グリーン・タオ論文の§10を読む（その一）

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§10 Correlation estimates for $\Lambda_R$ を読みます。前節において、Goldston-Yıldırım型定理A, Bを証明することに全てが帰着されました。この記事ではGoldston-Yıldırım型定理Aを証明します。ただし、Riemannゼータ関数が関わるコンタワー積分の漸近挙動に関する補題の証明は後まわしにします。

(再掲) Goldston-Yıldırım型定理A (Proposition, 9.5) $m, t$ を正整数とし、 $1 \leq i \leq m$ , $1 \leq j \leq t$ に対して整数 $L_{ij}$ を $m$ 個のベクトル $(L_{ij})_{j=1}^t$ がどの二つを取っても $\mathbb{Q}$ 上一次独立であるようにとる。 $\left|L_{ij}\right| \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2}$ が成り立つような十分大きい $N$ に対して整数 $b_i \ (1 \leq i \leq m)$ を任意にとって、 $1 \leq i \leq m$ に対して線形形式 $\psi_i\colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}$ を

$\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+b_i,\quad \boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t$

と定める。 $W$ と互いに素な整数 $1 \leq b < W$ をとって、 $\theta_i(\boldsymbol{x}):=W\psi_i(\boldsymbol{x})+b$ とする。 $1 \leq i \leq t$ に対して $I_i \subset \mathbb{R}$ を長さが $R^{10m}$ 以上の区間とし、 $B$ を

$\displaystyle B:=\Biggl(\prod_{i=1}^tI_i \Biggr)\cap \mathbb{Z}^t$

とする( $b_i, \psi_i, \theta_i, W, b, R, I_i, B$ は $N$ 依存であることに注意)。このとき、

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\left. \Lambda_R(\theta_1(\boldsymbol{x}) )^2\cdots \Lambda_R(\theta_m(\boldsymbol{x}) )^2 \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) = \left(1+o_{m, t}(1)\right) \left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m$ −①

が成り立つ。

定理Aの証明中に幾つかの補題を用意しながら進めます。

証明. まずは①の左辺を書き換えていく。

$\Lambda_R$ の定義に基づいた変形

切断約数和の定義によって、①の左辺は

$\begin{align} &\mathbb{E}\Biggl(\prod_{i=1}^m\sum_{\substack{d_i, d_i' \leq R \\ d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})}}\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'} \ \left| \ \boldsymbol{x} \in B\Biggr)\right. \\ &= \left.\mathbb{E}\left(\sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'} \mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) \\ &= \sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right) \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right)\end{align}$

と変形できる。Möbius関数の定義より、 $d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m'$ (今後 $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ のような略記を用いる)は無平方なもののみを動けばよいことに注意する。

期待値からの $B$ 消去

$(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ に対して、 $D=D(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ を

$\displaystyle D:=\mathrm{lcm}(d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m')$

と定義する。各 $i$ に対して $d_i, d_i' \leq R$ なので、 $D \leq R^{2m}$ である。このとき、 $\displaystyle \prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i'\mid \theta_i(\boldsymbol{x})}$ は $\boldsymbol{x}$ の各成分について周期 $D$ である。理由: $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}' \in \mathbb{Z}^t$ の各成分が $D$ を法として合同であれば、 $\theta_i$ の定義より

$\displaystyle \theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv \theta_i(\boldsymbol{x}') \pmod{D}$

である。よって、 $d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})$ であることと $d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x}')$ であることは同値である。従って、この関数は $\mathbb{Z}_D^t$ の関数としてwell-definedであることがわかった(任意に代表元をとって定義することができる)。

このことと、 $I_i$ の長さが $R^{10m}$ 以上であることから、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) = \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) + O_t(R^{-8m})$

と $B$ を消去できる。理由: 法 $D$ の完全代表系として $\{0, 1, \dots, D-1\}$ をとって、各成分を代表元に送る写像による $\mathbb{Z}_D^t$ の像を考える( $t$ 次元格子点立方体)。 $B$ にはその $t$ 次元格子点立方体の平行移動が $\displaystyle \prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]$ 個入るので、

