インテジャーズ

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インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

691:関-ベルヌーイ数

691

691は12番目の関-Bernoulli数\displaystyle B_{12}=-\frac{691}{2730}の分子に現れる素数。

定義

定義 n \geq 0に対して、有理数B_nを次の母関数の展開係数として定義する:
\displaystyle F(t)=\frac{te^t}{e^t-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n.
B_nを第n関-Bernoulli数と呼ぶ。

実はこの定義はおそらく少数派です。多数派の定義は次の定義'です:

定義' n \geq 0に対して、有理数B_nを次の母関数の展開係数として定義する:
\displaystyle \frac{t}{e^t-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n.
B_nを第n関-Bernoulli数と呼ぶ。

\displaystyle F(t)=t+\frac{t}{e^t-1}なので、違いはB_1=1/2B_1=-1/2のみです。私は少数派の定義、すなわちB_1=1/2になる定義を採用しています。理由は色々あるのですが、ここでは「関およびBernoulliによる定義はB_1=1/2の方であった」および「冪乗和の公式(後述)が綺麗に書ける」をあげておきます*1
関-Bernoulli数は次の漸化式を満たします:

\displaystyle B_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n+1-k}\binom{n+1}{k}B_k, \ \ (n\geq 1).

証明. \displaystyle F(t)e^{-t}=\frac{t}{e^t-1}なので、\displaystyle {\small \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}t^k\right) \left( \sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^j}{j!}t^j \right) = 1-\frac{1}{2}t+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n}
t^{n+1}の係数を比較することにより、\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^{n+1-k}\binom{n+1}{k}B_k=0を得る。 Q.E.D.

勿論、この漸化式を用いて関-Bernoulli数を定義することもできます。
3以上の奇数nに対してはB_n=0となります。これは、F(-t)=F(t)-tから分かります。また、次の記事で証明するように、B_{2n} \ (n\geq 1)の正負は交互に入れ替わります(数値例を参照のこと)。

追記:
1) B_1=1/2なる定義であっても、(-1)^{\bullet}の出てこない綺麗な漸化式

\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k}B_k=n+1

を満たします。これは

\displaystyle F(t)e^t=te^t+F(t)

の係数比較によって得られます。

2) 正負が入れ替わることはこの記事の最後に書いているEuler-Ramanujanの漸化式を用いても示すことができます(数学的帰納法)。

数値例

B_nを既約分数で表したときの分子をN_n, 分母をD_n > 0とします。N_nD_nの値と素因数分解を少しだけ見てみましょう:

N_0=1,
N_1=1,
N_2=1,
N_4=-1,
N_6=1,
N_{8}=-1,
N_{10}={\color{red}5},
N_{12}=-691,
N_{14}={\color{red}7},
N_{16}=-3617,
N_{18}=43867,
N_{20}=-174611=-283\times 617,
N_{22}=854513={\color{red}{11}}\times 131\times 593,
N_{24}=-236364091=-103\times 2294797,
N_{26}=8553103={\color{red}{13}}\times 657931,
N_{28}=-23749461029={\color{red}7}\times 9349\times 362903,
N_{30}=8615841276005={\color{red}5}\times 1721\times 1001259881,
N_{32}=-7709321041217=-37\times 683\times 305065927,
N_{34}=2577687858367={\color{red}{17}}\times 151628697551,
N_{36}=-26315271553053477373,
N_{38}=2929993913841559={\color{red}{19}}\times 154210205991661,
N_{40}=-261082718496449122051=-137616929\times 1897170067619,
N_{42}=1520097643918070802691,

\begin{equation}\begin{split}N_{44}&=-27833269579301024235023\\ &=-{\color{red}{11}}\times 59\times 8089\times 2947939\times 1798482437,\end{split}\end{equation}

