5040：Gronwallの定理とRiemann予想

自然数 $n$ に対して、Gronwall関数 $G(n)$ を

$\displaystyle G(n):=\frac{\sigma (n)}{n\log \log n}$

と定義します。 $\sigma (n)$ は $n$ の約数の総和関数です。

このとき、次の定理が成立します：

Gronwallの定理 $G(n)$ の上極限は次で与えらえる：

$\displaystyle \limsup_{n \to \infty}G(n)=e^{\gamma}.$

ここで、 $\gamma$ はEulerの定数です。

実際には、Eulerのトーシェント関数 $\varphi (n)$ に関する類似の定理と同時に証明します。 $\varphi (n)$ についてはオイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEGERSを参照してください。

定理 $\displaystyle H(n):=\frac{\varphi (n)\log \log n}{n}$ とおく。このとき、

$\displaystyle \liminf_{n \to \infty}H(n)=e^{-\gamma}$

が成立する。

補題 $n \geq 2$ とする。このとき、

$\displaystyle \frac{\sigma (n)\varphi (n)}{n^2} < 1.$

証明. $\displaystyle n=\prod_{p \mid n}p^{e_p}$ と素因数分解されていると仮定する。このとき、

$\displaystyle \sigma (n) = \prod_{p \mid n}\frac{p^{e_p+1}-1}{p-1} = n\prod_{p \mid n}\frac{1-p^{-e_p-1}}{1-p^{-1}}$ ,

$\displaystyle \varphi (n) = n \prod_{p \mid n}\left( 1-\frac{1}{p} \right)$

なので、

$\displaystyle \frac{\sigma (n)\varphi (n)}{n^2}=\prod_{p \mid n}(1-p^{-e_p-1}) < 1$

を得る。 Q.E.D.

定理の証明

$n$ を $2$ 以上の整数とし、 $n$ の素因数の個数が $k$ 個であると仮定する。 $\log n$ 以下の素因数を $p_1, \dots, p_{k-1}$ 、 $\log n$ より大きい素因数を $p_{k-l+1}, \dots, p_k$ とする。

$(\log n)^l < p_{k-l+1}\cdots p_k \leq n$

なので、 $\displaystyle l < \frac{\log n}{\log \log n}$ である。よって、

$\displaystyle \frac{\varphi (n)}{n} = \prod_{i=1}^k\left( 1-\frac{1}{p_i}\right) \geq \left( 1-\frac{1}{\log n}\right)^l \prod_{i=1}^{k-i}\left( 1-\frac{1}{p_i}\right) > \left( 1-\frac{1}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log \log n}}\prod_{p < \log n}\left( 1-\frac{1}{p} \right).$

従って、 $\displaystyle I(t) := e^{\gamma}\log t\left( 1-\frac{1}{t} \right)^{\frac{t}{\log t}}\prod_{p \leq t}\left( 1-\frac{1}{p} \right)$ とすると

$e^{\gamma}H(n) > I(\log n)$ ―①

が成り立ち、Mertensの第三定理より、 $t \to \infty$ のとき

$\displaystyle I(t) \sim \left( 1-\frac{1}{t} \right)^{\frac{t}{\log t}} = 1+O\left( \frac{1}{\log t} \right) \xrightarrow{t \to \infty} 1$ ―②

を得る。次に、 $i \geq 2$ として、 $\displaystyle n_i:=\prod_{p \leq e^i}p^i$ とする。このとき、Chebyshevの定理より $C > 0$ が存在して

$\log n_i = i\vartheta (e^i) \leq Cie^i$

が成り立つ。Euler積表示より

$\displaystyle \prod_{p \leq e^i}(1-p^{-i-1}) > \prod_p(1-p^{-i-1}) = \frac{1}{\zeta (i+1)}$

なので、

$\begin{equation}\begin{split} e^{-\gamma}G(n_i) &= \frac{e^{-\gamma}}{\log \log n_i}\prod_{p \leq e^i}\frac{1-p^{-i-1}}{1-p^{-1}} \\ &\geq \frac{e^{-\gamma}}{\zeta (i+1)(C+i+\log i)}\prod_{p \leq e^i}\frac{1}{1-p^{-1}}\end{split}\end{equation}$

を得る。最後の式を $J(i)$ と定義すると

$e^{-\gamma}G(n_i) \geq J(i)$ －③.

また、Riemannゼータ関数の記事で証明したように $\displaystyle \lim_{i \to \infty}\zeta (i+1) = 1$ なので、Mertensの第三定理より $i \to \infty$ のとき

$\displaystyle J(i) \sim \frac{i}{\zeta (i+1)(C+i+\log i)} \xrightarrow{i \to \infty} 1$ －④.

補題より $e^{-\gamma}G(n)e^{\gamma}H(n) < 1$ なので、①、③から

$\displaystyle e^{-\gamma}G(n) < \frac{1}{I(\log n)}$ －⑤

および

$\displaystyle e^{\gamma}H(n_i) < \frac{1}{J(i)}$ －⑥

が得られる。①、②、⑥、④より二つ目の定理が従い、⑤、①、②、③より最初の定理が従う。 Q.E.D.

Gronwallの定理と関連して、実は $\sigma (n)$ をもっと正確に評価することはRiemann予想と同値であることが知られています：

Robinの定理 Riemann予想が成立することと、 $n \geq 5041$ に対して

$\sigma (n) \leq e^{\gamma}n\log \log n$

が成り立つことは同値である。

Robinの定理の証明は紹介できませんが、Riemann予想の初等的な言い換えとして有名です。また、 $5040$ が上記不等式が成立しない最大の整数であると予想されているということですから、 $5040$ という数の面白い性質を与えているとも思えます。Riemann予想についてはゼータ関数の零点とリーマン予想 - INTEGERSを参照してください。