2020-06-18

研究報告: 二重大野関係式のコネクター

論文紹介

2020年6月17日にarXivにプレプリントをあげました(九州大学の広瀬さん, 佐藤さんとの共同研究):

arxiv.org

どのような研究成果であるかをここに簡単に解説しようと思います。

研究対象は多重ゼータ値と呼ばれる数です。それがどのようなものであるかについては、最近の金子昌信先生による

『多重ゼータ値 - 日本数学会』PDFリンク

を紹介しておきます。とにかく面白い研究対象です。

前提となる話１：大野関係式

多重ゼータ値の近代的研究のパイオニアの1人であるホフマンさんが1992年の論文[H]で提示した複数の多重ゼータ値の間に成り立つ3つの関係式があります。

双対関係式、和公式、ホフマンの関係式

の3つです。

前者2つは予想として提示され、3つ目のホフマンの関係式には証明が与えられていました。

その後、未解決であった双対関係式と和公式はともに1996年までに解決されますが、1999年に大野泰生先生が当時誰も気づいていなかった発見をします。

それは「双対関係式、和公式、ホフマンの関係式。それら全てが実はより一般的な公式の一部分にすぎない。しかも、双対関係式だけではなく、残りの2つについても双対性として捉えられる*1」というものです。

その「より一般的な公式」こそが現今「大野関係式」と呼ばれる公式であり、論文[O]で証明されました：

$\displaystyle \sum_{|\boldsymbol{e}|=e}\zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=\sum_{|\boldsymbol{e'}|=e}\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger}\oplus\boldsymbol{e}').$

これは多重ゼータ値の関係式族としては「かなり広いが全てを含んでいるわけではない」もので、多重ゼータ値の関係式の多くが双対性として捉えらえるという事実は私には全く非自明で驚くべき現象に思えます。

前提となる話２：連結子(コネクター)と連結和

それから20年近くが経ち、その間多数の大野関係式の別証明が発見されましたが、私と慶応大学の山本さんは全く新しい大野関係式の証明を発見しました。

その新しい証明法は「コネクター*2と呼ばれる特徴的な部分を持つ連結和を定義し、それを用いて狙った関係式を証明する」手法で、「連結和法」あるいは連結和を介して関係式が動的に示されることから「動的証明法」などと呼ばれています。

連結和法は、「コネクターを発見するには(現状)職人技を要するが、一度発見されてしまえば関係式の証明は極めて簡単化されてしまう」という特徴を持ちます。

「見つけてしまえばおしまい」という証明です。見つけるのに職人技を必要とするのはデメリットと言えますが*3、読む側は瞬時に証明を理解できてしまいます。

ですから、これからの多重ゼータ値に関する講義や教科書では、連結和法で説明すれば大野関係式の証明に速やかに到達できるという思いがあったのですが、ちょうど昨日（！）名古屋大学のBachmann先生がYouTubeにアップロードした講義動画で連結和法による大野関係式の解説が行われています！

www.youtube.com

こちらの動画を見ていただいたら専門的な内容もバッチリ理解できますが、私自身も以前解説記事を書いていますのでよろしければ：大野関係式 - INTEGERS

以下の内容を理解できるようにするために、少しだけ踏み込んだ話をします。

実際は我々はまず双対関係式

$\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger})$

の新証明を発見しました。コネクターは

$\displaystyle c(m,n)=\frac{m!n!}{(m+n)!}$

で与えられます。

はい。それ自体は極めて単純なものです。

また二項係数の逆数であることにお気付きの方も多いと思われますが、対称性を重視するためにこのように記述するのを好んでいます。

なお、ブログ記事

fibonacci-freak.hatenablog.com

で双対関係式の一番簡単な場合の有名な証明が2通り書かれており、その他にも30通りは証明があると紹介されていますが、コネクターを使った証明はその32通りの証明のいずれとも異なる新証明となっています。

次に、これは我々の研究以前からよく知られている事実ですが、大野和 $O_e(\boldsymbol{k})$ を

$\displaystyle O_e(\boldsymbol{k}):=\sum_{|\boldsymbol{e}|=e}\zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})$

で定義すると、その母関数

$\displaystyle O(\boldsymbol{k};x):=\sum_{e=0}O_e(\boldsymbol{k})x^e$

が双対関係式

$O(\boldsymbol{k};x)=O(\boldsymbol{k}^{\dagger};x)$

を満たすことと大野関係式が同値であることがわかります。

つまり、大野関係式を言い換えると、 $\zeta(\boldsymbol{k})$ とは別にその発展系である対象 $O(\boldsymbol{k};x)$ (これも大野和と呼ぶことにします)を考えても実は双対関係式が成り立つということです。