N_{46}=596451111593912163277961= {\color{red}{23}}\times 383799511\times 67568238839737,

\begin{equation}\begin{split}N_{48}&=-5609403368997817686249127547\\ &=-653\times 56039\times 153289748932447906241,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{50}&=495057205241079648212477525\\ &= {\color{red}{5^2}}\times 417202699\times 47464429777438199,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{52}&=-801165718135489957347924991853\\ &=-{\color{red}{13}}\times 577\times 58741\times 401029177\times 4534045619429,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{54}&=29149963634884862421418123812691\\ &= 39409\times 660183281\times 1120412849144121779,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{56}&=-2479392929313226753685415739663229\\ &=-{\color{red}7}\times 113161\times 163979\times 19088082706840550550313,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{58}&=84483613348880041862046775994036021\\ &= {\color{red}{29}}\times 67\times 186707\times 6235242049\times 37349583369104129,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{60}&=-1215233140483755572040304994079820246041491\\ &=-2003\times 5549927\times 109317926249509865753025015237911,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{62}&=12300585434086858541953039857403386151\\ &= {\color{red}{31}}\times 157\times 266689\times 329447317\times 28765594733083851481,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{64}&=-106783830147866529886385444979142647942017\\ &=-1226592271\times 87057315354522179184989699791727,\end{split}\end{equation}

\begin{equation}\begin{split}N_{66}&=1472600022126335654051619428551932342241899101\\ &= {\color{red}{11}}\times 839\times 159562251828620181390358590156239282938769,\end{split}\end{equation}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{68}&=-78773130858718728141909149208474606244347001\\ &=-{\color{red}{17}}\times 37\times 101\times 123143\times 1822329343\times 5525473366510930028227481,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{70}&=1505381347333367003803076567377857208511438160235\\ &= {\color{red}5}\times {\color{red}7}\times 688531\times 20210499584198062453\times 3090850068576441179447,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{72}&=-5827954961669944110438277244641067365282488301844260429\\ &=-3112655297839\times 1872341908760688976794226499636304357567811,\end{split}\end{equation}}

\begin{equation}\begin{split}N_{74}&=34152417289221168014330073731472635186688307783087\\ &= {\color{red}{37}}\times 923038305114085622008920911661422572613197507651,\end{split}\end{equation}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{76}&=-24655088825935372707687196040585199904365267828865801\\ &=-{\color{red}{19}}\times 58231\times 22284285930116236430122855560372707885169924709,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{78}&=414846365575400828295179035549542073492199375372400483487\\ &= {\color{red}{13}}\times 787388008575397\times 33364652939596337\\ & \ \ \ \ \times 1214698595111676682009391,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{80}&=-4603784299479457646935574969019046849794257872751288919656867\\ &=-631\times 10589\times 5009593\times 141795949\\ & \ \ \ \ \times 969983603247099340617362338794263364709,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{82}&=1677014149185145836823154509786269900207736027570253414881613\\ &= {\color{red}{41}}\times 4003\times 38189\\ & \ \ \ \ \times 267564809427749238542649199594159701256952090203379,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{84}&=-2024576195935290360231131160111731009989917391198090877281083932477\\ &=-233\times 271\times 68767\times 167304204004064919523\\ & \ \ \ \ \times 2786903827245650053311240128451928279,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{86}&=660714619417678653573847847426261496277830686653388931761996983\\ &= {\color{red}{43}}\times 541\times 21563\\ & \ \ \ \ \times 1317161453956258384019814501134446230216181176462038507,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{88}&=-1311426488674017507995511424019311843345750275572028644296919890574\\ & \ \ \ \ \ 047\\ &=-{\color{red}{11}}\times 307\times 2682679\\ & \ \ \ \ \times 144758535645314601051245367593097770353888766846233719346409,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{90}&=117905727902108279988412335124921508377525494966964711623154521572792\\ & \ \ \ \ \ 2535\\ &= {\color{red}5}\times 587\times 1758317910439\\ & \ \ \ \ \times 228470113952790571815807754364820900071198161742204795399,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{92}&=-1295585948207537527989427828538576749659341483719435143023316326829\\ & \ \ \ \ \ 946247\\ &=-{\color{red}{23}}\times 587\times 108023\\ & \ \ \ \ \times 888349899411924520646963716970410934405926688658379816136849989,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{94}&=12208138065797444696073016794132012039585084152026966214362151052846\\ & \ \ \ \ \ 49447\\ &= {\color{red}{47}}\times 467\times 1499\times 2459153\times 4217126617741589575995641\\ & \ \ \ \ \times 3577922013827274976860631840900289,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{96}&=-2116004495972665130975977281098242336730439543890602341506387334200\\ & \ \ \ \ \ 50668349987259\\ &=-7823741903\times 4155593423131\times 10017952436526113\times 96454277809515481\\ & \ \ \ \ \times 6735480167773644873691271,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{98}&=67908260672905495624051117546403605607342195728504487509073961249992\\ & \ \ \ \ \ 947058239\\ &= {\color{red}{7^2}}\times 2857\times 3221\times 1671211\times 9215789693276607167\\ & \ \ \ \ \times 9778263152874996218584617307180549616435599,\end{split}\end{equation}}