$\begin{align} &\#B \times \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) \\ &= \prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t \times \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) + O\left(\#B-\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t\right)\end{align}$

が成り立つ。

$\displaystyle \#B-\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t < \prod_{i=1}^t\#(I_i \cap \mathbb{Z})-\prod_{i=1}^t(\#(I_i \cap \mathbb{Z})-D)$

なので、 $I_i$ の長さと $D$ に関するバウンドから、これを $\#B$ で割ったものは $O_t(R^{2m}/R^{10m}) = O_t(R^{-8m})$ と評価できる。言い換えると

$\displaystyle \frac{1}{\#B}\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t=1+O_t(R^{-8m})$

でもあるので所望の公式が得られる。

$R \to \infty$ であることから、

$\begin{align} &\sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right)O_t(R^{-8m}) \\ &=O\left(R^{2m}\log^{2m}R\cdot O_t(R^{-8m})\right) = O_t(R^{-6m}\log^{2m}R)=o_{m, t}\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}$

なので、

$\begin{align} &\sum_{\substack{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R \\ \text{square-free}}}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right) \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \left(1+o_{m, t}(1)\right) \left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}$ −②

を示すことに帰着された*1。

中国式剰余定理の適用

$p \mid D$ なる素数と $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_{D}^t$ に対して、各成分を $\bmod{p}$ したベクトルを $\boldsymbol{x}_p \in \mathbb{Z}_p^t$ と表すことにする*2。集合 $X_{\boldsymbol{d}}(p)$ を

$\displaystyle X_{\boldsymbol{d}}(p) := \{1 \leq i \leq m \mid p \mid d_i\}$

と定義すると、無平方な場合のみを考えていることと中国式剰余定理より

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) &= \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\prod_{p \mid d_id_i'}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}_p) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \left.\mathbb{E}\left(\prod_{p \mid D}\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}_p) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \prod_{p \mid D}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right) \\ &= \prod_{p}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right)\end{align}$

と変形できる。ここで、最後から二番目の等号は下から上に展開すればわかる。よって、 $X \subset \{1, \dots, m\}$ に対して

$\displaystyle \omega_X(p) := \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right)$

と略記することにすれば、②の左辺は

$\displaystyle \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in (\mathbb{Z}^+)^{2m}}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log_+\frac{R}{d_i}\log_+\frac{R}{d_i'}\right)\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)$ −③

と書けることがわかった。

補題１ ( $\log_+x$ のコンタワー積分表示) コンタワー $\Gamma_1$ をパラメータ表示

$\displaystyle \Gamma_1(t) := \frac{1}{\log R}+\sqrt{-1}t, \quad -\infty < t < \infty$

で定義する。このとき、 $x > 0$ に対して、積分表示

$\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}\int_{\Gamma_1}\frac{x^z}{z^2}dz = \log_+x$

がある。

補題１の証明. $a > 0$ に対してコンタワー $\Gamma_1^{(a)}$ をパラメータ表示

$\displaystyle \Gamma_1^{(a)}(t) := a+\sqrt{-1}t, \quad -\infty < t < \infty$

で定義し、

$\displaystyle F_a(x) := \int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{x^z}{z^2}dz$

とおく。依存パラメータの表示は省略することにして、

$\begin{align} &I_1:=\int_{-r}^r\frac{x^{a+\sqrt{-1}t}}{(a+\sqrt{-1}t)^2}dt, \quad I_2:=\int_{r}^{-r}\frac{x^{-a+\sqrt{-1}t}}{(-a+\sqrt{-1}t)^2}dt, \\ &J_1:=\int_a^{-a}\frac{x^{t+\sqrt{-1}r}}{(t+\sqrt{-1}r)^2}dt, \quad J_2:=\int_{-a}^a\frac{x^{t-\sqrt{-1}r}}{(t-\sqrt{-1}r)^2}dt\end{align}$

