インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ヘックス数の天才的求め方

91は合成数であるような最小のヘックス数です。

ヘックス数

一辺がn個の点からなるような正六角形状に点を配置したときの個数を第nヘックス数と言い、H_nで表します(中心付き六角数とも言います)。

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これを六角数と呼びたくなりますが、六角数という名称を持つ数はヘックス数よりも小さい数として昔から別の定義があるため使うことが出来ません。ヘックス(hex)は六角形の英語hexagonの省略形ですが、六角形の升目のことをヘックスと呼びます。また、ヘックスという名のボードゲームがあって例えば次のサイトで遊ぶことが出来ます:
http://www.afsgames.com/hex.htm

ヘックスについては:
HEXの定理(1) - フィボナッチ・フリーク
HEXの定理(2) - フィボナッチ・フリーク

実はこのヘックスというゲームを用いたJordanの曲線定理の証明があって面白いのですが、それはまた別の機会に紹介したいと思います。

1万以下のヘックス数は次のようになっています:

H_1 H_2 H_3 H_4 H_5 H_6 H_7 H_8 H_9 H_{10}
1 \color{red}{7} \color{red}{19} \color{red}{37} \color{red}{61} 91 \color{red}{127} 169 217 \color{red}{271}
H_{11} H_{12} H_{13} H_{14} H_{15} H_{16} H_{17} H_{18} H_{19} H_{20}
\color{red}{331} \color{red}{397} 469 \color{red}{547} \color{red}{631} 721 817 \color{red}{919} 1027 1141
H_{21} H_{22} H_{23} H_{24} H_{25} H_{26} H_{27} H_{28} H_{29} H_{30}
1261 1387 1519 \color{red}{1657} \color{red}{1801} \color{red}{1951} 2107 \color{red}{2269} \color{red}{2437} 2611
H_{31} H_{32} H_{33} H_{34} H_{35} H_{36} H_{37} H_{38} H_{39} H_{40}
\color{red}{2791} 2977 \color{red}{3169} 3367 \color{red}{3571} 3781 3997 \color{red}{4219} \color{red}{4447} 4681
H_{41} H_{42} H_{43} H_{44} H_{45} H_{46} H_{47} H_{48} H_{49} H_{50}
4921 \color{red}{5167} \color{red}{5419} 5677 5941 \color{red}{6211} 6487 6769 \color{red}{7057} \color{red}{7351}
H_{51} H_{52} H_{53} H_{54} H_{55} H_{56} H_{57} H_{58}
7651 7957 \color{red}{8269} 8587 8911 \color{red}{9241} 9577 9919

ちなみに赤色の数は素数です。千以下だと61%、1万以下でも48%が素数で結構多いですね。

ヘックス数の一般項と天才的求め方

ヘックス数の一般項はH_n=3n^2-3n+1で与えられます。これを求める方法は色々あると思いますが、例えば最初の図を見ればH_n=H_{n-1}+6n-6と漸化式が求まります。しかしながら、次のようなある意味で天才的なH_nの求め方があります:

H_nを正六角形状に配置した図は一辺がn個の点からなる立方体に見える。

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そして、「3次元空間に一辺がn個の点からなる立方体状に点を配置したものから
一辺がn-1個の点からなる立方体状に点を配置したものを取り除いた部分」をある角度から平面に投影したものがH_nと思えるため、

H_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1

である。

H_nは望遠鏡和の形になっているため、\displaystyle \sum_{k=1}^nH_k=n^3が成り立つことが分かります。

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