タオのセメレディ論文の§5を読む (その二)

§5 Almost periodic functions の後半です。構造定理(Thm 3.5)は前半で導入した一様概周期性と§4で導入したGowers一様性のある種の双対性と思うことができます。ここでは二つの双対性(命題１＆命題２)を示しますが、命題１はSzemerédiの定理の証明には使わないのでとばしてもかまいません。(命題１とはある意味逆の関係にある)命題２は構造定理の証明で重要な役割を果たします。

命題１ (Gowers一様性と一様概周期性の直交性, Proposition 5.9) $k$ を $2$ 以上の整数とする。このとき、関数 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ と $f' \in UAP^{k-2}$ に対して

$\displaystyle \left|\langle f, f' \rangle \right| \leq \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}}$

が成り立つ。

証明. $k$ に関する帰納法で証明する。 $k=2$ のときは $f' \in UAP^0$ は定数関数なので、

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right| = \left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\overline{f'}\right| = \left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\right| \left\|f'\right\|_{L^{\infty}} = \left\|f\right\|_{U^1}\left\|f'\right\|_{UAP^0}$

が成り立つ。ここで、§4の基本性質１を使った。 $k \geq 3$ とする。 $k-1$ で成立すると仮定して $k$ の場合を示そう。

$\displaystyle \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1, \ \left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}} < 1 \Longrightarrow \left|\langle f, f'\rangle\right| \leq 1$

を示せば十分である。理由: $\ f, f' \neq 0$ の場合に主張を示せば十分である。非斉次性より

$\displaystyle \widehat{f} := \frac{1}{\left\|f\right\|_{U^{k-1}}}f, \quad \widehat{f'}:=\frac{1}{\left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}}}f'$

を考えることができる。内積の線型性より、任意の $0 < t < 1$ に対して

$\displaystyle \langle \widehat{f}, t\widehat{f'} \rangle = \frac{t\langle f, f'\rangle}{\left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}}}$

であるから、 $\left|\langle \widehat{f}, t\widehat{f'} \rangle\right| \leq 1$ と $t$ の任意性から所望の不等式が得られる。

そこで、 $\left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1, \ \left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}} < 1$ であると仮定しよう。このとき、空でない有限集合 $H$ 、 $c_{n, h} \in B(UAP^{k-3}) \ (n \in \mathbb{Z}_N \ h \in H)$ 、有界関数 $g_h \ (h \in H)$ が存在して

$\displaystyle T^nf' = \mathbb{E}_{h \in H}\left( c_{n, h}g_h\right) \quad ({}^{\forall}n \in \mathbb{Z}_N)$

と表示できる。任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle \langle T^nf, T^nf'\rangle = \int_{\mathbb{Z}_N}T^nf \mathbb{E}_{h \in H}\left( \overline{c_{n, h}g_h}\right)$

が成り立つので、内積のユニタリ性より

$\displaystyle \langle f, f'\rangle = \mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(\langle T^nf, T^nf'\rangle\right) = \mathbb{E}_{h \in H}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\overline{g_h}\mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(T^nf\overline{c_{n, h}}\right)\right)$

と計算できる(和の入れ替えを行っている)。 $g_h$ は有界関数なので、Cauchy-Schwarzの不等式により

$\displaystyle \left| \langle f, f' \rangle\right| \leq \sqrt{\mathbb{E}_{h \in H}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\left|\mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(T^nf\overline{c_{n, h}}\right)\right|^2\right)}$

を得る。ここで、点 $x \in \mathbb{Z}_N$ 毎に次の等式が成立することに注意する(ただし、最初の $T^r$ は $n \in \mathbb{Z}_N$ を変数とする関数への作用と考えており、三行目の $T^r$ は $x$ についての関数に対する作用を考えている):

$\begin{align} &\overline{(T^nf)(x)\cdot \overline{c_{n, h}(x)}}\cdot T^r\left( (T^nf)(x)\cdot \overline{c_{n, h}(x)}\right)\\ &= (T^n\overline{f})(x)\cdot c_{n, h}(x) \cdot (T^{n+r}f)(x) \cdot \overline{c_{n+r, h}(x)}\\ &=(T^n\overline{f})(x)\cdot c_{n, h}(x) \cdot \left(T^n(T^rf)\right)(x) \cdot \overline{c_{n+r, h}(x)}\\ &=\left(T^n\left( \overline{f}(T^rf)\right)\right)(x)\cdot c_{n, h}(x) \cdot \overline{c_{n+r, h}(x)}.\end{align}$

よって、§4のvan der Corputの補題により、点 $x \in \mathbb{Z}_N$ 毎に

$\displaystyle \left|\mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(T^nf\overline{c_{n, h}}(x)\right)\right|^2 = \mathbb{E}_{n, r \in \mathbb{Z}_N}\left( T^n(\overline{f}T^rf)c_{n, h}\overline{c_{n+r, h}}(x)\right)$

と変形できる。従って、積分と順序を入れ替えて内積のユニタリ性によって $T^{-n}$ を作用させることにより

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right| \leq \sqrt{\mathbb{E}_{h \in H}\left(\mathbb{E}_{n, r \in \mathbb{Z}_N}\left(\langle \overline{f}T^rf, T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\rangle \right)\right)}$

を得る。ここで、 $UAP^{k-3}$ はシフト不変なBanach代数なので(特に複素共役不変性・積閉性より)

