2017-10-03

グリーン・タオ論文の§10を読む（その一）

§10 Correlation estimates for $\Lambda_R$ を読みます。前節において、Goldston-Yıldırım型定理A, Bを証明することに全てが帰着されました。この記事ではGoldston-Yıldırım型定理Aを証明します。ただし、Riemannゼータ関数が関わるコンタワー積分の漸近挙動に関する補題の証明は後まわしにします。

(再掲) Goldston-Yıldırım型定理A (Proposition, 9.5) $m, t$ を正整数とし、 $1 \leq i \leq m$ , $1 \leq j \leq t$ に対して整数 $L_{ij}$ を $m$ 個のベクトル $(L_{ij})_{j=1}^t$ がどの二つを取っても $\mathbb{Q}$ 上一次独立であるようにとる。 $\left|L_{ij}\right| \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2}$ が成り立つような十分大きい $N$ に対して整数 $b_i \ (1 \leq i \leq m)$ を任意にとって、 $1 \leq i \leq m$ に対して線形形式 $\psi_i\colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}$ を

$\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+b_i,\quad \boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t$

と定める。 $W$ と互いに素な整数 $1 \leq b < W$ をとって、 $\theta_i(\boldsymbol{x}):=W\psi_i(\boldsymbol{x})+b$ とする。 $1 \leq i \leq t$ に対して $I_i \subset \mathbb{R}$ を長さが $R^{10m}$ 以上の区間とし、 $B$ を

$\displaystyle B:=\Biggl(\prod_{i=1}^tI_i \Biggr)\cap \mathbb{Z}^t$

とする( $b_i, \psi_i, \theta_i, W, b, R, I_i, B$ は $N$ 依存であることに注意)。このとき、

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\left. \Lambda_R(\theta_1(\boldsymbol{x}) )^2\cdots \Lambda_R(\theta_m(\boldsymbol{x}) )^2 \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) = \left(1+o_{m, t}(1)\right) \left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m$ −①

が成り立つ。

定理Aの証明中に幾つかの補題を用意しながら進めます。

証明. まずは①の左辺を書き換えていく。

$\Lambda_R$ の定義に基づいた変形

切断約数和の定義によって、①の左辺は

$\begin{align} &\mathbb{E}\Biggl(\prod_{i=1}^m\sum_{\substack{d_i, d_i' \leq R \\ d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})}}\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'} \ \left| \ \boldsymbol{x} \in B\Biggr)\right. \\ &= \left.\mathbb{E}\left(\sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'} \mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) \\ &= \sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right) \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right)\end{align}$

と変形できる。Möbius関数の定義より、 $d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m'$ (今後 $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ のような略記を用いる)は無平方なもののみを動けばよいことに注意する。

期待値からの $B$ 消去

$(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ に対して、 $D=D(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ を

$\displaystyle D:=\mathrm{lcm}(d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m')$

と定義する。各 $i$ に対して $d_i, d_i' \leq R$ なので、 $D \leq R^{2m}$ である。このとき、 $\displaystyle \prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i'\mid \theta_i(\boldsymbol{x})}$ は $\boldsymbol{x}$ の各成分について周期 $D$ である。理由: $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}' \in \mathbb{Z}^t$ の各成分が $D$ を法として合同であれば、 $\theta_i$ の定義より

$\displaystyle \theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv \theta_i(\boldsymbol{x}') \pmod{D}$

である。よって、 $d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})$ であることと $d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x}')$ であることは同値である。従って、この関数は $\mathbb{Z}_D^t$ の関数としてwell-definedであることがわかった(任意に代表元をとって定義することができる)。

このことと、 $I_i$ の長さが $R^{10m}$ 以上であることから、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) = \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) + O_t(R^{-8m})$

と $B$ を消去できる。理由: 法 $D$ の完全代表系として $\{0, 1, \dots, D-1\}$ をとって、各成分を代表元に送る写像による $\mathbb{Z}_D^t$ の像を考える( $t$ 次元格子点立方体)。 $B$ にはその $t$ 次元格子点立方体の平行移動が $\displaystyle \prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]$ 個入るので、

$\begin{align} &\#B \times \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) \\ &= \prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t \times \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) + O\left(\#B-\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t\right)\end{align}$

が成り立つ。

$\displaystyle \#B-\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t < \prod_{i=1}^t\#(I_i \cap \mathbb{Z})-\prod_{i=1}^t(\#(I_i \cap \mathbb{Z})-D)$

なので、 $I_i$ の長さと $D$ に関するバウンドから、これを $\#B$ で割ったものは $O_t(R^{2m}/R^{10m}) = O_t(R^{-8m})$ と評価できる。言い換えると

$\displaystyle \frac{1}{\#B}\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t=1+O_t(R^{-8m})$

でもあるので所望の公式が得られる。

$R \to \infty$ であることから、

$\begin{align} &\sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right)O_t(R^{-8m}) \\ &=O\left(R^{2m}\log^{2m}R\cdot O_t(R^{-8m})\right) = O_t(R^{-6m}\log^{2m}R)=o_{m, t}\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}$

なので、

$\begin{align} &\sum_{\substack{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R \\ \text{square-free}}}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right) \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \left(1+o_{m, t}(1)\right) \left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}$ −②

を示すことに帰着された*1。

中国式剰余定理の適用

$p \mid D$ なる素数と $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_{D}^t$ に対して、各成分を $\bmod{p}$ したベクトルを $\boldsymbol{x}_p \in \mathbb{Z}_p^t$ と表すことにする*2。集合 $X_{\boldsymbol{d}}(p)$ を

$\displaystyle X_{\boldsymbol{d}}(p) := \{1 \leq i \leq m \mid p \mid d_i\}$

と定義すると、無平方な場合のみを考えていることと中国式剰余定理より

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) &= \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\prod_{p \mid d_id_i'}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}_p) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \left.\mathbb{E}\left(\prod_{p \mid D}\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}_p) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \prod_{p \mid D}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right) \\ &= \prod_{p}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right)\end{align}$

と変形できる。ここで、最後から二番目の等号は下から上に展開すればわかる。よって、 $X \subset \{1, \dots, m\}$ に対して

$\displaystyle \omega_X(p) := \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right)$

と略記することにすれば、②の左辺は

$\displaystyle \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in (\mathbb{Z}^+)^{2m}}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log_+\frac{R}{d_i}\log_+\frac{R}{d_i'}\right)\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)$ −③