とすると、留数定理によって

$\displaystyle I_1+J_1+I_2+J_2= 2\pi\sqrt{-1}\log x$

を得る。変数変換によって、 $I_1(x) = -I_2(x^{-1}), \ J_1(x) = -J_2(x^{-1})$ がわかり、

$\displaystyle \left|J_1\right| \leq \int_{-a}^a\frac{x^t}{r^2+t^2}dt \xrightarrow{r \to \infty} 0$

なので、

$\displaystyle F_a(x)-F_a\left(\frac{1}{x}\right) = 2\pi\sqrt{-1}\log x$

が示された。従って、あとは $x < 1$ であれば $F_a(x) = 0$ であることを示せばよい。 $b > a$ をとって先ほどと同様に長方形のコンタワー積分を考えると今度は留数がないので $F_a(x) = F_b(x)$ がわかる。すなわち、 $a$ に依存せずに値が決まる。そうして、 $x < 1$ のとき

$\displaystyle \left|\int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{x^z}{z^2}dz\right| \leq \int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{\left|dz\right|}{\left|z\right|^2}=\int_{–\infty}^{\infty}\frac{dt}{a^2+t^2}=\frac{\pi}{a}$

なので、 $a$ の任意性から $F_a(x) = 0$ でなければならない。 Q.E.D.

積分表示

複素変数のベクトルを $\boldsymbol{z}=(z_1, \dots, z_m), \ \boldsymbol{z}'=(z_1', \dots, z_m')$ と書くことにし、 $F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ を

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') := \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in (\mathbb{Z}^+)^{2m}}\left(\prod_{i=1}^m\frac{\mu(d_i)\mu(d_i')}{d_i^{z_i}d_i'^{z_i'}}\right)\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)$

と定義すると、補題１より③の左辺は

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i'$

と積分表示される。

補題２ (Euler積表示) 素数 $p$ 毎に $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ を

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\sum_{X, X' \subset \{1, \dots, m\}}\frac{(-1)^{\#X+\#X'}\omega_{X\cup X'}(p)}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}$

と定義する。このとき、 $F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ は領域 $\{(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \in \mathbb{C}^{2m} \mid \mathrm{Re}(z_i), \ \mathrm{Re}(z_i') > 1, \ 1 \leq i \leq m\}$ で
Euler積表示

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \prod_pE_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

をもつ。

この証明は間違えています。時間ができれば修正します。

証明. $\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)$ で無平方な正整数全体のなす集合とする。 $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}$ に対して $F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ を

$\displaystyle F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{i=1}^m\frac{\mu(d_i)\mu(d_i')}{d_i^{z_i}d_i'^{z_i'}}\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)$

と定義すると、

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}}F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$

が成り立つ。 $\boldsymbol{d}_1$ と $\boldsymbol{d}_2$ が各成分毎に互いに素であるとき、 $(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_2) = 1$ と書くことにする。このとき、 $(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_2) = 1$ かつ $(\boldsymbol{d}_1', \boldsymbol{d}_2') = 1$ であれば

$\displaystyle F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2, \boldsymbol{d}_1'\boldsymbol{d}_2')=F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_1')F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_2, \boldsymbol{d}_2')$

が成り立つ( $\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2$ などは成分毎に積を取る)。理由: Möbius関数および累乗は乗法的関数なので、各素数 $p$ に対して

$\displaystyle \omega_{X_{\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_1'\boldsymbol{d}_2'}(p)}(p)=\omega_{X_{\boldsymbol{d}_1}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_1'}(p)}(p)\times \omega_{X_{\boldsymbol{d}_2}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_2'}(p)}(p)$

が成り立つことを確認すればよい。これは、

$\displaystyle \omega_{X}(p)=\omega_{X_1}(p)\times \omega_{X_2}(p)$

と略記したとき、仮定から $X=X_1\sqcup X_2$ と非交差和になっていることと、 $\omega_{\emptyset}(p)=1$ であることからわかる。

