INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

超越性予想(執筆中)

超越数

勉強したことを少しずつ書く(まだ理解できてないです。間違いがあったらすみません)。

目標

Kontsevich-Zagier予想 (ラフ版) 有理的なデータのみを用いた積分で表示されるような複素数を周期とよぶ。周期間の等号は積分の基本的な変形である線形性・変数変換・Stokesの公式(微積分学の基本定理の拡張)のみを有限回組み合わせることによって必ず証明できるであろう。

これが正しいとゼータの超越性予想が従う。

Riemannゼータ値の超越性予想 奇数ゼータ値 $\zeta(2k+1)$ は全て超越数であろう。もっと強く、 $\pi, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), ...$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的独立であろう。

定理 (たぶん) Kontsevich-Zagier予想が正しければRiemannゼータ値の超越性予想も正しい。

これだけ聞くと初見では自明ではないと思う*1が専門家には常識っぽい感じもあるので理屈をまとめたい。

周期とKontsevich-Zagier予想

多重ゼータ値の次元予想

www.ajimatics.com
もっちょさんの上記記事にあるPadvan数列 $P_n$ の番号を二つずらしたものを $d_n:=P_{n-2}$ とする。

多重ゼータ値については
integers.hatenablog.com
を参照のこと。

多重ゼータ値の次元予想 (Zagier) $k\geq 0$ とする。重さ $k$ の多重ゼータ値が張る $\mathbb{Q}$ 上ベクトル空間 $Z_k$ の次元は $d_k$ である。

この予想に対して、次の大きな結果が得られている。

定理 (Terasoma, Deligne-Goncharov) $\dim_{\mathbb{Q}}Z_k\leq d_k.$

これは多重ゼータ値の間に大量の線形関係式が存在することを保証する大定理であるが、独立性に関する逆向きの不等式は真に超越数論的な難しさがあり、得られている成果は殆どなく壊滅的状況といえる。

上記記事にあるように、 $n\geq 1$ に対する $d_n$ は $n$ を $2$ と $3$ の和の形に表す表し方の総数である。

定理 (Brown)

モチーフ

Grothendieckの周期予想

Brownの仕事

次元予想から超越性予想

定理多重ゼータ値の次元予想が正しければRiemannゼータ値の超越性予想も正しい。

Ayoubの仕事

まとめ

以上をまとめると次のようになっている。

参考文献

[A] Ayoub
[B] Brown
[GF] Gil-Fresán
[KZ] Kontsevich-Zagier
[T] Terasoma
[Y] 吉永正彦, 周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想, 数学書房, 2016.
[Z] Zagier

*1:だって、めちゃくちゃ乱暴に言えば「積分で書ける数の等式は学校で習った積分の基本的な公式だけでいつでも証明できることがちゃんと保証できればゼータは超越数になる」とか言っているわけです(全然厳密でないので、この文がそのまま広まるとまずいですが)。