と書けることがわかった。

補題１ ( $\log_+x$ のコンタワー積分表示) コンタワー $\Gamma_1$ をパラメータ表示

$\displaystyle \Gamma_1(t) := \frac{1}{\log R}+\sqrt{-1}t, \quad -\infty < t < \infty$

で定義する。このとき、 $x > 0$ に対して、積分表示

$\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}\int_{\Gamma_1}\frac{x^z}{z^2}dz = \log_+x$

がある。

補題１の証明. $a > 0$ に対してコンタワー $\Gamma_1^{(a)}$ をパラメータ表示

$\displaystyle \Gamma_1^{(a)}(t) := a+\sqrt{-1}t, \quad -\infty < t < \infty$

で定義し、

$\displaystyle F_a(x) := \int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{x^z}{z^2}dz$

とおく。依存パラメータの表示は省略することにして、

$\begin{align} &I_1:=\int_{-r}^r\frac{x^{a+\sqrt{-1}t}}{(a+\sqrt{-1}t)^2}dt, \quad I_2:=\int_{r}^{-r}\frac{x^{-a+\sqrt{-1}t}}{(-a+\sqrt{-1}t)^2}dt, \\ &J_1:=\int_a^{-a}\frac{x^{t+\sqrt{-1}r}}{(t+\sqrt{-1}r)^2}dt, \quad J_2:=\int_{-a}^a\frac{x^{t-\sqrt{-1}r}}{(t-\sqrt{-1}r)^2}dt\end{align}$

とすると、留数定理によって

$\displaystyle I_1+J_1+I_2+J_2= 2\pi\sqrt{-1}\log x$

を得る。変数変換によって、 $I_1(x) = -I_2(x^{-1}), \ J_1(x) = -J_2(x^{-1})$ がわかり、

$\displaystyle \left|J_1\right| \leq \int_{-a}^a\frac{x^t}{r^2+t^2}dt \xrightarrow{r \to \infty} 0$

なので、

$\displaystyle F_a(x)-F_a\left(\frac{1}{x}\right) = 2\pi\sqrt{-1}\log x$

が示された。従って、あとは $x < 1$ であれば $F_a(x) = 0$ であることを示せばよい。 $b > a$ をとって先ほどと同様に長方形のコンタワー積分を考えると今度は留数がないので $F_a(x) = F_b(x)$ がわかる。すなわち、 $a$ に依存せずに値が決まる。そうして、 $x < 1$ のとき

$\displaystyle \left|\int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{x^z}{z^2}dz\right| \leq \int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{\left|dz\right|}{\left|z\right|^2}=\int_{–\infty}^{\infty}\frac{dt}{a^2+t^2}=\frac{\pi}{a}$

なので、 $a$ の任意性から $F_a(x) = 0$ でなければならない。 Q.E.D.

積分表示

複素変数のベクトルを $\boldsymbol{z}=(z_1, \dots, z_m), \ \boldsymbol{z}'=(z_1', \dots, z_m')$ と書くことにし、 $F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ を

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') := \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in (\mathbb{Z}^+)^{2m}}\left(\prod_{i=1}^m\frac{\mu(d_i)\mu(d_i')}{d_i^{z_i}d_i'^{z_i'}}\right)\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)$

と定義すると、補題１より③の左辺は

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i'$

と積分表示される。

補題２ (Euler積表示) 素数 $p$ 毎に $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ を

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\sum_{X, X' \subset \{1, \dots, m\}}\frac{(-1)^{\#X+\#X'}\omega_{X\cup X'}(p)}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}$

と定義する。このとき、 $F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ は領域 $\{(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \in \mathbb{C}^{2m} \mid \mathrm{Re}(z_i), \ \mathrm{Re}(z_i') > 1, \ 1 \leq i \leq m\}$ で
Euler積表示

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \prod_pE_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

をもつ。

この証明は間違えています。時間ができれば修正します。

証明. $\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)$ で無平方な正整数全体のなす集合とする。 $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}$ に対して $F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$ を

$\displaystyle F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{i=1}^m\frac{\mu(d_i)\mu(d_i')}{d_i^{z_i}d_i'^{z_i'}}\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)$

と定義すると、

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}}F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$

が成り立つ。 $\boldsymbol{d}_1$ と $\boldsymbol{d}_2$ が各成分毎に互いに素であるとき、 $(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_2) = 1$ と書くことにする。このとき、 $(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_2) = 1$ かつ $(\boldsymbol{d}_1', \boldsymbol{d}_2') = 1$ であれば

$\displaystyle F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2, \boldsymbol{d}_1'\boldsymbol{d}_2')=F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_1')F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_2, \boldsymbol{d}_2')$

が成り立つ( $\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2$ などは成分毎に積を取る)。理由: Möbius関数および累乗は乗法的関数なので、各素数 $p$ に対して

$\displaystyle \omega_{X_{\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_1'\boldsymbol{d}_2'}(p)}(p)=\omega_{X_{\boldsymbol{d}_1}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_1'}(p)}(p)\times \omega_{X_{\boldsymbol{d}_2}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_2'}(p)}(p)$

が成り立つことを確認すればよい。これは、

$\displaystyle \omega_{X}(p)=\omega_{X_1}(p)\times \omega_{X_2}(p)$

と略記したとき、仮定から $X=X_1\sqcup X_2$ と非交差和になっていることと、 $\omega_{\emptyset}(p)=1$ であることからわかる。

収束性を後回しにして、まず形式的にEuler積表示を証明する。すなわち、

$\displaystyle \prod_p\sum_{X, X' \subset \{1, \dots, m\}}\frac{(-1)^{\#X+\#X'}\omega_{X\cup X'}(p)}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}$

を形式的に展開する。素数 $p_1, \dots, p_n$ と集合 $X_1, X_1', \dots, X_n, X_n'$ というデータに対応する展開項を考える。各番号 $l$ に対して $X_l$ と $X_l'$ の元の成分を $p_l$ とし、それ以外のところを $1$ にした整数の $2m$ -組を $(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')$ と書くことにする。すると、定義より

$F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')=\displaystyle \frac{(-1)^{\#X_l+\#X_l'}\omega_{X_l\cup X_l'}(p_l)}{p_l^{\sum_{i \in X_l}z_i+\sum_{i \in X_l'}z_i'}}$

となっているので、考えている展開項は乗法性から

$\displaystyle \prod_{l=1}^nF_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l') = F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')$