収束性を後回しにして、まず形式的にEuler積表示を証明する。すなわち、

$\displaystyle \prod_p\sum_{X, X' \subset \{1, \dots, m\}}\frac{(-1)^{\#X+\#X'}\omega_{X\cup X'}(p)}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}$

を形式的に展開する。素数 $p_1, \dots, p_n$ と集合 $X_1, X_1', \dots, X_n, X_n'$ というデータに対応する展開項を考える。各番号 $l$ に対して $X_l$ と $X_l'$ の元の成分を $p_l$ とし、それ以外のところを $1$ にした整数の $2m$ -組を $(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')$ と書くことにする。すると、定義より

$F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')=\displaystyle \frac{(-1)^{\#X_l+\#X_l'}\omega_{X_l\cup X_l'}(p_l)}{p_l^{\sum_{i \in X_l}z_i+\sum_{i \in X_l'}z_i'}}$

となっているので、考えている展開項は乗法性から

$\displaystyle \prod_{l=1}^nF_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l') = F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$

となる。ここで、 $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{l=1}^n(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')$ である。素因数分解の一意性によって任意の $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}$ は $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{l=1}^n(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')$ の形に一意的に分解されるので、形式的には所望のEuler積表示が成り立つことが示された。

次に収束性を見る。 $\sigma > 1$ とし、 $\mathrm{Re}(z_i), \ \mathrm{Re}(z_i') > \sigma, \ (1 \leq i \leq m)$ とする。 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の $X=X'=\emptyset$ の項は $1$ であり、 $X$ または $X'$ が空集合でなければ

$\displaystyle \left|p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}\right| = p^{\sum_{i \in X}\mathrm{Re}(z_i)+\sum_{i \in X'}\mathrm{Re}(z_i')} \geq p^{\sigma}$

なので、 $\omega_X(p) \leq 1$ であることと三角不等式より

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1+O_m(p^{-\sigma})$

となって、無限積の収束判定法から収束性が従う。 Q.E.D.

補題３ (局所因子の評価, Lemma 10.1) $p \leq w(N)$ のとき、 $X \neq \emptyset$ であれば $\omega_X(p)=0$ である。従って、 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1$ である。また、 $p > w(N)$ のときは、 $\#X=1$ であれば $\omega_X(p)=p^{-1}, \$ $\#X\geq 2$ であれば $\omega_X(p) \leq p^{-2}$ が成り立つ。

証明. $p \leq w(N)$ とすると、 $W$ の定義から任意の $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t$ に対して

$\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv b \not \equiv 0 \pmod{p}$

である。従って、 $X \neq \emptyset$ ならば $\omega_X(p)=0$ が成り立つ。

$p > w(N)$ かつ $\#X=1$ とし、 $X=\{i\}$ であるとする。このとき、

$\displaystyle \omega_X(p) = \left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \right| \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right).$

今、 $W$ は $\mathbb{Z}_p$ で零でなく、 $\left|L_{ij}\right| \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2} < p$ なので、全ての $1 \leq j \leq t$ に対して $WL_{ij}$ が $\mathbb{Z}_p$ で零ということはない。よって、 $\theta_i \colon \mathbb{Z}_p^t \to \mathbb{Z}_p$ は $\mathbb{Z}_p$ の $\mathbb{Z}_p^t$ による一様被覆である。従って、§1, 4の補題より

$\displaystyle \omega_X(p)=\left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{x \equiv 0 \pmod{p}} \right| x \in \mathbb{Z}_p\right) = p^{-1}$

が得られる。

最後に、 $p > w(N)$ かつ $\#X\geq 2$ の場合を考える。まず、次が成り立つことに注意する：線形形式 $W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i)$ はどの二つを取っても $\bmod{p}$ で互いにスカラー倍とはならない。

理由: 或る $\lambda \in \mathbb{Z}_p$ が存在して二つの $i, i'$ に対して

$W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i)=\lambda W(\psi_{i'}(\boldsymbol{x})-b_{i'})$

