2016-03-11

短歌素数

整数整数-17 整数-31

俳句は五・七・五の十七音からなり、短歌は五・七・五・七・七の三十一音からなる。

ここに現れる数が全て素数であるという事実は素数好きの大好きな話題の一つです。
偶然とはいえ、昔の日本人は素数の美しさを感じ取っていたのかもしれません。

三三七拍子なんてものもあります(十三音)。

この話が好きだった私は高校生のときに次の概念を導入して遊んでいました：

定義１ 三つの素数の和として表すことができる素数のことを(広義)俳句素数という。また、五つの素数の和として表すことができる素数のことを(広義)短歌素数という。一般に正整数 $n$ に対して、 $n$ 個の素数の和として表すことができる素数のことを $n$ 歌素数という。

音数が素数からなる $n$ 句に分けて歌うことができる素数というわけです。狭義には俳句素数は $17$ を、短歌素数は $31$ を指します。

$p$ が $1$ 歌素数であることと素数であることは同値であり、 $p$ が $2$ 歌素数であることと $(p-2, p)$ が双子素数であることは同値です*1。

従って、「 $2$ 歌素数が無数に存在するか？」という問は 双子素数予想＝「双子素数は無数に存在するであろう」と同じです。

一方で、次の定理が成立します*2：

定理'１ $n \geq 3$ とする。このとき、 $p \geq p_{n+1}$ なる素数は $n$ 歌素数となる。特に、 $n$ 歌素数は無数に存在する。

いつも通り $n$ 番目の素数を $p_n$ と表しています。証明には弱いGoldbach予想を使うので、まずGoldbach予想を復習しましょう：

Goldbach予想 $4$ 以上の任意の偶数は二つの素数の和として表すことができる。

これは2016年現在未解決の予想です。一方、次の弱いGoldbach予想は2013年にHelfgottが証明したと宣言しています*3。

定理' (弱いGoldbach予想) $7$ 以上の任意の奇数は三つの素数の和として表すことができる。

Goldbach予想を仮定すれば弱いGoldbach予想を示すことができますが、逆は示せません(これが"弱い"と呼ばれる理由です。奇数Goldbach予想や三項Goldbach予想とも言います)。

定理'１の証明. 弱いGoldbach予想により、 $p_4=7$ 以上の任意の素数は俳句素数である。また、 $p_5=11$ 以上の任意の素数は $4$ 歌素数である( $p$ を $11$ 以上の素数とするとき、 $p-2$ に対して弱いGoldbach予想を適用すればよい)。 $n \geq 5$ とし、 $p_{n-3}$ が $(n-4)$ 歌素数であると仮定する( $\neq 2$ )。このとき、 $p\geq p_{n+1}$ なる素数 $p$ は $n$ 歌素数となる。というのも、 $p-p_{n-3}-3 \geq 7$ に対して弱いGoldbach予想が適用できるからである。 $p_2=3$ は $1$ 歌素数、 $p_3=5=2+3$ は $2$ 歌素数、 $p_4=7$ は俳句素数、 $p_5=11$ は $4$ 歌素数なので、数学的帰納法によって定理の証明が完了する。 Q.E.D.

定理'１により素数というものは割と万能に歌を詠めることが分かります。

俳句と短歌を一般化した長歌と呼ばれる和歌がありますが、こちらは

$\underbrace{\text{五・七}\cdots\text{五・七}}_n\text{・七}$

の長さで詠まれる歌のことを言います( $n$ は正整数)。そこで、 $12n+7$ 型の素数のことを長歌素数と呼ぶのも楽しいでしょう。ついつい、長歌素数の長さの長歌を詠みたくなります。

定理２ 長歌素数は無数に存在する。

証明. $12$ と $7$ は互いに素なので、Dirichletの算術級数定理より従う。 Q.E.D.