となる。ここで、 $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{l=1}^n(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')$ である。素因数分解の一意性によって任意の $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}$ は $(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{l=1}^n(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')$ の形に一意的に分解されるので、形式的には所望のEuler積表示が成り立つことが示された。

次に収束性を見る。 $\sigma > 1$ とし、 $\mathrm{Re}(z_i), \ \mathrm{Re}(z_i') > \sigma, \ (1 \leq i \leq m)$ とする。 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の $X=X'=\emptyset$ の項は $1$ であり、 $X$ または $X'$ が空集合でなければ

$\displaystyle \left|p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}\right| = p^{\sum_{i \in X}\mathrm{Re}(z_i)+\sum_{i \in X'}\mathrm{Re}(z_i')} \geq p^{\sigma}$

なので、 $\omega_X(p) \leq 1$ であることと三角不等式より

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1+O_m(p^{-\sigma})$

となって、無限積の収束判定法から収束性が従う。 Q.E.D.

補題３ (局所因子の評価, Lemma 10.1) $p \leq w(N)$ のとき、 $X \neq \emptyset$ であれば $\omega_X(p)=0$ である。従って、 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1$ である。また、 $p > w(N)$ のときは、 $\#X=1$ であれば $\omega_X(p)=p^{-1}, \$ $\#X\geq 2$ であれば $\omega_X(p) \leq p^{-2}$ が成り立つ。

証明. $p \leq w(N)$ とすると、 $W$ の定義から任意の $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t$ に対して

$\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv b \not \equiv 0 \pmod{p}$

である。従って、 $X \neq \emptyset$ ならば $\omega_X(p)=0$ が成り立つ。

$p > w(N)$ かつ $\#X=1$ とし、 $X=\{i\}$ であるとする。このとき、

$\displaystyle \omega_X(p) = \left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \right| \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right).$

今、 $W$ は $\mathbb{Z}_p$ で零でなく、 $\left|L_{ij}\right| \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2} < p$ なので、全ての $1 \leq j \leq t$ に対して $WL_{ij}$ が $\mathbb{Z}_p$ で零ということはない。よって、 $\theta_i \colon \mathbb{Z}_p^t \to \mathbb{Z}_p$ は $\mathbb{Z}_p$ の $\mathbb{Z}_p^t$ による一様被覆である。従って、§1, 4の補題より

$\displaystyle \omega_X(p)=\left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{x \equiv 0 \pmod{p}} \right| x \in \mathbb{Z}_p\right) = p^{-1}$

が得られる。

最後に、 $p > w(N)$ かつ $\#X\geq 2$ の場合を考える。まず、次が成り立つことに注意する：線形形式 $W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i)$ はどの二つを取っても $\bmod{p}$ で互いにスカラー倍とはならない。

理由: 或る $\lambda \in \mathbb{Z}_p$ が存在して二つの $i, i'$ に対して

$W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i)=\lambda W(\psi_{i'}(\boldsymbol{x})-b_{i'})$

となったと仮定する。このとき、 $p > w(N)$ より両辺を $W$ で割ってもよいので、

$\displaystyle \frac{L_{ij}}{L_{i'j}} \equiv \lambda \pmod{p}$

が成り立つことがわかる。ここで、 $(a, q)=1, \ (a', q')=1, \ q, q' > 0, \ \left|a\right|, \left|a'\right|, q, q' \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2}$ なる整数 $a, a', q, q'$ が

$\displaystyle \frac{a}{q} \equiv \frac{a'}{q'} \pmod{p}$

を満たすのは $a/q=a'/q'$ のときのみであることに注意する。理由: 上記合同関係にあるとき $aq'-a'q$ が $p$ の整数倍となるが、

$\displaystyle \left|aq'-a'q\right| \leq \left|a\right|q'+\left|a'\right|q \leq \frac{w(N)}{2} < p$

なので $aq'-a'q=0$ である。従って、 $(L_{ij})_{j=1}^t$ と $(L_{i'j})_{j=1}^t$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立であることに矛盾する。

さて、示したいことは任意の $i \in X$ に対して $\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}$ を満たす $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t$ が高々 $p^{t-2}$ 個しか存在しないことであるが、そのような $\boldsymbol{x}$ は少なくとも二つの $i, i' \in X$ に対して方程式

$\begin{align} &W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i) \equiv -(Wb_i+b) \pmod{p} \\ &W(\psi_{i'}(\boldsymbol{x})-b_{i'}) \equiv -(Wb_{i'}+b) \pmod{p}\end{align}$

を満たす必要があり、直前で証明したことから、この連立方程式の解の個数は $p^{t-2}$ 個である。 Q.E.D.

補題３より $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ は

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_{i}'}-p^{-1-z_i-z_{i}'})+\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{\substack{X, X' \subset \{1, \dots, m\} \\ \#(X\cup X') \geq 2}}\frac{O(p^{-2})}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_{i}'}}$

と書ける。これを次のように積 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ に分ける：

$\begin{align} E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= \frac{E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')}{\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i'})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}} \\ E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:=\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i'})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'}) \\ E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')&:= \prod_{i=1}^m(1-p^{-1-z_i})(1-p^{-1-z_i'})(1-p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}.\end{align}$

収束領域は後で調べることにして、 $j=1, 2, 3$ に対して無限積を

$\displaystyle G_j(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\prod_pE_p^{(j)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

と定義すると、補題２より

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=G_1(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_2(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

が成り立つ。

$G_3$ の収束領域

Riemannゼータ関数のEuler積表示より、 $\mathrm{Re}(z_i), \mathrm{Re}(z_i') > 0$ において

$\displaystyle G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}$

が成り立つので、Riemannゼータ関数の解析接続により、 $G_3$ は $\mathbb{C}^{2m}$ に有理型接続される。

$G_1, G_2$ の収束領域

定義パラメータ $\sigma > 0$ に対して、領域 $\mathcal{D}_{\sigma}^m \subset \mathbb{C}^{2m}$ を

$\displaystyle \mathcal{D}_{\sigma}^m := \left\{ (\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \in \mathbb{C}^{2m} \left| -\sigma < \mathrm{Re}(z_i), \mathrm{Re}(z_i') < 100, \ j=1, \dots, m \right\}\right.$

と定義する。そして、任意の非負整数 $r \geq 0$ に対して、 $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上の $2m$ 変数解析関数 $G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の $C^r(\mathcal{D}_{\sigma}^m)$ -ノルム $\left\|G\right\|_{C^r(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}$ を