となったと仮定する。このとき、 $p > w(N)$ より両辺を $W$ で割ってもよいので、

$\displaystyle \frac{L_{ij}}{L_{i'j}} \equiv \lambda \pmod{p}$

が成り立つことがわかる。ここで、 $(a, q)=1, \ (a', q')=1, \ q, q' > 0, \ \left|a\right|, \left|a'\right|, q, q' \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2}$ なる整数 $a, a', q, q'$ が

$\displaystyle \frac{a}{q} \equiv \frac{a'}{q'} \pmod{p}$

を満たすのは $a/q=a'/q'$ のときのみであることに注意する。理由: 上記合同関係にあるとき $aq'-a'q$ が $p$ の整数倍となるが、

$\displaystyle \left|aq'-a'q\right| \leq \left|a\right|q'+\left|a'\right|q \leq \frac{w(N)}{2} < p$

なので $aq'-a'q=0$ である。従って、 $(L_{ij})_{j=1}^t$ と $(L_{i'j})_{j=1}^t$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立であることに矛盾する。

さて、示したいことは任意の $i \in X$ に対して $\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}$ を満たす $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t$ が高々 $p^{t-2}$ 個しか存在しないことであるが、そのような $\boldsymbol{x}$ は少なくとも二つの $i, i' \in X$ に対して方程式

$\begin{align} &W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i) \equiv -(Wb_i+b) \pmod{p} \\ &W(\psi_{i'}(\boldsymbol{x})-b_{i'}) \equiv -(Wb_{i'}+b) \pmod{p}\end{align}$

を満たす必要があり、直前で証明したことから、この連立方程式の解の個数は $p^{t-2}$ 個である。 Q.E.D.

補題３より $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ は

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_{i}'}-p^{-1-z_i-z_{i}'})+\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{\substack{X, X' \subset \{1, \dots, m\} \\ \#(X\cup X') \geq 2}}\frac{O(p^{-2})}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_{i}'}}$

と書ける。これを次のように積 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ に分ける：

$\begin{align} E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= \frac{E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')}{\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i'})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}} \\ E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:=\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i'})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'}) \\ E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')&:= \prod_{i=1}^m(1-p^{-1-z_i})(1-p^{-1-z_i'})(1-p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}.\end{align}$

収束領域は後で調べることにして、 $j=1, 2, 3$ に対して無限積を

$\displaystyle G_j(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\prod_pE_p^{(j)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

と定義すると、補題２より

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=G_1(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_2(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

が成り立つ。

$G_3$ の収束領域

Riemannゼータ関数のEuler積表示より、 $\mathrm{Re}(z_i), \mathrm{Re}(z_i') > 0$ において

$\displaystyle G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}$

が成り立つので、Riemannゼータ関数の解析接続により、 $G_3$ は $\mathbb{C}^{2m}$ に有理型接続される。

$G_1, G_2$ の収束領域

定義パラメータ $\sigma > 0$ に対して、領域 $\mathcal{D}_{\sigma}^m \subset \mathbb{C}^{2m}$ を

$\displaystyle \mathcal{D}_{\sigma}^m := \left\{ (\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \in \mathbb{C}^{2m} \left| -\sigma < \mathrm{Re}(z_i), \mathrm{Re}(z_i') < 100, \ j=1, \dots, m \right\}\right.$

と定義する。そして、任意の非負整数 $r \geq 0$ に対して、 $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上の $2m$ 変数解析関数 $G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の $C^r(\mathcal{D}_{\sigma}^m)$ -ノルム $\left\|G\right\|_{C^r(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}$ を

$\displaystyle \sup_{\substack{a_1, \dots, a_m, a_1', \dots, a_m' \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ a_1+\cdots +a_m+a_1'+\cdots +a_m' \leq r}}\left\|\left(\frac{\partial}{\partial z_1}\right)^{a_1}\cdots \left(\frac{\partial}{\partial z_m}\right)^{a_m}\left(\frac{\partial}{\partial z_1'}\right)^{a_1'}\cdots \left(\frac{\partial}{\partial z_m'}\right)^{a_m'}G\right\|_{L^{\infty}(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}$

