局所有限性に関する補題

定義位相空間 $X$ の部分集合族 $\mathcal{F}$ が局所有限であるとは、 $X$ の各点が高々有限個の $\mathcal{F}$ の元としか共通部分を持たないような近傍を持つときにいう。

補題１ $X$ を位相空間、 $\mathcal{F}$ を $X$ の局所有限な部分集合族とし、 $\mathcal{F}$ の元は全て閉集合であるとする。このとき、 $\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}F$ も閉集合となる。

証明. $O$ を $\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}F$ の補集合として $O$ が開集合であることを示す。 $O \neq \emptyset$ のときに示せばよい。 $x \in O$ を任意に取る。 $\mathcal{F}$ が局所有限なので、 $x \in V$ であり、 $V$ と共通部分を持つ $\mathcal{F}$ の元が有限個(それらを $F_1, \dots, F_k$ とする)であるような開集合 $V$ が存在する。 $\displaystyle U:=\bigcap_{i=1}^k(X\setminus F_i) \cap V$ とおくと、これは開集合で $x \in U$ であり、 $\displaystyle U \cap \bigcup_{F \in \mathcal{F}}F=\emptyset$ なので $U \subset O$ を満たす。よって、 $O$ は開集合である。 Q.E.D.

補題２ Hausdorff位相群の任意の離散部分群は閉部分群である。

証明. $H$ を $G$ の離散部分群とする。 $\displaystyle H=\bigcup_{h \in H}\{h\}$ であるが、任意の $h \in H$ に対して $\{h\}$ は閉集合( $G$ はHausdorff)なので、 $\displaystyle \mathcal{F}:=\{\{h\}\mid h\in H\}$ が局所有限であることを示せば補題１より $H$ は $G$ の閉部分群となる。よって、 $\mathcal{F}$ が局所有限であることを示そう。 $G$ の単位元を $e$ とする。 $\mathcal{F}$ が局所有限でないと仮定して矛盾を導く。すなわち、ある $g \in G$ が存在して $g$ の任意の近傍が $\mathcal{F}$ の無限個の元と共通部分を持つ(すなわち、 $H$ の元を無数に含む)と仮定する。 $H$ が $G$ の離散部分群であることから $U\cap H=\{e\}$ を満たすような $G$ の開部分集合 $U$ が存在する。更に $G$ が位相群であることから $e \in V, V^{-1}V \subset U$ を満たす開集合 $V$ が存在する。 $gV$ は $g$ の近傍なので、仮定より $h_1, h_2 \in H$ が存在して $h_1, h_2 \in gV$ および $h_1 \neq h_2$ が成り立つ。すると、 $h_1^{-1}h_2 \in V^{-1}V \subset U$ なので、 $e \neq h_1^{-1}h_2 \in U \cap H$ となり、 $U$ の取り方に矛盾する。 Q.E.D.