$\displaystyle \sup_{\substack{a_1, \dots, a_m, a_1', \dots, a_m' \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ a_1+\cdots +a_m+a_1'+\cdots +a_m' \leq r}}\left\|\left(\frac{\partial}{\partial z_1}\right)^{a_1}\cdots \left(\frac{\partial}{\partial z_m}\right)^{a_m}\left(\frac{\partial}{\partial z_1'}\right)^{a_1'}\cdots \left(\frac{\partial}{\partial z_m'}\right)^{a_m'}G\right\|_{L^{\infty}(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}$

で定める( $L^{\infty}(\mathcal{D}_{\sigma}^m)$ は $\sup$ -ノルム)。

この定義のもと、次が成立する：

補題４ (Lemma 10.3) $G_1$ と $G_2$ は $\mathcal{D}_{1/6m}^m$ で絶対収束し、解析関数を定める。更に、評価

$\begin{align}&\left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_m(1),\quad\left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1), \\ &G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1),\quad G_2(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}$

が成り立つ。

証明. まず、 $G_1$ の収束性を示す。 $p \leq w(N)$ のときは $E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1$ なので、 $p > w(N)$ のときを考える。補題３による $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の表示式と等比級数の和の公式を用いて展開すると $E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ は上手く

$\displaystyle \sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_{i}'}-p^{-1-z_i-z_{i}'})$

の項が消えるように定義されていることがわかる。よって、 $\mathcal{D}_{1/6m}^m$ では

$\displaystyle E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = 1+O_m(p^{-2+\frac{2}{3m}})$

であり、 $-2+2/3m < -1$ であるから無限積 $G_1$ は絶対収束する。このように評価できることと、一般に $n^z$ の絶対値が $\mathrm{Re}(z)$ のみで決まることから $\left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_m(1)$ がわかる。無限積 $G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})$ の $1$ 以外の展開項には「 $w(N)$ より大きい素因数のみから構成される自然数から作られる項」しか現れないので、 $G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1)$ が従う*3。

$G_2$ は高々 $w(N)$ 個の素数に関する積なので収束性は問題にならない。すると、 $\left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1)$ も自明である。そうして、定義より

$\displaystyle G_2(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \leq w(N)}\prod_{i=1}^m\frac{1-p^{-1}}{(1-p^{-1})^2}=\prod_{i=1}^m\prod_{p \leq w(N)}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m$

と計算できる。 Q.E.D.

次の補題はKeyとなる漸近評価であるが、証明は付録にて実行される。

補題５ (Lemma 10.4) $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上の $2m$ 変数解析関数 $G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ が

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} = \exp\left(O_{m, \sigma}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を満たしていると仮定する。このとき、或る $\delta=\delta(m) > 0$ が存在して、漸近公式

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO_{m, \sigma}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m, \sigma}(e^{-\delta\sqrt{\log R}})\end{align}$

が成り立つ。

補題５を認めた上での証明の完成

$G=G_1G_2, \ \sigma=1/6m$ として補題５を適用する。Leibniz則と補題４より、 $0 \leq i \leq m$ に対して

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\leq O_{i, m, w(N)}(1)$

なので、 $\displaystyle \lim_{N \to \infty}R=\infty$ であることに注意すると、 $w(N)$ の増加測度が十分遅ければ

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} = \exp\left(O_{m}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を満たす。また、補題４より

$\displaystyle G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=(1+o_m(1) )\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m$

なので、補題５からの帰結は

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m+\sum_{i=1}^mO_{m}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m}(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &=(1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m \end{align}$

となり、定理Aの証明が完了する。

*1:実際には、この部分は $o_{m, t}(1)$ ではなく $o_m(1)$ を示すことができる。

*2:とうとう $\mathbb{Z}_p$ という気持ち悪い記号が出てきたが、 $p$ 進整数環ではなく $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を表していることに注意。

*3:現状、個人的見解としては $o_m(1)$ 部分は $o_{m, w(N)}(1)$ でなければならないと思う。ただ、Thm 1.1の証明においては $w(N)$ は下から $k$ のみに依存する関数で押さえらえれるので $w(N)$ 依存を消すことができる。一方、Thm 1.2の証明では $w(N)$ は集合 $A$ に依存して選択する必要があるので消せない。しかしながら、それは $o_{k, \delta}(1)$ 項が $A$ 依存するだけであって、定性的な定理であるThm 1.2の成立は揺るがない。

2017-10-02

グリーン・タオ論文の§9を読む（その三）

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

Goldston-Yıldırım型定理Bを仮定して、 $\nu_{\mathrm{GT}, b}$ が $2^{k-1}$ -相関条件を満たすことを証明します。

補題 (Lemma 9.9) 正整数パラメータ $m$ に対して関数 $\tau=\tau_m\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{R}^+$ が存在して、次の三条件を満たす：
(i)任意の零でない整数 $n$ に対して $\tau(n) \geq 1$ である。
(ii)相異なる $m$ 個の整数 $h_1, \dots, h_m$ を任意にとったときに、

$\displaystyle \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau(h_i-h_j)$

が成り立つ。ここで、 $\Delta:=\prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right|$ である。
(iii)任意の $1 \leq q < \infty$ に対して、漸近公式

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\tau^q(n) \ \left| \ 0 < \left|n\right| < \frac{N}{2}\right)\right. = O_{m, q}(1)$

が成り立つ。

証明. $\Delta$ の定義とBernoulliの不等式より

$\displaystyle \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right) \leq \prod_{1 \leq i < j \leq m}\Biggl(\prod_{p \mid h_i-h_j}(1+p^{-\frac{1}{2}})\Biggr)^{O_m(1)}$

と評価できるので、相加相乗平均の不等式より*1

$\displaystyle \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}O_m(1)\prod_{p \mid h_i-h_j}(1+p^{-\frac{1}{2}})^{O_m(1)}$

が得られる。よって、(ii)が成り立つように適当に

$\displaystyle \tau_m(n) := O_m(1)\prod_{p \mid n}(1+p^{-\frac{1}{2}})^{O_m(1)}$

と定義できることがわかった。また、(i)は自明に成立する。よって、後は(iii)を確認する。 $1 \leq q < \infty$ とする。 $O_{m, q}(1)$ 個の例外素数 $p$ を除いて、