で定める( $L^{\infty}(\mathcal{D}_{\sigma}^m)$ は $\sup$ -ノルム)。

この定義のもと、次が成立する：

補題４ (Lemma 10.3) $G_1$ と $G_2$ は $\mathcal{D}_{1/6m}^m$ で絶対収束し、解析関数を定める。更に、評価

$\begin{align}&\left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_m(1),\quad\left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1), \\ &G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1),\quad G_2(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}$

が成り立つ。

証明. まず、 $G_1$ の収束性を示す。 $p \leq w(N)$ のときは $E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1$ なので、 $p > w(N)$ のときを考える。補題３による $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の表示式と等比級数の和の公式を用いて展開すると $E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ は上手く

$\displaystyle \sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_{i}'}-p^{-1-z_i-z_{i}'})$

の項が消えるように定義されていることがわかる。よって、 $\mathcal{D}_{1/6m}^m$ では

$\displaystyle E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = 1+O_m(p^{-2+\frac{2}{3m}})$

であり、 $-2+2/3m < -1$ であるから無限積 $G_1$ は絶対収束する。このように評価できることと、一般に $n^z$ の絶対値が $\mathrm{Re}(z)$ のみで決まることから $\left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_m(1)$ がわかる。無限積 $G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})$ の $1$ 以外の展開項には「 $w(N)$ より大きい素因数のみから構成される自然数から作られる項」しか現れないので、 $G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1)$ が従う*3。

$G_2$ は高々 $w(N)$ 個の素数に関する積なので収束性は問題にならない。すると、 $\left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1)$ も自明である。そうして、定義より

$\displaystyle G_2(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \leq w(N)}\prod_{i=1}^m\frac{1-p^{-1}}{(1-p^{-1})^2}=\prod_{i=1}^m\prod_{p \leq w(N)}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m$

と計算できる。 Q.E.D.

次の補題はKeyとなる漸近評価であるが、証明は付録にて実行される。

補題５ (Lemma 10.4) $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上の $2m$ 変数解析関数 $G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ が

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} = \exp\left(O_{m, \sigma}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を満たしていると仮定する。このとき、或る $\delta=\delta(m) > 0$ が存在して、漸近公式

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO_{m, \sigma}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m, \sigma}(e^{-\delta\sqrt{\log R}})\end{align}$

が成り立つ。

補題５を認めた上での証明の完成

$G=G_1G_2, \ \sigma=1/6m$ として補題５を適用する。Leibniz則と補題４より、 $0 \leq i \leq m$ に対して

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\leq O_{i, m, w(N)}(1)$

なので、 $\displaystyle \lim_{N \to \infty}R=\infty$ であることに注意すると、 $w(N)$ の増加測度が十分遅ければ

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} = \exp\left(O_{m}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を満たす。また、補題４より

$\displaystyle G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=(1+o_m(1) )\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m$

なので、補題５からの帰結は

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m+\sum_{i=1}^mO_{m}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m}(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &=(1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m \end{align}$

となり、定理Aの証明が完了する。

*1:実際には、この部分は $o_{m, t}(1)$ ではなく $o_m(1)$ を示すことができる。

*2:とうとう $\mathbb{Z}_p$ という気持ち悪い記号が出てきたが、 $p$ 進整数環ではなく $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を表していることに注意。

*3:現状、個人的見解としては $o_m(1)$ 部分は $o_{m, w(N)}(1)$ でなければならないと思う。ただ、Thm 1.1の証明においては $w(N)$ は下から $k$ のみに依存する関数で押さえらえれるので $w(N)$ 依存を消すことができる。一方、Thm 1.2の証明では $w(N)$ は集合 $A$ に依存して選択する必要があるので消せない。しかしながら、それは $o_{k, \delta}(1)$ 項が $A$ 依存するだけであって、定性的な定理であるThm 1.2の成立は揺るがない。