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数、特に整数に関する記事。

モーリーの定理

この記事では1899年にFrank Morleyが証明した初等幾何学に関するMorleyの定理のAlain Connesによる証明を解説します。Morleyの定理については

mathtrain.jp

を参照してください。

エピソード

Connesがこの証明を発表するに至った経緯には少し面白いエピソードがあります。Connesはとある昼食時に同僚から聴いて始めてMorleyの定理を知ったらしいのですが、その同僚は間違って、Morleyの定理ではなくNapoléonの定理としてこの定理を紹介したそうなのです。そして、Connesは家へ帰り自分の頭でこの定理の証明を考えました。Fields賞受賞者が初等幾何学の問題に取り組むことに多少興味が惹かれますが、彼はこう語っています:

My only motivation besides curiosity was the obvious challenge "This is one of the rare achievements of Bonaparte I should be able to compete with".

そして挑戦の結果Connesは今回紹介する証明にたどり着きました。結局Napoléonの定理ではなかったのですが。。。*1

Connesの定理

kを任意の体とする。群G

\displaystyle G:=\left\{\left. \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \ \right| \ a \in k^{\times}, \ b \in k \right\}

と定義し、準同型写像 \delta \colon G \to k^{\times}(1, 1)成分を返す写像とする。作用G \curvearrowright kg=\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)に対して、gx:=ax+bで定義すると、a \neq 1のときに唯一の固定点

\displaystyle \mathrm{fix}(g) = \frac{b}{1-a}

を持つ。

Connesの定理 (1998) g_1, g_2, g_3 \in Gg_1g_2, g_2g_3, g_3g_1, g_1g_2g_3 \not \in \mathrm{Ker}(\delta)を満たすような元とする。このとき、g_1^3g_2^3g_3^3=1が成り立つための必要十分条件は
j^3=1 かつ \alpha+j\beta+j^2\gamma=0
が成り立つことである。ここで、j=\delta(g_1g_2g_3)であり、\alpha=\mathrm{fix}(g_1g_2), \beta=\mathrm{fix}(g_2g_3), \ \gamma = \mathrm{fix}(g_3g_1)である。

証明. g_i=\left(\begin{smallmatrix} a_i & b_i \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)とする(i=1, 2, 3)。

\displaystyle g_i^3=\begin{pmatrix} a_i^3 & (a_i^2+a_i+1)b_i \\ 0 & 1\end{pmatrix}

なので、

\displaystyle g_1^3g_2^3g_3^3=\begin{pmatrix} a_1^3a_2^3a_3^3 & (a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+a_1^3a_2^3(a_3^2+a_3+1)b_3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

である。よって、j=a_1a_2a_3であることから、g_1^3g_2^3g_3^=1が成り立つための必要十分条件はj^3=1かつ

(a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+a_1^3a_2^3(a_3^2+a_3+1)b_3=0 −①

が成り立つことである。そうして、①の左辺はj^3=1の条件下で

-ja_1^2a_2(a_1-j)(a_2-j)(a_3-j)(\alpha+j\beta+j^2\gamma) −②

に等しい。これは例えば次のようにして証明できる。まず、

\displaystyle \alpha = \frac{a_1b_2+b_1}{1-a_1a_2},\quad \beta=\frac{a_2b_3+b_2}{1-a_2a_3},\quad \gamma = \frac{a_3b_1+b_3}{1-a_3a_1}

であり、j=a_1a_2a_3であることから

a_1-j=a_1(1-a_2a_3),\quad a_2-j=a_2(1-a_3a_1),\quad a_2-j=a_3(1-a_1a_2).

これらに注意して②をa_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3の多項式として例えば計算機で展開する*2。その後、a_1^3a_2^3a_3^3=1で次数下げし、更に1+a_1a_2a_3+a_1^2a_2^2a_3^2=0に注意すれば①の左辺に等しいことがわかる。

よって、条件はj^3=1かつ②=0となり、g_1, g_2, g_3の定義からa_i-j \neq 0なので、②=0

\alpha+j\beta+j^2\gamma=0

と同値である。 Q.E.D.

Morleyの定理の証明

高校数学の美しい物語さんの記事にある図形を複素平面上に一つ書き、点A, B, Cに対応する複素数をそれぞれ x, y, zとし、R, P, Qに対応する複素数をそれぞれ \alpha, \beta, \gamma、角○, △, ●の大きさをそれぞれ a, b, cとする。k=\mathbb{C}とし、g_1 \in GAを中心とする2a回転、g_2 \in GBを中心とする2b回転、g_3 \in GCを中心とする2c回転とする。R_{AB}, R_{BC}, R_{CA} \in Gをそれぞれ直線AB(BC, \ CA)に対称な点に移す変換とする。このとき、

g_1^3= R_{CA}R_{AB},\quad g_2^3=R_{AB}R_{BC},\quad g_3^3=R_{BC}R_{CA}

が成り立つ。理由: g_1^3=R_{CA}R_{AB}を示せば十分である。g_1^3は定義からAを中心とする6a回転である。b-aの偏角を\theta_1c-aの偏角を\theta_2とする。z \in \mathbb{C}を任意にとったとき、

R_{AB}(z)=\overline{z-a}e^{2\theta_1i}+a

であることは初等的にわかる(バーは複素共役でiは虚数単位)。よって、同じ操作をもう一度行うことによって

R_{CA}R_{AB}(z) = (z-a)e^{-2\theta_1i}\cdot e^{2\theta_2i}+a=(z-a)e^{2(\theta_2-\theta_1)i}+a

となる。\theta_2-\theta_1=3aなので、これはAを中心とする6a回転になっている

よって、

g_1^3g_2^3g_3^3=R_{CA}R_{AB}R_{AB}R_{BC}R_{BC}R_{CA}=1

を得る。また、初等幾何学的に

\alpha=\mathrm{fix}(g_1g_2),\quad \beta=\mathrm{fix}(g_2g_3),\quad \gamma = \mathrm{fix}(g_3g_1)

になっていることがわかるので、Connesの定理より、\omega :=e^{\frac{\pi}{3}i}に対して

\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=0

が成り立つことがわかる。これは、

\alpha-\beta = \omega(\gamma-\beta)

と書き直せ、三角形PQRが正三角形であることを示している。 Q.E.D.

*1:ナポレオンの定理 - Wikipedia

*2:適切でさえあれば手計算でもよい。