2016-05-17

|τ(n)|が素数となる数値例

τ(n) 整数整数-47 整数-4705942878159923138262416607648599521

Ramanujanの $\tau$ 関数シリーズがしばらく続いています。

integers.hatenablog.com

で次の定理を紹介しました：

定理 (Lehmer 1965) $\ \tau (n)$ の絶対値が素数となるような最小の $n$ は $n=63001=251^2$ であり、

$\tau (63001)=-80561663527802406257321747$

である。

$\tau (n)$ の乗法性から絶対値が素数になるような $n$ をサーチするには $n$ が素数冪のときだけを考えれば十分ですが、最小である $n=251^2$ が素数の二乗であったことは偶然だったのでしょうか？例えば、 $\left|\tau(p)\right|$ が素数となるような素数 $p$ は存在しないのでしょうか？

691：ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式 - INTEGERSの最後に紹介したように、

$\tau (p) \equiv 1+p^{11} \pmod{2^8}$

が全ての奇素数に対して成り立つので、 $\tau (2)=-24$ と合わせて

任意の素数 $p$ に対して、 $\tau (p)$ は偶数である。

ことが分かります。一方、次の予想があります：

予想 $\tau (n)=2$ なる $n$ は存在しないであろう。

とりあえず、この予想を無根拠に信じることにしましょう。つまり、我々の目標を
「 $\left|\tau (n)\right|$ が奇素数であるような $n$ を見つけたい」に変更します。すると、次の補題から最小の例が素数の二乗であったことが偶然でないことが分かります：

補題 $\tau (n)$ が奇数であるための必要十分条件は $n$ が奇平方数であることである。

証明. $\tau (n)$ の乗法性から $n$ が奇素数冪であるときに調べれば十分である。 $p$ を奇素数とする。このとき、 $\tau (p^{\text{奇数}})$ は偶数であり $\tau (p^{\text{偶数}})$ は奇数であることを数列τ(n)に関するRamanujanの予想 - INTEGERSで紹介した漸化式

$\tau (p^{k+1})=\tau(p)\tau(p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})$

を用いて $k$ に関する帰納法で証明する。まず、 $\tau (p)$ が偶数であることは既に述べた。また、漸化式より

$\tau (p^2) = \tau(p)^2 - p^{11}$

なので、 $\tau (p^2)$ が奇数であることがわかる。そうして、漸化式より( $\tau (p)$ が偶数であることに注意して)

$\displaystyle \tau (p^{k+1}) \equiv \tau (p^{k-1}) \pmod{2}$

が成り立つので帰納法が進むことが分かる。 Q.E.D.

