§10 Correlation estimates for を読みます。前節において、Goldston-Yıldırım型定理A, Bを証明することに全てが帰着されました。この記事ではGoldston-Yıldırım型定理Aを証明します。ただし、Riemannゼータ関数が関わるコンタワー積分の漸近挙動に関する補題の証明は後まわしにします。
定理Aの証明中に幾つかの補題を用意しながら進めます。
証明. まずは①の左辺を書き換えていく。
の定義に基づいた変形
切断約数和の定義によって、①の左辺は
と変形できる。Möbius関数の定義より、(今後
のような略記を用いる)は無平方なもののみを動けばよいことに注意する。
期待値からの
消去
に対して、
を
と定義する。各に対して
なので、
である。このとき、
は
の各成分について周期
である。理由:
の各成分が
を法として合同であれば、
の定義より
である。よって、であることと
であることは同値である。 従って、この関数は
の関数としてwell-definedであることがわかった(任意に代表元をとって定義することができる)。
このことと、の長さが
以上であることから、
とを消去できる。理由: 法
の完全代表系として
をとって、各成分を代表元に送る写像による
の像を考える(
次元格子点立方体)。
にはその
次元格子点立方体の平行移動が
個入るので、
が成り立つ。
なので、の長さと
に関するバウンドから、これを
で割ったものは
と評価できる。言い換えると
でもあるので所望の公式が得られる。
であることから、
なので、
を示すことに帰着された*1。
中国式剰余定理の適用
なる素数と
に対して、各成分を
したベクトルを
と表すことにする*2。集合
を
と定義すると、無平方な場合のみを考えていることと中国式剰余定理より
と変形できる。ここで、最後から二番目の等号は下から上に展開すればわかる。よって、に対して
と略記することにすれば、②の左辺は
と書けることがわかった。
補題1の証明. に対してコンタワー
をパラメータ表示
で定義し、
とおく。依存パラメータの表示は省略することにして、
とすると、留数定理によって
を得る。変数変換によって、がわかり、
なので、
が示された。従って、あとはであれば
であることを示せばよい。
をとって先ほどと同様に長方形のコンタワー積分を考えると今度は留数がないので
がわかる。すなわち、
に依存せずに値が決まる。そうして、
のとき
なので、の任意性から
でなければならない。 Q.E.D.
積分表示
複素変数のベクトルをと書くことにし、
を
と定義すると、補題1より③の左辺は
と積分表示される。
Euler積表示
この証明は間違えています。時間ができれば修正します。
証明. で無平方な正整数全体のなす集合とする。
に対して
を
と定義すると、
が成り立つ。と
が各成分毎に互いに素であるとき、
と書くことにする。このとき、
かつ
であれば
が成り立つ(などは成分毎に積を取る)。理由: Möbius関数および累乗は乗法的関数なので、各素数
に対して
が成り立つことを確認すればよい。これは、
と略記したとき、仮定からと非交差和になっていることと、
であることからわかる。
収束性を後回しにして、まず形式的にEuler積表示を証明する。すなわち、
を形式的に展開する。素数と集合
というデータに対応する展開項を考える。各番号
に対して
と
の元の成分を
とし、それ以外のところを
にした整数の
-組を
と書くことにする。すると、定義より
となっているので、考えている展開項は乗法性から
となる。ここで、である。素因数分解の一意性によって任意の
は
の形に一意的に分解されるので、形式的には所望のEuler積表示が成り立つことが示された。
次に収束性を見る。とし、
とする。
の
の項は
であり、
または
が空集合でなければ
なので、であることと三角不等式より
となって、無限積の収束判定法から収束性が従う。 Q.E.D.
証明. とすると、
の定義から任意の
に対して
である。従って、ならば
が成り立つ。
かつ
とし、
であるとする。このとき、
今、は
で零でなく、
なので、全ての
に対して
が
で零ということはない。よって、
は
の
による一様被覆である。従って、§1, 4の補題より
が得られる。
最後に、かつ
の場合を考える。まず、次が成り立つことに注意する: 線形形式
はどの二つを取っても
で互いにスカラー倍とはならない。
理由: 或るが存在して二つの
に対して
となったと仮定する。このとき、より両辺を
で割ってもよいので、
が成り立つことがわかる。ここで、なる整数
が
を満たすのはのときのみであることに注意する。理由: 上記合同関係にあるとき
が
の整数倍となるが、
なのでである。 従って、
と
が
上一次独立であることに矛盾する。
さて、示したいことは任意のに対して
を満たす
が高々
個しか存在しないことであるが、そのような
は少なくとも二つの
に対して方程式
を満たす必要があり、直前で証明したことから、この連立方程式の解の個数は個である。 Q.E.D.
補題3よりは
と書ける。これを次のように積に分ける:
収束領域は後で調べることにして、に対して無限積を
と定義すると、補題2より
が成り立つ。
の収束領域
この定義のもと、次が成立する:
証明. まず、の収束性を示す。
のときは
なので、
のときを考える。補題3による
の表示式と等比級数の和の公式を用いて展開すると
は上手く
の項が消えるように定義されていることがわかる。よって、では
であり、であるから無限積
は絶対収束する。このように評価できることと、一般に
の絶対値が
のみで決まることから
がわかる。無限積
の
以外の展開項には「
より大きい素因数のみから構成される自然数から作られる項」しか現れないので、
が従う*3。
は高々
個の素数に関する積なので収束性は問題にならない。すると、
も自明である。そうして、定義より
と計算できる。 Q.E.D.
次の補題はKeyとなる漸近評価であるが、証明は付録にて実行される。
補題5を認めた上での証明の完成
として補題5を適用する。Leibniz則と補題4より、
に対して
なので、であることに注意すると、
の増加測度が十分遅ければ
を満たす。また、補題4より
なので、補題5からの帰結は
となり、定理Aの証明が完了する。