{\small \begin{equation}\begin{split}N_{100}&=-9459803781912212529522743306949372187270284153306693613338569620431\\ & \ \ \ \ \ 1395415197247711\\ &=-263\times 379\times 28717943\times 65677171692755556482181133\\ & \ \ \ \ \times 503175397608024323584539371320514986481668897,…\end{split}\end{equation}}



D_0=1,
D_1=2,
D_2=6=2\times 3,
D_4=30=2\times 3\times 5,
D_6=42=2\times 3\times 7,
D_8=30=2\times 3\times 5,
D_{10}=66=2\times 3\times 11,
D_{12}=2730=2\times 3\times 5\times 7\times 13,
D_{14}=6=2\times 3,
D_{16}=510=2\times 3\times 5\times 17,
D_{18}=798=2\times 3\times 7\times 19,
D_{20}=330=2\times 3\times 5\times 11,
D_{22}=138=2\times 3\times 23,
D_{24}=2730=2\times 3\times 5\times 7\times 13,
D_{26}=6=2\times 3,
D_{28}=870=2\times 3\times 5\times 29,
D_{30}=14322=2\times 3\times 7\times 11\times 31,
D_{32}=510=2\times 3\times 5\times 17,
D_{34}=6=2\times 3,
D_{36}=1919190=2\times 3\times 5\times 7\times 13\times 19\times 37,
D_{38}=6=2\times 3,
D_{40}=13530=2\times 3\times 5\times 11\times 41,
D_{42}=1806=2\times 3\times7\times 43,
D_{44}=690=2\times 3\times 5\times 23,
D_{46}=282=2\times 3\times 47,
D_{48}=46410=2\times 3\times 5\times 7\times 13\times 17,
D_{50}=66=2\times 3\times 11,
D_{52}=1590=2\times 3\times 5\times 53,
D_{54}=798=2\times 3\times 7\times 19,
D_{56}=870=2\times 3\times 5\times 29,
D_{58}=354=2\times 3\times 59,
D_{60}=56786730=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 31\times 61,
D_{62}=6=2\times 3,
D_{64}=510=2\times 3\times 5\times 17,
D_{66}=64722=2\times 3\times 7\times 23\times 67,
D_{68}=30=2\times 3\times 5,
D_{70}=4686=2\times 3\times 11\times 71,
D_{72}=140100870=2\times 3\times 5\times 7\times 13\times 19\times 37\times 73,
D_{74}=6=2\times 3,
D_{76}=30=2\times 3\times 5,
D_{78}=3318=2\times 3\times 7\times 79,
D_{80}=230010=2\times 3\times 5\times  11\times 17\times 41,
D_{82}=498=2\times 3\times 83,
D_{84}=3404310=2\times 3\times 5\times 7\times 13\times 29\times 43,
D_{86}=6=2\times 3,
D_{88}=61410=2\times 3\times 5\times 23\times 89,
D_{90}=272118=2\times 3\times 7\times 11\times 19\times 31,
D_{92}=1410=2\times 3\times 5\times 47,
D_{94}=6=2\times 3,
D_{96}=4501770=2\times 3\times 5\times 7\times 13\times 17\times 97,
D_{98}=6=2\times 3,
D_{100}=33330=2\times 3\times 5\times 11\times 101,…