$\displaystyle (1+p^{-\frac{1}{2}})^{O_m(q)} \leq 1+p^{-\frac{1}{4}}$

が成り立つので、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{p \mid n}(1+p^{-\frac{1}{2}})^{O_m(q)} \ \right| \ 0 < \left|n\right| \leq \frac{N}{2}\right) \leq O_{m, q}(1)\left.\mathbb{E}\left(\prod_{p \mid n}(1+p^{-\frac{1}{4}}) \ \right| \ 0 < n \leq \frac{N}{2}\right)$

と評価できる( $n$ と $-n$ で同じ値を取ることに注意)。また、

$\displaystyle \prod_{p \mid n}(1+p^{-\frac{1}{4}}) \leq \sum_{d \mid n}d^{-\frac{1}{4}}$

なので

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{p \mid n}(1+p^{-\frac{1}{4}}) \ \right| \ 0 < n \leq \frac{N}{2}\right) \leq \frac{O(1)}{N}\sum_{n=1}^{[N/2]}\sum_{d \mid n}d^{-\frac{1}{4}} = O\Biggl(\sum_{d=1}^{[N/2]}d^{-\frac{5}{4}}\Biggr)=O(1)$

であり、これは(iii)の成立を示している。 Q.E.D.

命題 (Proposition 9.10) $\nu_{\text{GT}, b}$ は $2^{k-1}$ -相関条件を満たす。

$s_N$ を代表元をとる関数 $\displaystyle s_N \colon \mathbb{Z}_N \to \left[-\frac{N}{2}, \frac{N}{2}\right] \cap \mathbb{Z}$ とする。

証明. $1 \leq m \leq 2^{k-1}$ に対して関数 $\tau=\tau_m\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ であって任意の $1 \leq q < \infty$ に対して

$\mathbb{E}(\tau^q) = O_{m, q}(1)$

を満たすものが存在して、任意の $h_1, \dots, h_m \in \mathbb{Z}_N$ (等しいものがあってもよい)に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{\text{GT}, b}(x+h_1)\cdots \nu_{\text{GT}, b}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau(h_i-h_j)$ −①

が成り立つことを示せばよい。補題によって存在する関数をここでは $\overline{\tau}$ と書くことにし、 $x\neq 0$ に対しては $\tau:=\overline{\tau} \circ s_N$ と定め、或る絶対定数 $C > 0$ に対して

$\displaystyle \tau(0) := \exp\left(\frac{Cm\log N}{\log \log N}\right)$

と定義する。補題より

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\overline{\tau}^q(n) \ \left| \ 0 < \left|n\right| < \frac{N}{2}\right)\right. = O_{m, q}(1)$

なので、

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\tau^q(x) \right| x \in \mathbb{Z}_N\right) &= \frac{1}{N}\left(\tau^q(0)+(N-1)\mathbb{E}\left(\overline{\tau}^q(n) \ \left| \ 0 < \left|n\right| < \frac{N}{2}\right)\right.\right) \\ &= \frac{1}{N}\tau^q(0)+\left(1-\frac{1}{N}\right)O_{m, q}(1)\end{align}$

であり、定義から $\tau^q(0) = o_{m, q}(N)$ なので $\mathbb{E}(\tau^q) = O_{m, q}(1)$ が成り立っている。 $\tau_m$ は各点で $m$ について単調増加であるように定義しておく*2。後は①を証明する。

$h_i$ 達の中に等しいものがある場合

約数個数関数を $d(\cdot )$ とし、 $n$ を $\varepsilon_kN \leq n \leq 2 \varepsilon_kN$ を満たす任意の整数とする。切断約数和の定義より

$\displaystyle \left|\Lambda_R(Wn+b)\right| \leq \sum_{\substack{d \mid Wn+b \\ d \leq R}}\log \frac{R}{d} \leq \log R \cdot d(Wn+b),$

$\displaystyle \frac{\left|\Lambda_R(Wn+b)\right|^2}{\log R} \leq \log R \cdot d(Wn+b)^2$

と評価できるので、約数個数関数の上からの評価 - INTEGERSと $R=N^{\frac{1}{k2^{k+4}}}$ より

$\displaystyle \frac{\left|\Lambda_R(Wn+b)\right|^2}{\log R} \leq O\left(\log N \exp \left(O\left(\frac{\log N}{\log \log N}\right) \right) \right) = \exp \left(O\left(\frac{\log N}{\log \log N}\right) \right)$

が得られる。よって、 $C$ を適切に選べば

$\displaystyle \left\|\nu_{\text{GT}, b}\right\|_{L^{\infty}} \leq \exp \left(\frac{C\log N}{\log \log N}\right)$

が成り立つことがわかった*3。故に

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{\text{GT}, b}(x+h_1)\cdots \nu_{\text{GT}, b}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) \leq \left\|\nu_{\text{GT}, b}\right\|_{L^{\infty}}^m \leq \tau(0) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau(h_i-h_j)$

と①が成立する。

$h_i$ 達が相異なる場合

$g \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ を

$\displaystyle g(x) := \frac{\varphi(W)}{W}\frac{\Lambda_R(Ws_N(x)+b)^2}{\log R}\mathbf{1}_{\mathrm{Im}(\iota_N)}(x)$

と定義すると、Green-Tao測度の定義より

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{\text{GT}, b}(x+h_1)\cdots \nu_{\text{GT}, b}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) \\ &\leq \left.\mathbb{E}\left( (1+g(x+h_1) )\cdots (1+g(x+h_m) ) \right| x \in \mathbb{Z}_N\right) = \sum_{A \subset \{1, \dots, m\}}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in \mathbb{Z}_N\right)\end{align}$

と評価できる。

$Q=Q(N)$ を十分増加速度の遅い $\displaystyle \lim_{N \to \infty}Q(N)=\infty$ を満たすような整数とする。このとき、 $u \in \mathbb{Z}_Q$ に対して

$\displaystyle B_{u} := \left\{x \in \mathbb{Z}_N \left| s_N(x) \in \left[ \left[\frac{s_N(u)N}{Q}\right], \left[\frac{(s_N(u)+1)N}{Q}\right] \right)\right\}\right.$

