インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

相互法則に関するメモ

平方剰余と三角関数

pとlを相異なる奇素数とする。このとき、\left(\frac{l}{p}\right)をLegendre記号として、

\displaystyle \left(\frac{l}{p}\right)=4^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{l-1}{2}}\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\prod_{j=1}^{\frac{l-1}{2}}\left(\sin^2\left(\frac{2\pi j}{l}\right)-\sin^2\left(\frac{2\pi i}{p}\right)\right)

が成り立つ。この式から相互法則

\displaystyle \left(\frac{l}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{l-1}{2}}\left(\frac{p}{l}\right)

が得られる。

4乗剰余とレムニスケート関数

\piは前節では円周率、この節ではprimaryなガウス素数とする。ここで、primaryとは \pi \equiv 1 \pmod{(1+\sqrt{-1})^3}を満たすことを意味し、ノルム \mathrm{N}\pi が奇数であるガウス素数に対しては、primaryな同伴数が一意的に存在する。

\lambda は \pi と異なるもう1つのprimaryなガウス素数とする。

\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)_4\in\{\pm1, \pm\sqrt{-1}\}を4乗剰余記号とする。すなわち、\left(\frac{\lambda}{\pi}\right)_4\equiv \lambda^{\frac{\mathrm{N}\pi-1}{4}}\pmod{\pi} を満たす。

\varpiをレムニスケート周率とし、\mathrm{sl}(z)を lemniscate sine とする。

Z(\pi) を \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]/\pi\mathbb{Z}[\sqrt{-1}] の完全代表系から \pi\mathbb{Z}[\sqrt{-1}] の元を抜いて（1つ）、そのサイズを 1/4 にし、どの2つの元も互いに同伴でないようにした集合とする（1つとって固定。元の数は \frac{\mathrm{N}\pi-1}{4}）。Z(\lambda)も同様にとる。

このとき、計算ミスなどの可能性がまだ残っているけれども、

\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)_4 = \prod_{\alpha\in Z(\pi)}\prod_{\beta\in Z(\lambda)}\frac{\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)-\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)}{1-\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)}

が成り立つと思われる。この式から相互法則

\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)_4=(-1)^{\frac{\mathrm{N}\pi-1}{4}\cdot \frac{\mathrm{N}\lambda-1}{4}}\left(\frac{\pi}{\lambda}\right)_4

が得られる。

疑問

最初の式は \sin^2(x)=1-\cos^2(x) を用いると

\displaystyle \left(\frac{l}{p}\right)=4^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{l-1}{2}}\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\prod_{j=1}^{\frac{l-1}{2}}\left(\cos^2\left(\frac{2\pi i}{p}\right)-\cos^2\left(\frac{2\pi j}{l}\right)\right)

と書き換えられるが、符号を換えた

\displaystyle 4^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{l-1}{2}}\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\prod_{j=1}^{\frac{l-1}{2}}\left(\cos^2\left(\frac{2\pi i}{p}\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi j}{l}\right)\right)

は (p-1)\times (l-1)-長方形のドミノタイリングの個数に一致することがKasteleyn, Temperley-Fisherによって示されている。そして、\left(\frac{l}{p}\right)自体も(p-1)\times (l-1)-長方形のドミノタイリングの言葉で記述できることが最近Kamio-Koizumi-Nakazawaによって指摘された。


それでは、[KKN, Question 1.2]を受けて、4乗剰余記号をレムニスケート関数で記述した上の式に（必要に応じて \mathrm{sl}(z) の導関数や lemniscate cosine に置き換えた上で）符号の調整を施して、何かの組合せ的対象に結びつけることは可能か？

実験

iを虚数単位とする。

primaryなGauss素数1: -1-2i, Norm 5, Z(-1-2i)=\{1\}

primaryなGauss素数2: 3-2i, Norm 13, Z(3-2i)=\{i, 2i, -1-i\}

primaryなGauss素数3: 1+4i, Norm 17, Z(1+4i)=\{1,2,3,2+2i\}

primaryなGauss素数4: -5-2i, Norm 29, Z(-5-2i)= \{i, 2i, 1+i, 1+2i, 1+3i, 2+i, 2+2i\}

primaryなGauss素数5: -3, Norm 9, Z(-3)= \{1, 1+i\}

上の公式で数値計算すると、次は確からしい。

\displaystyle \begin{align}\left(\frac{3-2i}{-1-2i}\right)_4&=-1 \\ \left(\frac{1+4i}{-1-2i}\right)_4&=-1 \\ \left(\frac{-5-2i}{-1-2i}\right)_4&=1 \\ \left(\frac{1+4i}{3-2i}\right)_4&=-i \\ \left(\frac{-5-2i}{3-2i}\right)_4&=i \\ \left(\frac{-5-2i}{1+4i}\right)_4&=1 \\ \left(\frac{-1-2i}{-3}\right)_4 &= i\end{align}


\displaystyle f(\pi,\lambda) := \prod_{\alpha\in Z(\pi)}\prod_{\beta\in Z(\lambda)}\frac{\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)+\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)}{1-\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\mathrm{sl}^4\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)}


と定義すると、コンピューターを使った計算での出力値から次が予想される（正しくない可能性あり）


\displaystyle \begin{align} f(-1-2i,3-2i) &=\frac{11}{8}-\frac{1}{2}i \\ f(-1-2i,1+4i) &= \frac{5}{16}+\frac{9}{8}i \\ f(-1-2i,-5-2i) &= -\frac{17}{128}+\frac{29}{16}i \\ f(3-2i,1+4i) &= \frac{9349}{4096}+\frac{1197}{2048}i \\ f(3-2i,-5-2i) &= -\frac{1834085}{2^{21}}-\frac{4090249}{2^{20}}i \\ f(1+4i,-5-2i) &= -\frac{984553419}{2^{28}}-\frac{157547447}{2^{27}}i \\ f(-1-2i, -3) &= -\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i\end{align}


2^{\frac{\mathrm{N}\pi-1}{4}\cdot\frac{\mathrm{N}\lambda-1}{4}}f(\pi,\lambda)\in\mathbb{Z}[i] のように思われる。


Koizumi氏からのコメント: 有理性はGalois作用からわかるかも。このように色々modifyされた式の値に意味のある数列が現れると面白いのだが。。理論方面、実験方面双方から何らかの現象を見出したい。


\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)_4 = \prod_{\alpha\in Z(\pi)}\prod_{\beta\in Z(\lambda)}\frac{\left(1-\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)\right)\left(\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)-\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\right)}{\left(1+\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)\right)\left(\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)+\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)\right)}

\displaystyle g(\pi,\lambda):=\prod_{\alpha\in Z(\pi)}\prod_{\beta\in Z(\lambda)}\frac{1-\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)}{1+\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \alpha}{\pi}\right)\mathrm{cl}^2\left(\frac{\varpi \beta}{\lambda}\right)}

とおいても、f(\pi,\lambda)より数値が複雑？

参考文献

多数参考にしていますが、取り急ぎのメモのため、後ほど書き加えるということで許してください。
くさだんご氏のtweetにより、以下の論文がより一般的な相互法則を扱っていそうですが、まだ読んでいません。
T. Kubota, Anwendung Jacobischer Thetafunktionen auf die Potenzreste Nagoya Mathematical Journal 19 (1961), 1-13.