$\left\|T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\right\|_{UAP^{k-3}} \leq \left\|c_{n, h}\right\|_{UAP^{k-3}}\left\|c_{n+r, h}\right\|_{UAP^{k-3}}\leq 1$

であり、帰納法の仮定により

$\displaystyle \left|\langle \overline{f}T^rf, T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\rangle \right| \leq \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}\left\|T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\right\|_{UAP^{k-3}} \leq \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}$

が成立する。従って、

$\begin{align}\left|\langle f, f'\rangle\right| &\leq \sqrt{\mathbb{E}_{h \in H}\left(\mathbb{E}_{n, r \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}\right) \right)}\\ &= \sqrt{\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}} \right)}\\ &\leq \left( \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}^{2^{k-2}}\right) \right)^{\frac{1}{2^{k-1}}}= \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\end{align}$

と所望の不等式に到達する。ここで、三行目最初の不等号にはHölderの不等式を用いている。 Q.E.D.

注意 (Remark 5.11): 命題１によって、Green-Taoの論文で使うGowers反一様性ノルム $\left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$ に対して

$\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} \leq \left\| \cdot \right\|_{UAP^{k-2}}$

なる関係があることがわかる。

これから、命題２の証明のための準備を行います。

定義関数 $f\in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ に対して、 $f$ の $d$ -双対関数 $\mathcal{D}_d(f) \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ を次のように帰納的に定義する:

$\mathcal{D}_0(f) := 1,$
$\mathcal{D}_d(f) := \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}T^hf\right), \quad (d \geq 1).$

$\overline{\mathcal{D}_d(f)}=\mathcal{D}_d(\overline{f})$ が成り立つことは帰納法ですぐに示せます*1。 $f$ が有界であれば $\mathcal{D}_d(f)$ も有界です。理由: 帰納法で示す。 $d=0$ のときは明らか。 $d-1$ で成り立つと仮定すると、 $\left\|\cdot \right\|_{L^{\infty}}$ の三角不等式、積閉性、複素共役不変性、シフト不変性により

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}_d(f) \right\|_{L^{\infty}} \leq \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}\right\|_{L^{\infty}}\left\|T^hf\right\|_{L^{\infty}}\right)\leq 1$

と評価できる( $\overline{f}T^hf, \ T^hf$ は有界であることに注意)。

補題２ 任意の $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ と $d \geq 0$ に対して

$\langle f, \mathcal{D}_d(f) \rangle = \left\|f\right\|_{U^d}^{2^d}$

が成り立つ。

証明. $d$ に関する帰納法で証明する。 $d=0$ のときは双対関数と $\left\| \cdot \right\|_{U^0}$ の定義より

$\displaystyle \langle f, \mathcal{D}_0(f) \rangle = \langle f, 1 \rangle = \int_{\mathbb{Z}_N}f = \left\|f\right\|_{U^0}$

と所望の式が成立している。 $d-1$ のときに成立すると仮定すると、

$\begin{align}\langle f, \mathcal{D}_d(f) \rangle &= \left\langle f, \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}T^hf\right) \right\rangle\\ &= \int_{\mathbb{Z}_N}f\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)T^h\overline{f}\right) \\ &= \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\langle fT^h\overline{f}, \mathcal{D}_{d-1}(fT^h\overline{f})\right\rangle \right) \\ &= \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|fT^h\overline{f}\right\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right) \quad (\text{帰納法の仮定}) \\ &= \left\|\overline{f}\right\|_{U^d}^{2^d} = \left\|f\right\|_{U^d}^{2^d} \quad (\left\| \cdot \right\|_{U^d}\text{の複素共役不変性})\end{align}$

と変形でき、 $d$ の場合も成立することがわかる。 Q.E.D.

補題３ $\ f$ が有界で $d \geq 1$ であれば、 $\mathcal{D}_d(f) \in B(UAP^{d-1})$ が成り立つ。

証明. $d=1$ のときは $\mathcal{D}_1(f)=\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}(T^hf) = \int_{\mathbb{Z}_N}f$ は定数であり、 $f$ が有界であることからその絶対値は $1$ 以下。よって、 $\mathcal{D}_1(f) \in B(UAP^{0})$ である。 $d-1$ で成立すると仮定する。 $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle T^n\mathcal{D}_d(f) = \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(T^n\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}T^{n+h}f\right) \stackrel{n+h\mapsto h}{=}\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(T^n\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^{h-n}f)}T^hf\right)$

であり、 $c_{n, h}:=T^n\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^{h-n}f)}, \ g_h:=T^hf$ とおく。 $\overline{f}T^{h-n}f$ は有界なので、シフト不変性、複素共役不変性、帰納法の仮定より $c_{n, h} \in B(UAP^{d-2})$ である。また、 $g_h$ は有界なので、 $\mathcal{D}_d(f) \in B(UAP^{d-1})$ であることが従う。 Q.E.D.

以上の準備のもと、命題２を証明することができます：

命題２ (Gowers一様性の欠如が導く一様概周期関数との相関性, Lemma 5.12) $k \geq 3, \ \varepsilon > 0$ とする。
$f$ が $\left\|f\right\|_{U^{k-1}} \geq \varepsilon$ を満たすような有界関数であれば、或る有界関数 $f' \in B(UAP^{k-2})$ が存在して

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right|\geq \varepsilon^{2^{k-1}}$

が成立する。