インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

ソフィー・ジェルマン素数

Sophie Germainの仕事を紹介しました:

integers.hatenablog.com
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この仕事に関連して2p+1が素数になるような素数pのことをSophie Germain素数と呼ぶようになったわけですが、

integers.hatenablog.com

でも紹介したように、Sophie Germain素数が無数に存在することは未だに証明されていません。

最初の100個は次のようになっています:

\begin{align}&2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, \\
&419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, \\
&1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, \\
&1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, \\
&2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, \\
&2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, \\
&3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863\end{align}


現在知られている最大のSophie Germain素数は

2618163402417\times 2^{1290000} − 1

であり、x以下のSophie Germain素数の個数\pi_{\text{ソフィ}}(x)

\displaystyle \pi_{\text{ソフィ}}(x) \sim 2\left( \prod_{p > 2}\frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\right) \frac{x}{\log^2x}, \quad x \to \infty

であろうという予想があります。

素数2347

p=23がSophie Germain素数で、それに対する安全素数*12p+1=47をくっつけてできる2347は素数になっています。2347のような素数は他にあるでしょうか?

素数3466643

3466643はSophie Germain素数です。

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に似て、真ん中に獣の数字666がある回文素数です。

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*1:Sophie Germain素数pに対する2p+1のことを安全素数と言います。