと仮定して矛盾を導く。すなわち、あるg \in Gが存在してgの任意の近傍が\mathcal{F}の無限個の元と共通部分を持つ(すなわち、Hの元を無数に含む)と仮定する。HがGの離散部分群であることからU\cap H=\{e\}を満たすようなGの開部分集合Uが存在する。更にGが位相群であることからe \in V, V^{-1}V \subset Uを満たす開集合Vが存在する。gVはgの近傍なので、仮定よりh_1, h_2 \in Hが存在してh_1, h_2 \in gVおよびh_1 \neq h_2が成り立つ。すると、h_1^{-1}h_2 \in V^{-1}V \subset Uなので、e \neq h_1^{-1}h_2 \in U \cap Hとなり、Uの取り方に矛盾する。 Q.E.D.

当然、Hausdorffという仮定の部分はT_0でもよいです。ちなみにT_0位相群はHausdorffです。

ハッピー・ゴー・ラッキー数

整数 整数-941547 整数-37117 整数-786271 整数-23893

ハッピー・ゴー・ラッキー数とは、ハッピー数かつラッキー数であるような自然数のことを言います。

integers.hatenablog.com

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ハッピー・ゴー・ラッキー数最初の100個

\begin{align}&1, 7, 13, 31, 49, 79, 129, 133, 193, 219, 319, 331, 367, 391, 409, 487, 655, 673, 739, 931, \\ &937, 1009, 1029, 1039, 1093, 1209,1233, 1251, 1275, 1281, 1285, 1303, 1309, 1323,\\ &1339, 1533, 1575, 1587, 1599, 1663, 1771, 1857, 1933, 1959, 1995, 2019, 2115, 2121,\\ &2133, 2211, 2221, 2257, 2511, 2527, 2545, 2557, 2571, 2575, 2715, 2725, 2755, 2815,\\ &2845, 2851, 2899, 2901, 3031, 3091, 3097, 3109, 3123, 3133, 3153, 3213, 3301, 3313,\\ &3351, 3355, 3465, 3607, 3661, 3709, 3763,3789, 3879, 3897, 3931, 4069, 4255, 4257,\\ &4285, 4287, 4363, 4441, 4455, 4609, 4653, 4663, 4725, 4741\end{align}

10000番目のハッピー・ゴー・ラッキー数941547を僕は「串行こーよ、な！」で覚えています。

ハッピー・ゴー・ラッキー素数

ハッピー・ゴー・ラッキー数であって素数であるようなものをハッピー・ゴー・ラッキー素数と言います。

なんだか幸福感半端なさそうな数ですネ！

ハッピー・ゴー・ラッキー素数最初の100個

\begin{align}&7, 13, 31, 79, 193, 331, 367, 409, 487, 673, 739, 937, 1009, 1039, 1093, 1303, 1663, 1933,\\ &2221, 2557, 2851, 3109, 3301, 3313, 3607, 3709, 3931 , 4363, 4441, 4663, 5527, 5569,\\ &6163, 6367, 6373, 6661, 6733, 6763, 7603, 8233, 10009, 10903, 11113, 11197, 11491,\\ &13009, 13177, 13309, 14281, 14347, 14407, 14437, 14449, 14461, 15121, 16417, 17713,\\ &18253, 18523, 18757, 19333, 19963, 20899, 21787, 21841, 22381, 22651, 22921, 23893,\\ &24181, 25057, 25237, 25561, 25621, 25657, 26251, 27283, 27793, 28123, 28351, 28393,\\ &28513, 28771, 28837, 28933, 30013, 30103, 30313, 30367, 30643, 31033, 31039, 31699,\\ &32803, 33091, 33289, 34603, 36037, 36067, 37117\end{align}


100番目のハッピー・ゴー・ラッキー素数の覚え方は「皆いいな」、

1000番目のハッピー・ゴー・ラッキー素数786271を僕は「悩むトゥナイッ☆」で覚えています。

「兄さんヤクザ」23893もハッピー・ゴー・ラッキー素数ですね。