体と正整数に対して、写像が多項式写像であるとは、が存在して
が成り立つときにいいます。この記事ではTaoの記事とそのコメント欄を参考に次の定理のSerreの議論に基づいた証明を解説します。
Hilbertの零点定理を使って、無限体の話を有限体の話へ移します。この記事では可換環論の幾つかの命題を既知と仮定します。
可換環論からの準備
Hilbertの零点定理
を体とし、のイデアルに対して、を
と定義し、集合に対してイデアルを
と定義する。また、イデアルの根基は
で定義されるイデアルである。
Jacobson環
可換環がJacobson環であるとは、の任意の素イデアルが極大イデアルの共通部分として表されるときにいう。体やはJacobson環である。
この定理はHilbertの零点定理の一般化と考えることができる。実際、体がJacobson環であることからのイデアルに対して*1が成立し、これがkeyとなってが代数閉体の場合に零点定理の主張が証明される。
この定理1を利用して次の重要な定理が示される:
を体とすればZariskiの補題となる(Zariski版零点定理と呼ばれることもある)。
有限性に関する補題
証明. を上有限生成な可換環とし、の極大イデアルをとって剰余体をとすると、は上有限生成なのでがJacobson環であることと定理2からは上有限生成加群である。もしの標数がであればがの部分加群となるが、はNoether環なのでも上有限生成となってしまう。これはあり得ない(有理数の分母の素因数が有限通りしかあり得なくなってしまうため)。よって、の標数はである。すると、は上有限生成な環なのでZariskiの補題よりはの有限次拡大となり、それは有限体である。 Q.E.D.
Ax-Grothendieckの定理の証明
を多項式写像とし()、単射であると仮定する。変数多項式環のイデアルをの生成するイデアルとする()。の単射性から各に対してなので、Hilbertの零点定理によって()およびが存在して
が成り立つ。ここで、背理法で定理を証明するためには全射ではないと仮定する。すると、或るが存在して、任意のに対してが成り立つ。これより、をの生成するのイデアルとするとであり、Hilbertの零点定理によってが存在して
が成り立つ。
今、可換環を ()の係数達およびが生成する上の環とする。の極大イデアルの一つをとすると、有限性に関する補題からは有限体である。の定義から、①、②は係数の等式と思って成立することがわかる。これはを係数に還元した多項式写像が単射でありかつ全射でないことを示している。つまり、或る有限集合から自分自身への全射でない単射が存在するといっているのである。そんな馬鹿な。 Q.E.D.
*1:は素イデアルでは極大イデアル。一つ目の等号は標準的に成立し、定理から二つ目の等号が得られる