と定義すると、

$\displaystyle \mathbb{Z}_N = \bigsqcup_{u \in \mathbb{Z}_Q}B_{u}$

と分割されているが、Gauss記号が整数となるかならないかによって各 $B_{u}$ のサイズは若干異なり、 $Q$ の増加速度が十分遅ければ

$\displaystyle \#B_{u} =(1+o(1) )\frac{N}{Q}$

である。よって、

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in \mathbb{Z}_N\right) &= \frac{1}{N}\sum_{u \in \mathbb{Z}_Q}\sum_{x \in B_u}\prod_{i \in A}g(x+h_i) \\ &= \frac{1}{N}\sum_{u \in \mathbb{Z}_Q}\#B_u\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in B_u\right) \\ &= \frac{1+o(1)}{Q}\sum_{u \in \mathbb{Z}_Q}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in B_u\right) \\ &= (1+o(1) )\left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in B_u\right) \right| u \in \mathbb{Z}_Q\right) \end{align}$ −②

を得る。ここで、次を示す：

主張 $u \in \mathbb{Z}_Q$ と $i \in A$ をとる。 $x \in B_u$ に対して

$s_N(x+h_i)=s_N(x)+s_N(h_i)+N\xi_i(x)$

を満たす整数 $\xi_i(x)$ が存在するが、 $N$ が十分大きければ $x+h_i, x'+h_i \in \mathrm{Im}(\iota_N)$ なる $x, x' \in B_u$ に対して $\xi_i(x)=\xi_i(x')$ が成り立つ。

主張の証明: $x, x' \in B_u, x+h_i, x'+h_i \in \mathrm{Im}(\iota_N)$ に対して

$s_N(x+h_i)=s_N(x)+s_N(h_i)+N\xi_i(x),\quad s_N(x'+h_i)=s_N(x')+s_N(h_i)+N\xi_i(x')$

であり、

$\left(s_N(x+h_i)-s_N(x'+h_i)\right)-\left(s_N(x)-s_N(x')\right) = N\left(\xi_i(x)-\xi_i(x')\right)$

が成り立つが、 $\left| s_N(x+h_i)-s_N(x'+h_i)\right| \leq \varepsilon_kN$ かつ $\left|s_N(x)-s_N(x')\right| = O(N/Q)=o(N)$ なので、 $N$ が十分大きければ $\xi_i(x)=\xi_i(x')$ でなければならない。主張の証明終.

$x+h_i \in \mathrm{Im}(\iota_N)$ なる $x \in B_u$ が存在しないような $i \in A$ が一つでもある場合は期待値は零である。そうでない場合、 $u \in \mathbb{Z}_Q$ を固定して主張の $\xi_i(x)$ を $\xi_i$ と書くことにし、 $i \in A$ に対して $\overline{h_i}:=s_N(h_i)+N\xi_i$ と定義する。

すると、 $g$ の定義から

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in B_u\right) \leq \left(\frac{\varphi(W)}{W\log R}\right)^{\#A}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}\Lambda_R\left(W(s_N(x)+\overline{h_i})+b\right)^2 \right| x \in B_u\right)$

と評価できる。 $h_i$ 達が相異なることから $\overline{h}_i$ 達も相異なる。 $N\xi_i = s_N(x+h_i)-s_N(x)-s_N(h_i)$ より $\left|\overline{h_i}\right| \leq N^2$ であり、 $Q$ の成長速度が十分遅ければ $B_u$ はサイズの条件を満たす。よって、Goldston-Yıldırım型定理Bより

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}\Lambda_R\left(W(x+\overline{h_i})+b\right)^2 \right| x \in s_N(B_u)\right) \leq (1+o(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^{\#A}\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O(p^{-\frac{1}{2}})\right)$

が成り立つ。従って、補題より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in B_u\right) \leq (1+o(1) )\sum_{\substack{1 \leq i < j \leq m \\ i, \ j \in A}}\overline{\tau_{\#A}}(\overline{h_i}-\overline{h_j})$ −③

を得る。これより、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in \mathbb{Z}_N\right) \leq (1+o(1) )\sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau_m(h_i-h_j)$

が言える。理由: ③の場合、或る $x, x' \in B_u$ が存在して、

$\displaystyle \left|\overline{h}_i-\overline{h}_j\right| = \left|s_N(x+h_i)-s_N(x'+h_j)\right| \leq \varepsilon_kN$

が成り立ち、 $\overline{h}_i-\overline{h}_j \equiv s_N(h_i-h_j)$ なので、

$\overline{h}_i-\overline{h}_j=s_N(h_i-h_j)$

であり、

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in B_u\right) &\leq (1+o(1) )\sum_{\substack{1 \leq i < j \leq m \\ i, \ j \in A}}\overline{\tau_{\#A}}(\overline{h_i}-\overline{h_j}) \\ &= (1+o(1) )\sum_{\substack{1 \leq i < j \leq m \\ i, \ j \in A}}\tau_{\#A}(h_i-h_j) \leq (1+o(1) )\sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau_m(h_i-h_j)\end{align}$

となる(単調性を使っている)。よって、②と合わせればよい。従って、

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{\text{GT}, b}(x+h_1)\cdots \nu_{\text{GT}, b}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) &\leq \sum_{A \subset \{1, \dots, m\}}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in A}g(x+h_i) \right| x \in \mathbb{Z}_N\right) \\ &\leq 2^m(1+o(1) )\sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau(h_i-h_j)\end{align}$

が結論付けられ、 $\tau$ の定義は別に $O(1)$ 倍してもよいので、①が成り立つことが示された。 Q.E.D.

*1:次の記事の"同値な不等式"の形で用いるとよい： integers.hatenablog.com

*2: $\tau_m$ は $0$ 以外での値を $O_m(1)$ 倍しても問題ないので、帰納的に一つ前の関数より大きい値を取るように調整すればよい。

*3:もし $\nu_{\text{GT}, b}(x) > 1$ なる $x \in \mathrm{Im}(\iota_N)$ が存在しなかったとしても、 $\left\|\nu_{\text{GT}, b}\right\|_{L^{\infty}}=1$ なので同じ評価が可能である。

2017-10-02

グリーン・タオ論文の§9を読む（その二）

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

Goldston-Yıldırım型定理Aを仮定して、 $\nu_{\text{GT}, b}$ が $(k2^{k-1}, 3k-4, k)$ -線形形式条件を満たすことを証明します。

命題 (Proposition 9.8) $\nu_{\text{GT}, b}$ は $(k2^{k-1}, 3k-4, k)$ -線形形式条件を満たす。

$r_N$ を代表元をとる関数 $r_N \colon \mathbb{Z}_N \to \{0, 1, \dots, N-1\}$ とする(全成分で代表元をとる写像 $r_N\colon \mathbb{Z}_N^t \to \{0, 1, \dots, N-1\}^t$ も同じ記号を用いる)。