ちなみに $O(\boldsymbol{k};0)=\zeta(\boldsymbol{k})$ の関係があります。

この観察から、我々の得た連結和法による双対関係式の新証明をうまく拡張することができれば大野関係式の新証明も得られると期待できます。

そのために必要となることはコネクターを拡張することです。実際にコネクターは適切に拡張され、

$\displaystyle c(m,n;x)=\frac{(1-x)_m(1-x)_n}{(1-x)_{m+n}}$

によって大野関係式が簡単に証明されてしまうというのが論文[SY]の主な内容です。

ここでポッホハマー記号と呼ばれる記号が使われており、 $(1-x)_m$ は $x=0$ のとき $m!$ に等しくなります。つまり、 $c(m,n;0)=c(m,n)$ です。

前提となる話３：二重大野関係式

昨年、九州大学の研究グループによって全く新しい研究がスタートしました([HMOS])。

それは、「大野関係式は大野和 $O(\boldsymbol{k};x)$ が双対関係式を満たすことと言い換えられた。それでは、大野和は他に関係式を満たすだろうか？」というものです。

多重ゼータ値ではなく大野和そのものを研究対象にしようという発想です。

[HMOS]では色々研究されていますが(未解決問題もあります)、まず目に飛び込んでくるのが「二重大野関係式」です。

それは一体何か。

「大野和が大野関係式を満たす！」

というものです！！！！

嘘です。盛ってしまいました。正確には

「大野和がBBBL型と呼ばれる特別なindex $\boldsymbol{k}$ に対しては大野関係式を満たす」

というものです。

これを初めて聴いた時はそれはもう驚きましたよ。「大野和が大野関係式を満たすか」なんて考えたこともなかった。

面白すぎると思いました。

そして、全てとはいかないがBBBL型と呼ばれる閉じたクラスでは実際に成り立っていたのです！！！

自明なケース(self-dual)を除いても成り立つ場合があることが面白い。

そして、成り立たない場合があることも面白い。つまり、面白い。

著者に聞いたところ、どうやら「大野和が大野関係式を満たすか」という動機から始まったのではなく、大野和が満たす関係式をコンピューターでサーチした結果発見されたということらしいです。その上で彼らは証明にも成功していますが、その証明の特徴は次のようなものです：

大野関係式を仮定して二重大野関係式を証明する。
もう少し正確に言うと、抽象的な設定下(ホフマン代数)で大野関係式を満たすものは二重大野関係式を満たすということを証明する。

なお、その証明は次のブログでも解説されています：
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

解き明かしたくなったこと

広瀬-村原-小野塚-佐藤の証明は大野関係式を仮定して二重大野関係式を導出するのでした。

ということは、多重ゼータ値に関する二重大野関係式の成立を確信するためには大野関係式の証明をあらかじめ知っている必要があります。

実際、上記引用ブログでは別途、大野関係式を連結和法で証明しています。

そこで生じる疑問は

連結和法を使うことにより、大野関係式を経由することなく直接的に二重大野関係式を導出できないのだろうか？

というものです。

そして個人的には「二重大野関係式が成り立たないケースがある」というのがやはり面白く、

BBBL型でないときはどうなっているのか？なぜBBBL型に限る必要があるのか？

という疑問も生じました。

疑問が生じた場合は解決を目指しましょう。

コネクターの発見！

大野関係式は $x$ という変数を用意して母関数を作り、それが双対関係式を満たすことを示せばよいのでした。

同様に考えると、二重大野関係式は更に変数を増やし、 $y$ としましょう、「2変数大野和 $O(\boldsymbol{k};x,y)$ が双対関係式を満たすこと」(ただし $\boldsymbol{k}$ はBBBL型)と言い換えることができます。

ですから、私と山本さんの論文に現れるコネクターを2変数化すればよいことになります。

ですが、それはそんなに簡単ではありません。

実は昔別方向の2変数化を研究したこともあったのですが、そちらは二重大野関係式とは別物で、結果の価値判断を行った結果、論文には載せない没案となりました。

もし安直な形で2変数化されてしまえば、それは全てのindexで二重大野関係式が成り立つということになりそうです(事実はそうではありません)。

BBBL型に限定されないと $O(\boldsymbol{k};x,y)$ が双対性を満たさないという状況になるように2変数化されなければなりません。

2019年の某日、私は広瀬さんと佐藤さんと共同で2変数コネクターの発掘作業を行いました。

そして見事にコネクターは発見されました。そのお姿は

$\displaystyle c(m,n;x,y)=\frac{(1-x)_m(1-y)_m(1-x)_n(1-y)_n}{m!n!(1-x-y)_{m+n}}$