各句の音数を相異なる素数にしたいという欲求に駆られた場合は次の概念に至ります：

定義２ $n$ を整数とする。相異なる $n$ 個の素数の和として表すことができる素数のことを強 $n$ 歌素数という。

６より大きい任意の整数は相異なる素数の和として表すことができる - INTEGERSによって、「 $2, 3, 11$ を除く任意の素数 $p$ に対して或る $n \geq 2$ が存在して、 $p$ は強 $n$ 歌素数である」ことが分かります。

実は次の定理を証明することができます：

定理３ $n$ を $3$ 以上の整数とする。このとき、十分大きい素数は強 $n$ 歌素数である。特に、強 $n$ 歌素数は無数に存在する。

証明のキーとなるのは次の深い定理です：

Vinogradovの定理 (1954) 奇数 $n$ を三つの素数の和として表す表し方の総数を $N_3(n)$ とする。このとき、

$\displaystyle N_3(n) \sim \prod_p \left( 1+\frac{1}{(p-1)^3} \right) \prod_{p \mid n} \left( 1-\frac{1}{p^2-3p+3} \right) \frac{n^2}{2\log^3 n}, \ \ n \to \infty$

成る漸近公式が成り立つ。ここで、積における $p$ は素数を表す。

この定理によって弱いGoldbach予想が十分大きい奇数に対して成立することが分かりますが(Helfgott以前の大きな結果！)、漸近公式まで分かっていることが定理３の証明で効いてきます。 $\pi (x)$ は $x$ 以下の素数の個数とします。

定理３の証明. 奇数 $n$ を二つの素数 $p_1, p_2$ を用いて $n=p_1+2p_2$ と書き表す表し方の総数は $\pi (n)$ を超えないので、 $\pi (n)$ に関する素数定理による漸近評価の式よりもVinogradovの定理による $N_3(n)$ の漸近評価の式の方が打ち勝つことから、次の系が成り立つ：

系任意の正整数 $N$ に対してある $n_0(N)$ が存在して、 $n \geq n_0(N)$ なる奇数 $n$ は $N$ より大きい相異なる三つの素数の和として表すことができる。

これで定理３の $n=3$ の場合は証明されている。また、 $p$ を $p \geq n_0(2)+2$ を満たすような素数とし、系によって奇数 $p-2$ を相異なる三つの奇素数の和として表すことによって、 $p$ は強 $4$ 歌素数であることが分かるので、 $n=4$ の場合も証明された。 $q$ を強 $n$ 歌素数とし、 $q$ を相異なる $n$ 個の素数の和として表したとき*4に現れる最大の素数を $r$ 、そこに現れない奇素数を一つとって $s$ とする。 $t:=\max \{r, s\}$ 。このとき、 $p$ を $p \geq n_0(t)+q+s$ なる素数とし、系によって奇数 $p-q-s$ を相異なる三つの $r, s$ より大きい素数の和として表すことによって、 $p$ は強 $(n+4)$ 歌素数であることが分かる。従って、数学的帰納法によって $n \geq 5$ の場合も十分大きい素数は強 $n$ 歌素数であることが示される。 Q.E.D.

二・三・五・七・十一・… と各句の音数を小さい素数順に並べた長さで読む素数長歌も最近流行っていいます。 $\displaystyle S_n := \sum_{i=1}^np_i$ と定義し、 $p=S_n$ なる素数を素数長歌素数と呼んでみましょう。まず、素数定理から次の漸近公式を証明することができます。

命題 $\ \ \displaystyle S_n \sim \frac{n^2}{2}\log n, \ \ (n \to \infty).$

昔、最初の $10$ 万個程の素数から様々なデータをとって眺めていたとき、この漸近公式は絶対成り立つだろうな〜と考えていたことがあります。そのときは、Gaussが $1$ から $100$ までの和を瞬時に足して $5050$ と答えた方法を真似たheuristicな議論によって導きましたが、次のようにちゃんと証明することができます*5：

証明. $p$ は素数を表すことにすると、

$\displaystyle \sum_{p \leq x}p = \sum_{n \leq x}\{ \pi(n) -\pi (n-1)\} n = -\sum_{n \leq x}\pi (n) + \pi (x)([x]+1)$

が成り立つ。

$\displaystyle \pi (x) = \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{\log^2x} \right)$

という形で素数定理を用いると*6、アーベルの総和法によって

$\displaystyle \sum_{n \leq x}\pi (n) = \frac{x^2}{2\log x} + O\left( \frac{x^2}{\log^2x} \right)$

が得られる。従って、

$\displaystyle \pi (x)([x]+1) = \frac{x^2}{\log x} + O\left( \frac{x^2}{\log^2 x} \right)$

と合わせることによって

$\displaystyle \sum_{p \leq x}p \sim \frac{x^2}{2\log x}, \ \ (x \to \infty)$

が示された。これに再び素数定理 $p_n \sim n\log n$ を適用すれば主張が得られる。 Q.E.D.