証明. $m \leq k2^{k-1}, \ t \leq 3k-4$ を正整数とする。分母・分子の絶対値が $k$ 以下の $mt$ 個の有理数 $\{L_{ij}\}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq t}$ であって、 $m$ 個のベクトル $(L_{ij})_{1 \leq j \leq t} \in \mathbb{Q}^t$ はどの二つをとっても $\mathbb{Q}$ 上一次独立であるようなものをとる。十分大きい素数 $N$ を考え、各有理数 $L_{ij}$ を自然に $\mathbb{Z}_N$ の元とみなし、 $b_i \in \mathbb{Z}_N \ (1 \leq i \leq m)$ を任意にとって、 $1 \leq i \leq m$ に対して線形形式 $\psi_i \colon \mathbb{Z}_N^t \to \mathbb{Z}_N$ を

$\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}):=\sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+b_i, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}_N^t)$

で定義する。このとき、示すべきことは

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) = 1+o(1)$

であった。絶対値に関する条件を $\left|L_{ij}\right| \leq O(1)$ に置き換えることによって、 $L_{ij}$ は整数であると仮定してよい。理由: 有理数 $L_{ij}$ 達の分母の絶対値を全て掛け合わせたものを $D$ とする。 $\psi_i'$ を

$\displaystyle \psi_i'(\boldsymbol{x}):=\sum_{j=1}^tDL_{ij}x_j+b_i, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}_N^t)$

とすれば、 $DL_{ij}$ は整数であり、 $\left|DL_{ij}\right| \leq k^{mt} = O(1).$ 全成分を $D$ 倍する写像 $\times D \colon \mathbb{Z}_N^t \to \mathbb{Z}_N^t$ は $N$ が十分大きければ全単射であり、

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1'(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m'(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &= \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in D\mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &= \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr)\end{align}$

が成り立つので、整数の場合に帰着される。よって、 $L_{ij}$ 達は絶対値が $O_k(1)$ であるような整数であると仮定し、更に、絶対値が $\frac{\sqrt{w(N)}}{2}$ で上から押さえられるだけ $N$ を大きくとっておく。こうして、Goldston-Yıldırım型定理Aを使える形に近づけているが、 $\nu_{\text{GT}, b}$ の定義が場合分けでなされていることから期待値の和の範囲を分割する議論が必要となる。 $Q=Q(N)$ を十分増加速度の遅い $\displaystyle \lim_{N \to \infty}Q(N)=\infty$ を満たすような整数とする。このとき、 $\mathbb{Z}_N^t$ を殆どサイズが等しい $Q^t$ 個のボックスに分ける*1： $\boldsymbol{u}=(u_1, \dots, u_t) \in \mathbb{Z}_Q^t$ に対して

$\displaystyle B_{\boldsymbol{u}} := \left\{\boldsymbol{x}=(x_j)_{j=1}^t \in \mathbb{Z}_N^t \left| r_N(x_j) \in \left[ \left[\frac{r_N(u_j)N}{Q}\right], \left[\frac{(r_N(u_j)+1)N}{Q}\right] \right), \ j=1, \dots, t\right\}\right.$

と定義すると、

$\displaystyle \mathbb{Z}_N^t = \bigsqcup_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}B_{\boldsymbol{u}}$

と分割されているが、Gauss記号の中身が整数となるかならないかによって各 $B_{\boldsymbol{u}}$ のサイズは若干異なり、 $Q$ の増加速度が十分遅ければ

$\displaystyle \#B_{\boldsymbol{u}} =(1+o(1) ) \left(\frac{N}{Q}\right)^t$

である。よって、

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &= \frac{1}{N^t}\sum_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}\sum_{\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}}\nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right) \\ &= \frac{1}{N^t}\sum_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}\#B_{\boldsymbol{u}}\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \\ &= \frac{1+o(1)}{Q^t}\sum_{\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t}\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \\ &= (1+o(1) )\left.\mathbb{E}\left( \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \right| \boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t\right)\end{align}$

を得る。ここで、 $\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t$ がナイスであるとは、任意の $1 \leq i \leq m$ に対して

$\psi_i(B_{\boldsymbol{u}}) \subset \mathrm{Im}(\iota_N) \$ または $\ \psi_i(B_{\boldsymbol{u}}) \cap \mathrm{Im}(\iota_N) = \emptyset$

が成り立つことと定める。 $\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t$ がナイスであれば、 $1 \leq i \leq m$ に対して

$\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )= \frac{\varphi(W)}{W\log R}\Lambda_R(W\iota_N^{-1}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )+b)^2 ,\quad {}^{\forall}\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}$

であるか、

$\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )= 1,\quad {}^{\forall}\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}$

のいずれかが成り立つ( $R=N^{\frac{1}{k2^{k+4}}}$ )。ここで、前者のケースについて若干の議論を要する。

主張１ $\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t$ はナイスとし、前者のケースとなるような $1 \leq i \leq m$ をとって固定する。線形形式 $\overline{\psi}_i \colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}$ を

$\displaystyle \overline{\psi}_i(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+r_N(b_i), \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t)$

と定める。このとき、 $\boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_t) \in B_{\boldsymbol{u}}$ に対して整数 $\xi(\boldsymbol{x})$ が存在して

$r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) = \overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) )+ N\xi(\boldsymbol{x})$

が成り立つが、 $\xi(\boldsymbol{x})$ は $\boldsymbol{u}$ にしか依らない。

主張１の証明. $\boldsymbol{x}=(x_j)_{j=1}^t, \boldsymbol{x}'=(x_j')_{j=1}^t \in B_{\boldsymbol{u}}$ に対して、

$\displaystyle \left(r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) - r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}') ) \right) - \left(\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) )-\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}') )\right) = N\left(\xi(\boldsymbol{x})-\xi(\boldsymbol{x}')\right)$ −①

が成り立つが、

$\displaystyle \left|r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) - r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}') ) \right| \leq \varepsilon_kN$

であり、

$\displaystyle \left|\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) )-\overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}') )\right| \leq \sum_{j=1}^t\left|L_{ij}\right|\left|r_N(x_j)-r_N(x_j')\right| \leq O\left(\frac{N}{Q}\right) = o(N)$

なので、①の左辺の絶対値は十分大きい $N$ に対して $N$ 未満になる。すなわち、 $\xi(\boldsymbol{x}) = \xi(\boldsymbol{x}')$ である。主張１の証明終.

