インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

|τ(n)|が素数となる数値例

Ramanujanの\tau関数シリーズがしばらく続いています。

integers.hatenablog.com

で次の定理を紹介しました:

定理 (Lehmer 1965)\ \tau (n)の絶対値が素数となるような最小のnn=63001=251^2であり、
\tau (63001)=-80561663527802406257321747
である。

\tau (n)の乗法性から絶対値が素数になるようなnをサーチするにはnが素数冪のときだけを考えれば十分ですが、最小であるn=251^2が素数の二乗であったことは偶然だったのでしょうか?例えば、\left|\tau(p)\right|が素数となるような素数pは存在しないのでしょうか?

691:ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式 - INTEGERSの最後に紹介したように、

\tau (p) \equiv 1+p^{11} \pmod{2^8}

が全ての奇素数に対して成り立つので、\tau (2)=-24と合わせて

任意の素数pに対して、\tau (p)は偶数である。

ことが分かります。一方、次の予想があります:

予想 \tau (n)=2なるnは存在しないであろう。

とりあえず、この予想を無根拠に信じることにしましょう。つまり、我々の目標を
\left|\tau (n)\right|が奇素数であるようなnを見つけたい」に変更します。すると、次の補題から最小の例が素数の二乗であったことが偶然でないことが分かります:

補題 \tau (n)が奇数であるための必要十分条件はnが奇平方数であることである。

証明. \tau (n)の乗法性からnが奇素数冪であるときに調べれば十分である。pを奇素数とする。このとき、\tau (p^{\text{奇数}})は偶数であり\tau (p^{\text{偶数}})は奇数であることを数列τ(n)に関するRamanujanの予想 - INTEGERSで紹介した漸化式

\tau (p^{k+1})=\tau(p)\tau(p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})

を用いてkに関する帰納法で証明する。まず、\tau (p)が偶数であることは既に述べた。また、漸化式より

\tau (p^2) = \tau(p)^2 - p^{11}

なので、\tau (p^2)が奇数であることがわかる。そうして、漸化式より(\tau (p)が偶数であることに注意して)

\displaystyle \tau (p^{k+1}) \equiv \tau (p^{k-1}) \pmod{2}

が成り立つので帰納法が進むことが分かる。 Q.E.D.

それでは、\left|\tau (n)\right|が素数になるような数値例を少しだけ見てみましょう:

\tau(251^2)=\tau(63001)= -80561663527802406257321747
\tau(677^2)=\tau(458329)= -11695495424911987900947041440697
\tau(971^2)=\tau(942841)= -261735233712444492786795215139587
\tau(983^2)=\tau(966289)= -686681472061569603985711525865543
\tau(1229^2)=\tau(1510441)= -8467957012200178807169459266490129
\tau(1721^2)=\tau(2961841)= -205501290141049152491380112020976837
\tau(47^4)=\tau(4879681)= 4705942878159923138262416607648599521
\tau(3779^2)=\tau(14280841)= -1524356715254406760222820845998524955179
\tau(5387^2)=\tau(29019769)= 224443925009579629668378270555411764988733
\tau(6791^2)=\tau(46117681)= 1299454610883721303125960788354586606213673
\tau(7013^2)=\tau(49182169)= -1988648387980861551397034681949121494854393
\tau(7187^2)=\tau(51652969)= 3579217288330406169889198142403494980716133
\tau(7547^2)=\tau(56957209)= -4476761695198736549472926280064699605616787
\tau(8663^2)=\tau(75047569)= 18986675267929014739008135100397614920764857
\tau(8951^2)=\tau(80120401)= 35939444348911957569743422920135731164715353
\tau(9281^2)=\tau(86136961)= -43871604252074653661169256503212499659879357
\tau(9677^2)=\tau(93644329)= 128844863071875710981186556723898218643960303
\tau(9887^2)=\tau(97752769)= 15664085954996284155731304952645361878931233
\tau(10223^2)=\tau(104509729)= -125338154897751299612618798710650314799748943
\tau(12743^2)=\tau(162384049)= -442785402547056268730712789178410635532481943
\tau(12821^2)=\tau(164378041)= -1534204908804388216025650578023030243634302537
\tau(13313^2)=\tau(177235969)= -1347484124288755202014916224913572863319632893
\tau(13913^2)=\tau(193571569)= 10061805965265469748943267998519551326558950107
\tau(14771^2)=\tau(218182441)= -4356635337420998944987932267126644113790968187
\tau(15263^2)=\tau(232959169)= -2304567838238163681347075552527336257392562143
\tau(15467^2)=\tau(239228089)= 8035995020618902642115366544797944509715180573
\tau(15923^2)=\tau(253541929)= -3965016228132266448314023594640562188897352443
\tau(16229^2)=\tau(263380441)= -20444005516590004822044702375369475546561595129
\tau(17393^2)=\tau(302516449)= 8167358142862612842677739331916871256485048307
\tau(17789^2)=\tau(316448521)= -11307959292832404493207997378707815029636757089
\tau(20753^2)=\tau(430687009)= 354321166877556395713221132860236738700095865107
\tau(20789^2)=\tau(432182521)= -108929306119015038143125114226858095241911650089
\tau(20903^2)=\tau(436935409)= 658647912647434071503830855023309237053126054857
\tau(21101^2)=\tau(445252201)= -352925254703250052523019277313554071743248483697
\tau(21617^2)=\tau(467294689)= 207730329324208824192409268118264360591049617523
\tau(22283^2)=\tau(496532089)= -325294048133695079960457057714715161430124047043
\tau(22409^2)=\tau(502163281)= -5473249010611264728094232074984752916774673909
\tau(22787^2)=\tau(519247369)= -531425570623444143891039309842043433409130553067
\tau(24137^2)=\tau(582594769)= -1161404444205955217107663103320291011971413534517
\tau(26597^2)=\tau(707400409)= -2332672056067561808057288876582546485930387734137
\tau(26813^2)=\tau(718936969)= 12016122047224022427132750189378002726973986448607
\tau(28439^2)=\tau(808776721)= -7508909580431686609387152858505797240082097247239
\tau(29207^2)=\tau(853048849)= 4247413630560887222854275824253219767432670022393
\tau(29411^2)=\tau(865006921)= -2297494948375073988268096841433983172339064553867
\tau(30509^2)=\tau(930799081)= -867196274813575736844874637221702811153190521009
\tau(30677^2)=\tau(941078329)= -22616710325899152934709689643035204455491153602697
\tau(30839^2)=\tau(951043921)= -13475428581612679071377552771218118119849742201639
\tau(30851^2)=\tau(951784201)= 9140668407998370222052845982118666289045588668053
\tau(32621^2)=\tau(1064129641)= -29998526833406614863373011317096843340022112385137
\tau(33791^2)=\tau(1141831681)= -65529002350582725328920794857507928684181760355327
\tau(34061^2)=\tau(1160151721)= -9154788659335609775849031489599824591690602014417
\tau(34469^2)=\tau(1188111961)= -609717835369848157056145989816426248001637027769
\tau(34667^2)=\tau(1201800889)= -18209638354054465839230075219060725281939830553827
\tau(35171^2)=\tau(1236999241)= -79069010088823857775770812039781005593089842462987
\tau(36017^2)=\tau(1297224289)= -48743352884449682973516556105681757164424489107277