冪常和の公式(Faulhaberの公式)

高校で習うΣの公式は関-Bernoulli数を用いて次のように一般化できます:

定理 自然数k, nに対して、S_n(k):=1^n+2^n+\cdots +k^nとするとき、
\displaystyle S_n(k) = \frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^n\binom{n+1}{j}B_jk^{n+1-j}
が成り立つ。

証明のためにBernoulli多項式を導入します:

定義 Bernoulli多項式B_n(x) \in \mathbb{Q}[x] を次の母関数の展開係数として定義する:

\displaystyle F(t, x) := \frac{te^{(1+x)t}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^n.

B_0(x)=1, B_1(x)=x+\frac{1}{2}, B_2(x)=x^2+x+\frac{1}{6},…となっています。

\displaystyle F(t, x)=F(t)e^{tx}=\left( \sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{t^n}{n!}\right) \left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n\frac{t^n}{n!}\right)

なので、

\displaystyle B_n(x)=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}B_jx^{n-j}

が成り立ちます。

冪常和の公式の証明.

\displaystyle F(t, x)-F(t, x-1)=\frac{te^{(1+x)t}}{e^t-1}-\frac{te^{xt}}{e^t-1}=te^{xt}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}

なので、

B_{n+1}(x)-B_{n+1}(x-1)=(n+1)x^n

が成り立つ。これは、望遠鏡和の形をしているので、

\displaystyle S_n(k)=\frac{1}{n+1}(B_{n+1}(k)-B_{n+1}(0))

が示された。よって、証明の直前に得た関係式により証明が終わる。 Q.E.D.

望遠鏡和については過去の記事を参照してください:
integers.hatenablog.com

Von-Staudt-Clausenの定理

N_nD_nの数値例を眺めてみると、N_nはかなり速いスピードで大きくなっていくことが分かります。一方、D_nはそんなに大きくならないことが分かります。更に、D_nの素因数分解を凝視することにより、D_nには簡明な法則があることが分かります:

Von-Staudt-Clausenの定理 \displaystyle B_{2n}+\sum_{p-1\mid 2n}\frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.

D_{2n}p-12nを割り切るような素数全体の積に等しい。
特に、平方因子をもたない(square-free)ことが分かる。

補題 自然数nおよび素数pに対して、\varepsilon_n(p) \in \{ 0, 1 \}p-1 \mid nのとき\varepsilon_n (p) = 1, p-1 \nmid nのとき\varepsilon_n(p)=0により定める。このとき、S_n(p-1)\equiv -\varepsilon_n(p) \pmod{p}が成り立つ。

証明. p-1 \mid nのとき、Fermatの小定理より、1\leq m\leq p-1なる整数mに対しm^n\equiv 1 \pmod{p}が成り立つので、

\displaystyle S_n(p-1)=\sum_{m=1}^{p-1}m^n \equiv p-1 \equiv -1 = -\varepsilon_n(p) \pmod{p}

となる。次に、p-1\nmid nのときを考える。rpの原始根とする。
integers.hatenablog.com
\bmod{p}で考えると集合\{ r, 2r, \dots, (p-1)r\}\{1, 2, \dots, p-1\}は一致するため、

\displaystyle \sum_{m=1}^{p-1}(mr)^n \equiv \sum_{m=1}^{p-1}m^n \pmod{p}

が成り立つ。よって、(r^n-1)S_n(p-1) \equiv 0 \pmod{p}r^n \not \equiv 1\pmod{p}なので、S_n(p-1) \equiv 0 =-\varepsilon_n(p)を得る。 Q.E.D.