よって、 $\xi(\boldsymbol{x})=\xi_{\boldsymbol{u}}$ と書くことにし、線形形式 $\overline{\psi}_i' \colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}$ を

$\displaystyle \overline{\psi}_i'(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+r_N(b_j)+N\xi_{\boldsymbol{u}}, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t)$

と定め*2、 $\theta_i(\boldsymbol{x}):=W\overline{\psi}_i'(\boldsymbol{x})+b$ とすれば、先ほどの前者のケースは

$\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) )= \frac{\varphi(W)}{W\log R}\Lambda_R(\theta_i(r_N(\boldsymbol{x}) ) )^2 ,\quad {}^{\forall}\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}$

となる。 $N/Q > R^{10m}$ は $N^{\frac{11}{16}} > Q$ であれば成立するので、Goldston-Yıldırım型定理Aより

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \\ &=\left(\frac{\varphi(W)}{W\log R}\right)^{m'}\left.\mathbb{E}\bigl( \Lambda_R(\theta_{l_1}(\boldsymbol{x}) )^2\cdots \Lambda_R(\theta_{l_{m'}}(\boldsymbol{x}) )^2\right|\boldsymbol{x} \in r_N(B_{\boldsymbol{u}})\bigr) \\ &=1+o(1)\end{align}$

が得られる( $l_1 < \dots < l_{m'}$ は $1, \dots, m$ の或る部分列)。

次に、 $\boldsymbol{u}$ がナイスでない場合を考える。この場合は任意の $\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}$ に対して

$\displaystyle \nu_{\text{GT}, b}(\psi_i(\boldsymbol{x}) ) \leq 1+\frac{\varphi(W)}{W\log R}\Lambda_R(\theta_i(r_N(\boldsymbol{x}) ) )^2$

と大胆に評価することにする*3。すると、展開して計算することによって、Goldston-Yıldırım型定理Aより

を得る。以上より、

主張２ ナイスでない $\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t$ の個数は高々 $O(Q^{t-1})$ 個である。

が証明されれば、

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) \\ &=(1+o(1) )\left.\mathbb{E}\left( \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\text{GT}, b}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}\bigr) \right| \boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t\right) \\ &=(1+o(1) )\cdot \frac{1}{Q^t}\left(\left(Q^t-O(Q^{t-1})\right)(1+o(1) )+O(Q^{t-1})\left(O(1)+o(1)\right)\right)\\ &= 1+o(1) + O(Q^{-1})\end{align}$

と計算でき、 $Q \to \infty$ であることから、これは $1+o(1)$ となる。つまり、後は主張２を証明すればよい。

主張２の証明. $\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t$ はナイスでないとする。このとき、或る $1 \leq i \leq m$ 及び $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}' \in B_{\boldsymbol{u}}$ が存在して、

$\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}) \in \mathrm{Im}(\iota_N),\quad \psi_i(\boldsymbol{x}') \not \in \mathrm{Im}(\iota_N)$

が成り立つ。このとき、 $a=1$ or $2$ のいずれかに対して、 $a\varepsilon_kN$ は $r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}) )$ と $r_N(\psi_i(\boldsymbol{x}') )$ で挟まれる。 $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{x}'$ が $B_{\boldsymbol{u}}$ に属していることと $\left|L_{ij}\right|$ に関するバウンドから、

$\displaystyle \overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}) ), \ \overline{\psi}_i(r_N(\boldsymbol{x}') ) = \sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)$

が成り立つので、主張１より

$\begin{align} &\sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)+N\xi_{\boldsymbol{u}} \\ & \leq a\varepsilon_kN \\ &\leq \sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)+N\xi_{\boldsymbol{u}}\end{align}$

すなわち、

$\displaystyle a\varepsilon_kN = \sum_{j=1}^tL_{ij}\cdot \frac{r_N(u_j)N}{Q}+r_N(b_i)+O\left(\frac{N}{Q}\right)+N\xi_{\boldsymbol{u}}$

が成り立つことがわかる。両辺を $N/Q$ で割れば

$\displaystyle \sum_{j=1}^tL_{ij}r_N(u_j) = a\varepsilon_kQ-r_N(b_i)\frac{Q}{N}+O(1)+Q\xi_{\boldsymbol{u}}$

となる。 $a\varepsilon_kQ-r_N(b_i)\frac{Q}{N}+O(1)$ は整数なので、 $\boldsymbol{u}$ は一次合同式

$\displaystyle \sum_{j=1}^tL_{ij}r_N(u_j) \equiv a\varepsilon_kQ-r_N(b_i)\frac{Q}{N}+O(1) \pmod{Q}$

を満たさなければならないことがわかった。各ナイスでない $\boldsymbol{u}$ に対して $O(1)$ の部分が何か決まった一つの値になっているわけであるが、その合同式を満たすような $\boldsymbol{u} \in \mathbb{Z}_Q^t$ は高々 $Q^{t-1}$ 個しかない( $N$ が十分大きいとき、 $\mathbb{Z}_Q^t$ において $(L_{ij})_{j=1}^t \neq 0$ であるため)。よって、ナイスでない $\boldsymbol{u}$ は高々 $O(Q^{t-1})$ 個しか存在しないことがわかった。主張２の証明終.

以上により、命題の証明が完了する。 Q.E.D.

*1:この言葉遣いは $r_N$ で送って $\mathbb{R}^t$ で見たもの。

*2:定数部分は $N$ に依存してよかったことに注意。

*3: $\theta_i$ は $\psi_i(\boldsymbol{x}) \in \mathrm{Im}(\iota_N)$ となるような $\boldsymbol{x} \in B_{\boldsymbol{u}}$ 達から定まる $\xi_{\boldsymbol{u}}$ (cf. 主張１)を用いて先ほどと同様に定義する。

の定義に基づいた変形

期待値からの消去

中国式剰余定理の適用

積分表示

の収束領域

の収束領域

補題５を認めた上での証明の完成

達の中に等しいものがある場合

達が相異なる場合

$\Lambda_R$ の定義に基づいた変形

期待値からの $B$ 消去

$G_3$ の収束領域

$G_1, G_2$ の収束領域

$h_i$ 達の中に等しいものがある場合

$h_i$ 達が相異なる場合