インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

来いよ二郎君積分

整数 整数-903 整数-682 整数-514269

定理 (Broadhurst*1, 2001) 次の積分の等号

\begin{align} &\frac{2^{903}5^{682}}{514269}\int_0^{\infty}\frac{x^{906}\sin(x\log 2)}{\displaystyle \sinh\left(\frac{\pi x}{2}\right)}\Biggl(\frac{1}{\displaystyle \cosh\left(\frac{\pi x}{5}\right)}+8\sinh^2\left(\frac{\pi x}{5}\right)\Biggr)dx \\ & \\ = \ &32558766036484382179057335167515043164743683267363\\ & 25223822795341514785971380063717474609230277880574\\ & 83954642423671545762856106558143470932892214339297\\ & 83262070006022200423595177903221906317838723523745\\ & 32144128419670759806062371523123596023540051770348\\ & 06848351181404016546960130137932798661205678543923\\ & 77535812954800456692462625041234973875996239709830\\ & 98209718533017000346668995062659761388590878757602\\ & 16266827103166385014330020031109506160320811564489\\ & 49784129664931700481391438001939356295700579114601\\ & 61861264485610857438272977199455846043682729454582\\ & 98414978884362679303341990299401634752124104200222\\ & 21511518588081625544109499512545423423296106616565\\ & 87787623689334982805440502746976014236035982993789\\ & 36502988818757192980656635879431724957556906173128\\ & 91392750442848556228640237205778480765249541769022\\ & 85833585050492320528187453533912711763217407002725\\ & 55021503684496937046208544750316154065742574995526\\ & 04112540692086550558702273072789295027392666889847\\ & 10775421779816557436416104122254653865475231280437\\ & 54187246059112757187215284068344648244858461845295\\ & 03725872003976712956176412524407850537736128255155\\ & 36878910519533957535004524039565343689244000397325\\ & 81275152648092645656412780194306026431389838473030\\ & 98668648140986212200769873098313495296306160187995\\ & 70595799962259624939334537561002242889472999383703\\ & 54105052209975909429487579096222450415143145539113\\ & 27614246733223407596062358665970292075620356051485\\ & 73123639235763983930033714801695665724374734690062\\ & 36753341533730423792137209231637973687522089194420\\ & 10590083371880083665144679593642231114528576292538\\ & 73088151883745442673180955428838740937042273360155\\ & 52190286399496506733899253301028178247762867371274\\ & 93316187556535764761736730099729853448253262051125\\ & 91352435544227565432598109496117323365875286744914\\ & 20661609857390422420038808245806198472990182916458\\ & 61287145133009280422927440437304943088220998086663\\ & 23078663065279519707594057439986088836939654172407\\ & 94389689300809965774751255348997730537154556925621\\ & 02298281179322629970400544019265145518040630062608\\ & 81393714099639305310125181025080507516823314960739\\ & 92712279583980805651224403925464350141896599762320\\ & 63408402832825896798751329770493277601551910573715\\ & 99043603773523745902829325385560883460746910829021\\ & 62953970268343360127966662204538193434225680342857\\ & 07667053913030598148106732033376752031579602604463\\ & 97737736180590235090610234450201927927515960525334\\ & 63515066035637928621988922219461171842946334341804\\ & 94920986536404519768268322105048625103184552393112\\ & 69970522503039105564509333129030152812650813197791\\ & 68873322539174822214308954124728707084306559757254\\ & 63992615177189354526385546635918037708098366051127\\ & 98396106368537059768519075888257545103418263709588\\ & 33767839083150935164847385266837023578943388779080\\ & 98211560553669854138746214406322210600434114097234\\ & 08610918089003177287937331560133568823370159284594\\ & 95350678721197827993116611550571082465967137841794\\ & 84438342036666721675241675495512041516289435948981\\ & 33577355175375246629666444955461608537279282522191\\ & 31197117180743669676647000824033814233519472952050\\ & 07735517890092032953543595785022124784607248331744\\ & 73263978933377296484717074115827628656714851203300\\ & 795384284341450842087568434052915829849\end{align}

が成り立ち(つまり左辺は整数), この整数は素数である。


参考ページ: https://primes.utm.edu/lists/single_primes/CP_Problem8_21.txt*2

*1:David Broadhurstは物理学者。このような型の積分は場の量子論に現れるらしい？

*2:証明はチェックしていないです。Prime Curios!で承認されており、Crandall-Pomeranceの本にも書いてあるとのことで信憑性は高いと思いますが、もしジョークの類だという情報を持っている方がおられましたらお知らせください。