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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

2が現れる素数

700000000000000007000000222222000000000022222222220000000222000002222000000000000022220000000000000222200000000000002222000000000000222200000000000022220000000000000222222222222000000222222222222000700000000000000003


216桁の素数ですが、216=18\times 12なので長方形型に表示すると


\begin{align}
&700000000000000007\\
&000000222222000000\\
&000022222222220000\\
&000222000002222000\\
&000000000022220000\\
&000000000222200000\\
&000000002222000000\\
&000000222200000000\\
&000022220000000000\\
&000222222222222000\\
&000222222222222000\\
&700000000000000003\end{align}


となり、2に色をつけると


\begin{align}
&700000000000000007\\
&000000\color{red}{222222}000000\\
&0000\color{red}{2222222222}0000\\
&000\color{red}{222}00000\color{red}{2222}000\\
&0000000000\color{red}{2222}0000\\
&000000000\color{red}{2222}00000\\
&00000000\color{red}{2222}000000\\
&000000\color{red}{2222}00000000\\
&0000\color{red}{2222}0000000000\\
&000\color{red}{222222222222}000\\
&000\color{red}{222222222222}000\\
&700000000000000003\end{align}


2が出現します。




追記) この記事だけを読まれている方が多いと思われるので補足させていただきます。当ブログは様々な整数の面白い性質を取り上げるブログであり、基本的に発見者はブログ管理人ではありません。出典は毎度同じくPrime Curios!ですが、発見者は私も知りません。私個人の感想としては「この素数面白いじゃん」ぐらいです。でも、この数が実際に素数であるというのは愛おしくも思います*1。他にないとは言ってないですし、他にいくらでもあることは証明されてないですし、他にあるからといってこの数が面白くなくなるわけではありません。

2以外の類似の素数の探索を早速実行された方がおられます!
swdrsker.hatenablog.com

次の記事で一つ紹介していますが、2の場合の四隅の探索をしてくださった方もおられます。
qiita.com

これを見ると、個人的には四隅が2, 3, 5, 7のやつがお気に入りになりそうです(最初の四つの素数で2357も素数)。

この話題を面白くしようと思ったら、任意b進法、任意N次元空間において、任意の形状(\mathbb{Z}^Nの有限部分集合)を任意個(k個, A_1, \dots, A_k)考えて(ただし、それらk個はどの二つをとってもdisjoint)、もう一つ任意の形状XXの部分集合Vを取った時に、X''=\{a+\rho X \mid 0 \leq \rho \leq r\}A_1 \sqcup \cdots \sqcup A_kを含むような形状がXの星座X'(在るa \in \mathbb{Z}^Nr \in \mathbb{Z}が存在してX'=a+rXと書けるもの)が存在して(Vに対応する集合をV'とする)、b進法表示した際の桁数がX''に対する図形数となるような正整数nであって、素数かつ、A_1, \dots, A_kおよびX''\setminus (V' \sqcup A_1 \sqcup \cdots \sqcup A_k)上の数がそれぞれ一律に指定したk+1個のb-1以下の非負整数a_1, \dots, a_k, aになっているようなnの存在性(V'上の数は自由にしてよい)を理論的に考察するなどですかね(V'に一桁目(一番上の桁も?)に対応する部分は必ず含めないといけない)。もし、常に存在するなど言えるのであれば素数アート定理とでも名付けたくなりますが、証明できる気がしません。

この記事で紹介した数はb=10, N=2, k=1, A_12の形, Xは長方形, Vは四隅, a_1=2, a=0の場合です。

追記) 上の問は「どんな図形でも一つの素数で描くことができると言えるか?」というものですが、マリオを描いた方がおられます。

akiyah.hatenablog.com

*1:ある数が素数になる確率があることと実際に素数であることは別の話です。素数定理などにより探して見つかる可能性はあって、実際に見つかるのですが、理論的にその存在が保証されているわけではありません。heuristicな議論によって存在することが不思議でなくても存在証明が極めて難しい例はいくらでもあります。cf. 等間隔に並ぶ素数を追い求めて〜グリーン・タオの定理〜 - INTEGERS