\tau(37397^2)=\tau(1398535609)= 525824391650418688641761855204496076615392625742263
\tau(38729^2)=\tau(1499935441)= -150910894536722691328425771667911005291058303192629
\tau(197^4)=\tau(1506138481)= -61173108975256286309417185740968595252976078491779
\tau(39671^2)=\tau(1573788241)= -191405978461120208031247656857665421275422442360487
\tau(42101^2)=\tau(1772494201)= 721496091661416796390722579832143256470326162017303
\tau(43151^2)=\tau(1862008801)= -956505280276286640471609058828006468398909110976047
\tau(44579^2)=\tau(1987287241)= -1374988032244037759163219582063337433050070351515979
\tau(45557^2)=\tau(2075440249)= 1339838624774274607839788446954171981159964475201943
\tau(46877^2)=\tau(2197453129)= 4240259449919726697924333610630864187787228080131903
\tau(47969^2)=\tau(2301024961)= -922657470480345830701541174080429893408934788186269
\tau(49331^2)=\tau(2433547561)= -3232143601653982201424116104085863785442045970947707
\tau(49757^2)=\tau(2475759049)= 7155012924140584297743294883299152576599249922044543
\tau(50069^2)=\tau(2506904761)= 1793287365364282513895754392048066898476141315064631
\tau(52391^2)=\tau(2744816881)= -1833229315576899598436674083575309198562795164169527
\tau(52727^2)=\tau(2780136529)= -7601666051456945031564844783782704500802366720475047
\tau(55331^2)=\tau(3061519561)= 12644003262814793698888417089288552998354296927322293
\tau(58439^2)=\tau(3415116721)= 35402392718418700255970960625291194451567034287062761
\tau(59729^2)=\tau(3567553441)= -21610907068927310503351125443602889084392363736403629
\tau(59753^2)=\tau(3570421009)= 45614602989647119567081298290231629571626392579888107
\tau(60497^2)=\tau(3659887009)= -36015227762318917310123434163487931137917168754027437
\tau(60689^2)=\tau(3683154721)= -25377191811153809524766298844662186315377249666826989
\tau(61547^2)=\tau(3788033209)= -36567581879301397200334986258570740038018049230114787
\tau(61613^2)=\tau(3796161769)= -5143540888926163898222072126706954149089807136153393
\tau(63149^2)=\tau(3987796201)= 92654834276511504488985988816333512031139955745990351
\tau(64877^2)=\tau(4209025129)= -36413139221384971340925148870623133316877354234346097
\tau(66173^2)=\tau(4378865929)= -55350757509758502908825244289402833786551539335076193
\tau(66467^2)=\tau(4417862089)= -16594126544938216724923656320177550745385323127764427
\tau(67391^2)=\tau(4541546881)= 199036132439256939715115204016081300963694821972881473
\tau(70289^2)=\tau(4940543521)= 364745162714195345060954563267367022858448133449675411
\tau(71363^2)=\tau(5092677769)= -52572509289123178814973317480267828726700010094809643
\tau(73091^2)=\tau(5342294281)= 320300506915692979695508105215207612533912966520391573
\tau(73553^2)=\tau(5410043809)= -268213952808031260526936330581157396129027886690334893
\tau(75983^2)=\tau(5773416289)= 873425388043061064362985231283134714196597813229469457
\tau(76403^2)=\tau(5837418409)= -241253230149109030704398966744109656156103651465139643
\tau(77279^2)=\tau(5972043841)= 334685421212866981828093102672966461300709622418196321
\tau(78797^2)=\tau(6208967209)= -139975292872478278758200638366845580080789856285163537
\tau(79613^2)=\tau(6338229769)= -273073073661464246060072415586669886643483058773767393
\tau(82217^2)=\tau(6759635089)= -332095892523025393426294517146358293472031253615854677
\tau(83339^2)=\tau(6945388921)= =-312839186929118438121943754695754684096313929630659139
\tau(85781^2)=\tau(7358379961)= 1444912656082930410610299378097000276167386309542121143
\tau(88493^2)=\tau(7831011049)= -1800697451043670737869183923127253190678058591646406193
\tau(89087^2)=\tau(7936493569)= -2191080701953591706196532688696619626562463722583815167
\tau(89393^2)=\tau(7991108449)= -1261447831736747494470790674006273335382852996501503693
\tau(89897^2)=\tau(8081470609)= 3936137238493424752074381246411833213747430105272334763
\tau(91433^2)=\tau(8359993489)= 3858897438227997776782072242839126472363753649885601707


絶対値ではなく、\tau(p^{\bullet})そのものが素数であるものに興味を置くと、

\tau (47^4)=4705942878159923138262416607648599521

が最小のものであることが分かります。これは素数の四乗が現れる最初の例という特徴も持ち合わせています。

知られている最大のもの(の候補*1)は\tau (773^{34960})555339桁だそうです(N. Lygeros and O. Rozier (Sep. 2015))。

*1:probable primeの可能性あり。