それでは、 $\left|\tau (n)\right|$ が素数になるような数値例を少しだけ見てみましょう：

$\tau(251^2)=\tau(63001)= -80561663527802406257321747$
$\tau(677^2)=\tau(458329)= -11695495424911987900947041440697$
$\tau(971^2)=\tau(942841)= -261735233712444492786795215139587$
$\tau(983^2)=\tau(966289)= -686681472061569603985711525865543$
$\tau(1229^2)=\tau(1510441)= -8467957012200178807169459266490129$
$\tau(1721^2)=\tau(2961841)= -205501290141049152491380112020976837$
$\tau(47^4)=\tau(4879681)= 4705942878159923138262416607648599521$
$\tau(3779^2)=\tau(14280841)= -1524356715254406760222820845998524955179$
$\tau(5387^2)=\tau(29019769)= 224443925009579629668378270555411764988733$
$\tau(6791^2)=\tau(46117681)= 1299454610883721303125960788354586606213673$
$\tau(7013^2)=\tau(49182169)= -1988648387980861551397034681949121494854393$
$\tau(7187^2)=\tau(51652969)= 3579217288330406169889198142403494980716133$
$\tau(7547^2)=\tau(56957209)= -4476761695198736549472926280064699605616787$
$\tau(8663^2)=\tau(75047569)= 18986675267929014739008135100397614920764857$
$\tau(8951^2)=\tau(80120401)= 35939444348911957569743422920135731164715353$
$\tau(9281^2)=\tau(86136961)= -43871604252074653661169256503212499659879357$
$\tau(9677^2)=\tau(93644329)= 128844863071875710981186556723898218643960303$
$\tau(9887^2)=\tau(97752769)= 15664085954996284155731304952645361878931233$
$\tau(10223^2)=\tau(104509729)= -125338154897751299612618798710650314799748943$
$\tau(12743^2)=\tau(162384049)= -442785402547056268730712789178410635532481943$
$\tau(12821^2)=\tau(164378041)= -1534204908804388216025650578023030243634302537$
$\tau(13313^2)=\tau(177235969)= -1347484124288755202014916224913572863319632893$
$\tau(13913^2)=\tau(193571569)= 10061805965265469748943267998519551326558950107$
$\tau(14771^2)=\tau(218182441)= -4356635337420998944987932267126644113790968187$
$\tau(15263^2)=\tau(232959169)= -2304567838238163681347075552527336257392562143$
$\tau(15467^2)=\tau(239228089)= 8035995020618902642115366544797944509715180573$
$\tau(15923^2)=\tau(253541929)= -3965016228132266448314023594640562188897352443$
$\tau(16229^2)=\tau(263380441)= -20444005516590004822044702375369475546561595129$
$\tau(17393^2)=\tau(302516449)= 8167358142862612842677739331916871256485048307$
$\tau(17789^2)=\tau(316448521)= -11307959292832404493207997378707815029636757089$
$\tau(20753^2)=\tau(430687009)= 354321166877556395713221132860236738700095865107$
$\tau(20789^2)=\tau(432182521)= -108929306119015038143125114226858095241911650089$
$\tau(20903^2)=\tau(436935409)= 658647912647434071503830855023309237053126054857$
$\tau(21101^2)=\tau(445252201)= -352925254703250052523019277313554071743248483697$
$\tau(21617^2)=\tau(467294689)= 207730329324208824192409268118264360591049617523$
$\tau(22283^2)=\tau(496532089)= -325294048133695079960457057714715161430124047043$
$\tau(22409^2)=\tau(502163281)= -5473249010611264728094232074984752916774673909$
$\tau(22787^2)=\tau(519247369)= -531425570623444143891039309842043433409130553067$
$\tau(24137^2)=\tau(582594769)= -1161404444205955217107663103320291011971413534517$
$\tau(26597^2)=\tau(707400409)= -2332672056067561808057288876582546485930387734137$
$\tau(26813^2)=\tau(718936969)= 12016122047224022427132750189378002726973986448607$
$\tau(28439^2)=\tau(808776721)= -7508909580431686609387152858505797240082097247239$
$\tau(29207^2)=\tau(853048849)= 4247413630560887222854275824253219767432670022393$
$\tau(29411^2)=\tau(865006921)= -2297494948375073988268096841433983172339064553867$
$\tau(30509^2)=\tau(930799081)= -867196274813575736844874637221702811153190521009$
$\tau(30677^2)=\tau(941078329)= -22616710325899152934709689643035204455491153602697$
$\tau(30839^2)=\tau(951043921)= -13475428581612679071377552771218118119849742201639$
$\tau(30851^2)=\tau(951784201)= 9140668407998370222052845982118666289045588668053$
$\tau(32621^2)=\tau(1064129641)= -29998526833406614863373011317096843340022112385137$
$\tau(33791^2)=\tau(1141831681)= -65529002350582725328920794857507928684181760355327$
$\tau(34061^2)=\tau(1160151721)= -9154788659335609775849031489599824591690602014417$
$\tau(34469^2)=\tau(1188111961)= -609717835369848157056145989816426248001637027769$
$\tau(34667^2)=\tau(1201800889)= -18209638354054465839230075219060725281939830553827$
