モーリーの定理

この記事では1899年にFrank Morleyが証明した初等幾何学に関するMorleyの定理のAlain Connesによる証明を解説します。Morleyの定理については

を参照してください。

エピソード

Connesがこの証明を発表するに至った経緯には少し面白いエピソードがあります。Connesはとある昼食時に同僚から聴いて始めてMorleyの定理を知ったらしいのですが、その同僚は間違って、Morleyの定理ではなくNapoléonの定理としてこの定理を紹介したそうなのです。そして、Connesは家へ帰り自分の頭でこの定理の証明を考えました。Fields賞受賞者が初等幾何学の問題に取り組むことに多少興味が惹かれますが、彼はこう語っています：

My only motivation besides curiosity was the obvious challenge "This is one of the rare achievements of Bonaparte I should be able to compete with".

そして挑戦の結果Connesは今回紹介する証明にたどり着きました。結局Napoléonの定理ではなかったのですが。。。*1

Connesの定理

$k$ を任意の体とする。群 $G$ を

$\displaystyle G:=\left\{\left. \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \ \right| \ a \in k^{\times}, \ b \in k \right\}$

と定義し、準同型写像 $\delta \colon G \to k^{\times}$ を $(1, 1)$ 成分を返す写像とする。作用 $G \curvearrowright k$ を $g=\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ に対して、 $gx:=ax+b$ で定義すると、 $a \neq 1$ のときに唯一の固定点

$\displaystyle \mathrm{fix}(g) = \frac{b}{1-a}$

を持つ。

Connesの定理 (1998) $g_1, g_2, g_3 \in G$ を $g_1g_2, g_2g_3, g_3g_1, g_1g_2g_3 \not \in \mathrm{Ker}(\delta)$ を満たすような元とする。このとき、 $g_1^3g_2^3g_3^3=1$ が成り立つための必要十分条件は

$j^3=1$ かつ $\alpha+j\beta+j^2\gamma=0$

が成り立つことである。ここで、 $j=\delta(g_1g_2g_3)$ であり、 $\alpha=\mathrm{fix}(g_1g_2),$ $\beta=\mathrm{fix}(g_2g_3), \ \gamma = \mathrm{fix}(g_3g_1)$ である。

証明. $g_i=\left(\begin{smallmatrix} a_i & b_i \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ とする( $i=1, 2, 3$ )。

$\displaystyle g_i^3=\begin{pmatrix} a_i^3 & (a_i^2+a_i+1)b_i \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

なので、

$\displaystyle g_1^3g_2^3g_3^3=\begin{pmatrix} a_1^3a_2^3a_3^3 & (a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+a_1^3a_2^3(a_3^2+a_3+1)b_3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

である。よって、 $j=a_1a_2a_3$ であることから、 $g_1^3g_2^3g_3^3=1$ が成り立つための必要十分条件は $j^3=1$ かつ

$(a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+a_1^3a_2^3(a_3^2+a_3+1)b_3=0$ −①

が成り立つことである。そうして、①の左辺は $j^3=1$ の条件下で

$-ja_1^2a_2(a_1-j)(a_2-j)(a_3-j)(\alpha+j\beta+j^2\gamma)$ −②

に等しい。これは例えば次のようにして証明できる。まず、

$\displaystyle \alpha = \frac{a_1b_2+b_1}{1-a_1a_2},\quad \beta=\frac{a_2b_3+b_2}{1-a_2a_3},\quad \gamma = \frac{a_3b_1+b_3}{1-a_3a_1}$

であり、 $j=a_1a_2a_3$ であることから

$a_1-j=a_1(1-a_2a_3),\quad a_2-j=a_2(1-a_3a_1),\quad a_2-j=a_3(1-a_1a_2).$

これらに注意して②を $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ の多項式として例えば計算機で展開する*2。その後、 $a_1^3a_2^3a_3^3=1$ で次数下げし、更に $1+a_1a_2a_3+a_1^2a_2^2a_3^2=0$ に注意すれば①の左辺に等しいことがわかる。

よって、条件は $j^3=1$ かつ② $=0$ となり、 $g_1, g_2, g_3$ の定義から $a_i-j \neq 0$ なので、② $=0$ は

$\alpha+j\beta+j^2\gamma=0$

と同値である。 Q.E.D.

Morleyの定理の証明

高校数学の美しい物語さんの記事にある図形を複素平面上に一つ書き、点 $A, B, C$ に対応する複素数をそれぞれ $x, y, z$ とし、 $R, P, Q$ に対応する複素数をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma$ 、角○, △, ●の大きさをそれぞれ $a, b, c$ とする。 $k=\mathbb{C}$ とし、 $g_1 \in G$ を $A$ を中心とする $2a$ 回転、 $g_2 \in G$ を $B$ を中心とする $2b$ 回転、 $g_3 \in G$ を $C$ を中心とする $2c$ 回転とする。 $R_{AB}, R_{BC}, R_{CA} \in G$ をそれぞれ直線 $AB$ ( $BC, \ CA$ )に対称な点に移す変換とする。このとき、

$g_1^3= R_{CA}R_{AB},\quad g_2^3=R_{AB}R_{BC},\quad g_3^3=R_{BC}R_{CA}$

が成り立つ。理由: $g_1^3=R_{CA}R_{AB}$ を示せば十分である。 $g_1^3$ は定義から $A$ を中心とする $6a$ 回転である。 $b-a$ の偏角を $\theta_1$ 、 $c-a$ の偏角を $\theta_2$ とする。 $z \in \mathbb{C}$ を任意にとったとき、