2018-08-29

8月13日に生まれた君へ

整数整数-813 整数-271

$8$ と $13$ は連続するFibonacci数だ。

これらを並べてできる $813$ という整数のことを考えてみよう。

素因数分解は $3\times 271$ だ。くっつけた $3271$ は素数。

$813$ は $7$ で挟むと素数になる。 $78137$

$7$ を $813$ で挟んでも素数だ。 $8137813$

素因数の $271$ は $e=\color{red}{2.71}82818284590...$ の最初の三桁に並んでいるが、 $813$ の $e$ 乗を計算してみると

$813^e=\color{red}{813}66615.0622303211885...$

の最初の三桁に $813$ が現れている。

$n$ と $2n$ の間に必ず素数があるというのがBertrandの仮説であった。

一方、 $n^2$ と $(n+1)^2$ の間に必ず素数があると言えるかは未解決の難問である(Legendre予想)。

実は、 $813$ と $2\times 813$ の間には素数が

$\begin{align}&821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, \\ &941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, \\ &1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, \\ &1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, \\ &1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, \\ &1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, \\ &1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, \\ &1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621\end{align}$

の $116$ 個あるが、 $813^2$ と $814^2$ の間にも素数が

$\begin{align}&660973, 660983, 661009, 661019, 661027, 661049, 661061, 661091, 661093, 661097, \\ &661099, 661103, 661109, 661117, 661121, 661139, 661183, 661187, 661189, 661201, \\ &661217, 661231, 661237, 661253, 661259, 661267, 661321, 661327, 661343, 661361, \\ &661373, 661393, 661417, 661421, 661439, 661459, 661477, 661481, 661483, 661513, \\ &661517, 661541, 661547, 661553, 661603, 661607, 661613, 661621, 661663, 661673, \\ &661679, 661697, 661721, 661741, 661769, 661777, 661823, 661849, 661873, 661877, \\ &661879, 661883, 661889, 661897, 661909, 661931, 661939, 661949, 661951, 661961, \\ &661987, 661993, 662003, 662021, 662029, 662047, 662059, 662063, 662083, 662107, \\ &662111, 662141, 662143, 662149, 662177, 662203, 662227, 662231, 662251, 662261, \\ &662267, 662281, 662287, 662309, 662323, 662327, 662339, 662351, 662353, 662357, \\ &662369, 662401, 662407, 662443, 662449, 662477, 662483, 662491, 662513, 662527, \\ &662531, 662537, 662539, 662551, 662567, 662591\end{align}$

の $116$ 個ある。

ちなみに、 $28^2$ と $29^2$ の間にある素数 $787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839$ の最小値と最大値の平均は

$\displaystyle \frac{787+839}{2}=813$

である。

2018-08-28

IMO 1990 Problem 3

高校数学整数整数-3

$\displaystyle \frac{2^n+1}{n^2}$ が整数となるような $1$ より大きい整数 $n$ を全て決定せよ。

解答 $n > 1$ とし、 $\displaystyle \frac{2^n+1}{n^2}$ が整数であると仮定する。 $n$ は奇数でなければならない。 $k:=\mathrm{ord}_3n$ とする。このとき、 $2^n\equiv -1 \pmod{3^{2k}}$ であるので、指数持ち上げ補題より( $x=4, y=1$ として適用)、 $k \geq 2k-1$ 、すなわち $k=0, 1$ が従う。よって、 $3$ で割れない奇数 $m$ を用いて $n=3^{\epsilon}m$ と書ける( $\epsilon \in \{0, 1\}$ )。 $n=3$ のときは $\frac{2^n+1}{n^2}=1$ である。 $m > 1$ と仮定して、 $m$ の最小の素因数を $p(> 3)$ とする。

$2^n\equiv -1 \pmod{p} \tag{1}$

である。 $i:=\mathrm{Ind}_2(p)$ とする(指数)。(1)より $i \mid 2n$ 。 $i$ が奇数であれば $i \mid n$ 、 $2^n \equiv 1 \pmod{p}$ となって(1)に矛盾。よって、 $i=2j$ と書ける( $j \geq 1$ )。 $j \mid n$ である。Fermatの小定理より $j \mid \frac{p-1}{2}$ なので、 $j < p$ 。 $p$ の最小性より $j=1$ or $3$ である。 $j=1$ とすると、 $i=2$ で $2^2 \equiv 1 \pmod{p}$ と矛盾である。 $j=3$ であっても $i=6$ で $2^6 \equiv 1 \pmod{p}$ となるので $p=7$ しかあり得ない。ところが、 $\mathrm{Ind}_2(7)=3 \neq 6$ なので矛盾。つまり、 $n=3$ のみである。