$\tau(35171^2)=\tau(1236999241)= -79069010088823857775770812039781005593089842462987$
$\tau(36017^2)=\tau(1297224289)= -48743352884449682973516556105681757164424489107277$
$\tau(37397^2)=\tau(1398535609)= 525824391650418688641761855204496076615392625742263$
$\tau(38729^2)=\tau(1499935441)= -150910894536722691328425771667911005291058303192629$
$\tau(197^4)=\tau(1506138481)= -61173108975256286309417185740968595252976078491779$
$\tau(39671^2)=\tau(1573788241)= -191405978461120208031247656857665421275422442360487$
$\tau(42101^2)=\tau(1772494201)= 721496091661416796390722579832143256470326162017303$
$\tau(43151^2)=\tau(1862008801)= -956505280276286640471609058828006468398909110976047$
$\tau(44579^2)=\tau(1987287241)= -1374988032244037759163219582063337433050070351515979$
$\tau(45557^2)=\tau(2075440249)= 1339838624774274607839788446954171981159964475201943$
$\tau(46877^2)=\tau(2197453129)= 4240259449919726697924333610630864187787228080131903$
$\tau(47969^2)=\tau(2301024961)= -922657470480345830701541174080429893408934788186269$
$\tau(49331^2)=\tau(2433547561)= -3232143601653982201424116104085863785442045970947707$
$\tau(49757^2)=\tau(2475759049)= 7155012924140584297743294883299152576599249922044543$
$\tau(50069^2)=\tau(2506904761)= 1793287365364282513895754392048066898476141315064631$
$\tau(52391^2)=\tau(2744816881)= -1833229315576899598436674083575309198562795164169527$
$\tau(52727^2)=\tau(2780136529)= -7601666051456945031564844783782704500802366720475047$
$\tau(55331^2)=\tau(3061519561)= 12644003262814793698888417089288552998354296927322293$
$\tau(58439^2)=\tau(3415116721)= 35402392718418700255970960625291194451567034287062761$
$\tau(59729^2)=\tau(3567553441)= -21610907068927310503351125443602889084392363736403629$
$\tau(59753^2)=\tau(3570421009)= 45614602989647119567081298290231629571626392579888107$
$\tau(60497^2)=\tau(3659887009)= -36015227762318917310123434163487931137917168754027437$
$\tau(60689^2)=\tau(3683154721)= -25377191811153809524766298844662186315377249666826989$
$\tau(61547^2)=\tau(3788033209)= -36567581879301397200334986258570740038018049230114787$
$\tau(61613^2)=\tau(3796161769)= -5143540888926163898222072126706954149089807136153393$
$\tau(63149^2)=\tau(3987796201)= 92654834276511504488985988816333512031139955745990351$
$\tau(64877^2)=\tau(4209025129)= -36413139221384971340925148870623133316877354234346097$
$\tau(66173^2)=\tau(4378865929)= -55350757509758502908825244289402833786551539335076193$
$\tau(66467^2)=\tau(4417862089)= -16594126544938216724923656320177550745385323127764427$
$\tau(67391^2)=\tau(4541546881)= 199036132439256939715115204016081300963694821972881473$
$\tau(70289^2)=\tau(4940543521)= 364745162714195345060954563267367022858448133449675411$
$\tau(71363^2)=\tau(5092677769)= -52572509289123178814973317480267828726700010094809643$
$\tau(73091^2)=\tau(5342294281)= 320300506915692979695508105215207612533912966520391573$
$\tau(73553^2)=\tau(5410043809)= -268213952808031260526936330581157396129027886690334893$
$\tau(75983^2)=\tau(5773416289)= 873425388043061064362985231283134714196597813229469457$
$\tau(76403^2)=\tau(5837418409)= -241253230149109030704398966744109656156103651465139643$
$\tau(77279^2)=\tau(5972043841)= 334685421212866981828093102672966461300709622418196321$
$\tau(78797^2)=\tau(6208967209)= -139975292872478278758200638366845580080789856285163537$
$\tau(79613^2)=\tau(6338229769)= -273073073661464246060072415586669886643483058773767393$
$\tau(82217^2)=\tau(6759635089)= -332095892523025393426294517146358293472031253615854677$
$\tau(83339^2)=\tau(6945388921)= =-312839186929118438121943754695754684096313929630659139$
$\tau(85781^2)=\tau(7358379961)= 1444912656082930410610299378097000276167386309542121143$
$\tau(88493^2)=\tau(7831011049)= -1800697451043670737869183923127253190678058591646406193$
$\tau(89087^2)=\tau(7936493569)= -2191080701953591706196532688696619626562463722583815167$
$\tau(89393^2)=\tau(7991108449)= -1261447831736747494470790674006273335382852996501503693$
$\tau(89897^2)=\tau(8081470609)= 3936137238493424752074381246411833213747430105272334763$
$\tau(91433^2)=\tau(8359993489)= 3858897438227997776782072242839126472363753649885601707$