であります。確かに

$c(m,n;x,0) = c(m,n;x),\quad c(m,n;0,y) =c(m,n;y)$

と1変数コネクターの拡張になってはいますが、非自明な拡張だと思います。

予測していなかった現象

さて、定義はここではしませんが、連結和と呼ばれるものを双対関係式、大野関係式、二重大野関係式の場合にそれぞれ

$Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}),\quad Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l};x),\quad Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l};x,y)$

と表すことにしましょう。

これらは特徴的な輸送関係式を満たし、最初の2つに関しては

$\begin{align} &Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l}) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow}),\qquad\quad \ \ \ Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l}) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow}),\\ &Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l};x) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow};x),\qquad Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l};x) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow};x) \end{align}$

という同じ形の関係式となっています。

2変数連結和の場合は、二重大野関係式が全てのindexでは成り立たないことから、同じ形の輸送関係式は満たしません。

ですが、上の形の輸送を2回行って得られる

$\begin{align} &Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow\uparrow};\boldsymbol{l};x,y) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow\uparrow};x,y),\\ &Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow\rightarrow};\boldsymbol{l};x,y) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow\rightarrow};x,y) \end{align}$

は成り立ちます。コネクターはこの輸送が成り立つように逆算して見つけました。

そして、この形の輸送だけで双対性を示すことができるのが正しくBBBL型のindexだったのです。

こうして、二重大野関係式を大野関係式を経由することなく直接的に連結和法で証明できるようになりました。また、何故BBBL型に限定されるのかという疑問にも答えに近付くことができた気がします。

近付くだけではなく先ほどの2つ目の疑問にしっかりと答えるためには「BBBL型ではないときにどれぐらい双対性の成立からずれが生じるのか」という問題を解く必要があります。

ですが、我々は既にコネクターを発見しているため、「矢印を一気に2個輸送するのではなく、1個輸送した場合にどうなるか」ということを調べることができます！

それを実行した結果、輸送関係式

$\begin{align} &Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l};x,y) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow};x,y)+xyZ(\boldsymbol{k}_{\rightarrow\uparrow};\boldsymbol{l}_{\uparrow};x,y),\\ &Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l};x,y) = Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow};x,y)-xyZ(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l}_{\rightarrow\uparrow};x,y) \end{align}$

が目の前に現れました。

これには驚きました。

双対性からのずれが $xy$ の項として明確に視覚化されており、それがこのように単純に表示できるとは予想できていませんでした。

$y=0$ を代入すると1変数連結和の輸送関係式に一致しますから、これは大野関係式の一般化を与えます。

そして、この輸送を2回続けて行うと $xy$ の項が見事に消えて二重大野関係式の輸送関係式となります！

ですから、この新しい輸送関係式は大野関係式と二重大野関係式を両方とも本質的に含んでいます。

更には、BBBL型に限らないindexであっても輸送でき、その際の誤差を正確に拾うことができるのですから、一般のindexにおける二重大野関係式とでも言える新しい関係式が得られたことになります。

それを我々は論文で "Extended double Ohno relation" と呼んでおりますが、大野関係式と二重大野関係式の同時一般化となっています。

こうして、2つの疑問に答えた結果、新しい公式に出会うことができたのです。

参考文献

[HMOS] M. Hirose, H. Murahara, T. Onozuka, N. Sato, Linear relations of Ohno sums of multiple zeta values, Indagationes Mathematicaem, Advance online publication (2020).
[H] M. Hoffman, Multiple harmonic series, Pacific J. Math., 152 (1992), 275–290.
[O] Y. Ohno, A generalization of the duality and sum formulas on the multiple zeta values, J. Number
Theory 74 (1999), no. 1, 39–43.
[SY] S. Seki, S. Yamamoto, A new proof of the duality of multiple zeta values and its generalizations, Int. J. of Number Theory, Vol. 15, No. 6 (2019), 1261–1265.

*1:正確にはホフマンの関係式は大野関係式における $e=0$ の場合(=双対関係式)と $e=1$ の場合を合わせたもの。