素数pに対して、可換環\mathbb{Z}_{(p)}
\mathbb{Z}_{(p)} := \{ r \in \mathbb{Q} \mid r\text{を既約分数で表したときに分母が}p\text{で割れない} \}とします。

Von-Staudt-Clausenの定理の証明. 自然数nに対して、

\displaystyle B_{2n}+\sum_{l}\frac{\varepsilon_{2n}(l)}{l} \in \mathbb{Z}-①

を示せばよい。ただし、和は全ての素数l を走る。n=1のときは、B_2=1/6であること、および、l-12を割り切る素数l2, 3のみであることより成立する。以下、n \geq 2として、nに関する帰納法で①を示す。素数pを固定する。冪常和の公式、S_{2n}(p) \equiv S_{2n}(p-1) \pmod{p}、補題より、

\displaystyle \varepsilon_{2n}(p)+\sum_{j=0}^{2n}\frac{1}{2n+1-j}\binom{2n}{j}B_jp^{2n+1-j} \equiv 0 \pmod{p}

が成り立つ(\frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{j}=\frac{1}{2n+1-j}\binom{2n}{j}を用いた)。よって、B_{2n-1}=0に注意すると、

\displaystyle B_{2n}+\frac{\varepsilon_{2n}(p)}{p}+\sum_{j=0}^{2n-2}\frac{p^{2n-1-j}}{2n+1-j}\binom{2n}{j}pB_j \in \mathbb{Z}-②

が得られる。さて、任意の0\leq j \leq 2n-2なるjに対して

\displaystyle \frac{p^{2n-1-j}}{2n+1-j}\binom{2n}{j}pB_j \in \mathbb{Z}_{(p)}-③

を示そう。j3以上の奇数の場合はB_j=0であるから成り立つ。j1または2以上の偶数のとき、帰納法の仮定によりD_jは平方因子をもたないので、pB_j \in \mathbb{Z}_{(p)}である。また、二項係数は整数。よって、③が成り立たないと仮定すると、

\displaystyle \frac{p^{2n-1-j}}{2n+1-j}=\frac{p^{s-1}}{s+1} \not \in \mathbb{Z}_{(p)}

でなければならない。ここで、s=2n-jとおいた。j=0のときもB_0=1なので、同じ必要条件を得る。このとき、s+1 \geq p^sでなければならないが、s\geq 2であるからs+1<2^s\leq p^sとなって矛盾する。よって、③が示されたので、②から

\displaystyle B_{2n}+\frac{\varepsilon_{2n}(p)}{p} \in \mathbb{Z}_{(p)}

が成り立つ。l\neq pなる素数lに対しては\frac{\varepsilon_{2n}(l)}{l} \in \mathbb{Z}_{(p)}なので、

\displaystyle B_{2n}+\sum_l\frac{\varepsilon_{2n}(l)}{l} \in \mathbb{Z}_{(p)}

が示された。これが、任意の素数pに対して成立するので、結局①が成立することが分かる。 Q.E.D.*2

定理 D_n=6なるnが無数に存在する。

証明. p3で割った余りが1であるような素数とする。Dirichletの算術級数定理によって、このような素数は無数に存在する。n=2pの約数は1, 2, p, 2pであるが、p+18以上の偶数なので素数ではない。また、2p+1 \equiv 0 \pmod{3}も素数ではない。よって、Von-Studt-Clausenの定理により、D_n=6である。 Q.E.D.

分子について

Von-Staudt-Clausenの定理によって、関-Bernoulli数の分母D_nは完全に決定できました。それでは、分子N_nにもこのような簡明な公式はあるのでしょうか?
まず、次の定理によって、N_nに現れる素因数のうちのいくつかは確実に予測できることがわかります:

定理 (Adams 1878) nを自然数とし、pp-12nを割らないような素数とする。このとき、\mathrm{ord}_p(2n)\leq \mathrm{ord}_p(N_{2n})が成り立つ。

この定理は、Kummerの合同式と合わせて、p進の文脈で語ると簡単ですので、証明は将来の記事に託します。

例で理解してみましょう。n=34=2\times 17の約数は1, 2, 17, 34の4つです。これらのうち、1を足して素数になるのは1, 2のみです。こうして、D_{34}=2\times 3=6がVon-Staudt-Clausenの定理によって分かります。一方、34の素因数のうち、17D_{34}の素因数には登場しませんでした。このとき、N_{34}17で割り切れることがAdamsの定理から分かります。実際、

\displaystyle B_{34}=\frac{17\times 1516286997551}{2\times 3}

です。

n=50=2\times 5^2の約数は1, 2, 5, 10, 25, 50ですが、1を足して素数になるのは1,2,10なので、D_{50}=2\times 3\times 11=66。一方、50の素因数のうち、5D_{50}の素因数には登場しませんでした。よって、Adamsの定理によってN_{50}5^2で割り切れることが分かります。実際、

\displaystyle B_{50}=\frac{5^2\times 417202699\times 47464429777438199}{2\times 3\times 11}

です。

このように、Adamsの定理によってN_nの一部に関する情報を得られましたが、上の例における1516286997551417202699, 47464429777438199といった素数が一体どういったメカニズムで出現するのかは今のところさっぱり分かりません。Adamsの定理から分かる部分については上の数値例において赤色で示しています。実は、これらの"赤色ではない"素数*3は数論的に極めて深い情報を有しているようです。どういうことが知られているかを後々紹介していきますが、関-Bernoulli数において神秘的な部分となっています。

というわけで、上記数値例において初めて現れる神秘的な素数として、691は有名な素数なのです。ちなみに、神秘的な素数の部分は必ずしもsquare-freeとは限りません*4

別の漸化式

次の記事で使う漸化式を紹介します:

定理 (Euler, Ramanujan) n2以上の整数とするとき、
\displaystyle -(2n+1)B_{2n}=\sum_{k=1}^{n-1}\binom{2n}{2k}B_{2k}B_{2n-2k}
が成り立つ。

証明. F(t)の微分を計算することにより、F(t)は微分方程式

F(t)^2=(1+t)F(t)-tF'(t)

を満たすことがわかる。B_{2k+1}=0 \ (k\geq 1)に注意して、両辺のt^{2n}の係数を比較することにより所望の等式が得られる。 Q.E.D.

歴史

冪乗和の一般公式を与え、それと同時にB_nを発見したのは関孝和とJacob Bernoulliです。Jacobの誕生日は12月27日なので、やはり昨日記事にすべきだったと後悔しています。冪乗和の公式はFaulhaberの公式と呼ばれることも多いですが、それは彼が1631年に17乗和までの公式を発表していることに起因しています。しかし、彼は一般公式を与えることは出来ませんでした。3乗和、4乗和の公式までは高校数学でも習いますが、「一般公式はどうなるか?」と疑問に思った方も多いと思います。それがB_nという極めて数論的に重要な量によって記述されることに気づいた関孝和とBernoulliには畏敬の念を覚えます。どちらが先に公式を得たのかが気になりますが、関孝和の『括要算法』は1712年、Bernoulliの"Ars Conjectandi"は1713年です。ただし、どちらも遺稿であるため、どちらが先に発見したかは分かっていません。ということで、Bernoulli数と呼ばれることの多いB_nですが、関-Bernoulli数と呼ぶべきです。特に、鎖国の世でこれを成し遂げた関には驚きを隠せません。なお、B_nを出すことなく一般公式について論じる入試問題が東大で出題されたことがあります:
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2006/06ta203/node1.html

Von-Staudt-Clausenの定理は1840年にStaudtとClausenによって独立に証明が発表されました。このように、重要な成果が同年に独立に発表されたケースは少なくありません。なお、Ramanujanも独自にこの定理を発見していたそうです。

*1:関-Bernoulli数自体は2つある定義のどちらを採用してもB_1しか違わないので問題は余りありませんが、例えば多重ベルヌーイ数を考える場合は、二種類の多重ベルヌーイ数があって互いに関係があると認識した方がよいです。

*2:冪乗和の公式によって、冪乗和と関-Bernoulli数の間に関係があります。一方で、冪乗和は\bmod{p}の情報が簡単に得られます(補題)。こうして、Bernoulli数に関する\bmod{p}の情報が得られ、全ての素数を走らせることによって、大域的な情報が得られるという感じの証明でした。また、証明は他にもいくつか知られており、この証明より短いものも存在します。

*3:非正則素数と呼ばれますが、これについては別の記事で紹介します。 追記) integers.hatenablog.com

*4:integers.hatenablog.com