予想素数長歌素数は無数に存在する。

この予想に対してheuristicな議論を行ってみましょう。

Heuristicな考察 $x$ 以下の $S_n$ という形の正整数の個数を $N_x$ とすると、命題より

$\displaystyle x≒\frac{N_x^2\log N_x}{2}$

が成り立つ。また、 $x$ 以下の正整数が素数である確率は素数定理より大体 $\frac{1}{\log x}$ である。従って、

$\begin{align}x\text{以下の}S_n\text{という形をした素数の個数} &≒ \frac{N_x}{\log x} \\ &≒ \frac{N_x}{2\log N_x - \log 2+\log \log N_x} \\ &≒ \frac{N_x}{2\log N_x} ≒ \frac{\pi (N_x)}{2}\end{align}$

と近似できるので、 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}N_x = \infty$ であることから予想は正しそうに思える。考察終わり

素数長歌素数最初の100個( $S(n):=\sum_{p\leq n}p$ )

$\begin{align}&S(1)=2, \ S(2)= 5, \ S(4)= 17, \ S(6)= 41, \ S(12)= 197, \ S(14)= 281, \ \\ &S(60)= 7699, \ S(64)= 8893, \ S(96)= 22039, \ S(100)= 24133, \ \\ &S(102)= 25237, \ S(108)= 28697, \ S(114)= 32353, \ S(122)= 37561, \ \\ &S(124)= 38921, \ S(130)= 43201, \ S(132)= 44683, \ S(146)= 55837, \ \\ &S(152)= 61027, \ S(158)= 66463, \ S(162)= 70241, \ S(178)= 86453,\\ &S(192)= 102001, \ S(198)= 109147, \ S(204)= 116533, \ S(206)= 119069, \ \\ &S(208)= 121631, \ S(214)= 129419, \ S(216)= 132059, \ S(296)= 263171, \ \\ &S(308)= 287137, \ S(326)= 325019, \ S(328)= 329401, \ S(330)= 333821, \ \\ &S(332)= 338279, \ S(334)= 342761, \ S(342)= 360979, \ S(350)= 379667, \ \\ &S(356)= 393961, \ S(358)= 398771, \ S(426)= 581921, \ S(446)= 642869, \ \\ &S(458)= 681257, \ S(460)= 687767, \ S(464)= 700897, \ S(480)= 754573, \ \\ &S(484)= 768373, \ S(488)= 782263, \ S(512)= 868151, \ S(530)= 935507, \ \\ &S(536)= 958577, \ S(548)= 1005551, \ S(568)= 1086557, \ S(620)= 1313041, \ \\ &S(630)= 1359329, \ S(676)= 1583293, \ S(680)= 1603597, \ S(696)= 1686239, \ \\ &S(708)= 1749833, \ S(734)= 1891889, \ S(762)= 2051167, \ S(768)= 2086159, \ \\ &S(776)= 2133121, \ S(780)= 2156813, \ S(784)= 2180741, \ S(808)= 2327399, \ \\ &S(814)= 2364833, \ S(820)= 2402537, \ S(836)= 2504323, \ S(844)= 2556187, \ \\ &S(848)= 2582401, \ S(852)= 2608699, \ S(926)= 3120833, \ S(942)= 3238237, \ \\ &S(984)= 3557303, \ S(992)= 3619807, \ S(1024)= 3875933, \ S(1026)= 3892271, \ \\ &S(1030)= 3925069, \ S(1036)= 3974497, \ S(1070)= 4260917, \ S(1098)= 4504663, \ \\ &S(1118)= 4682791, \ S(1136)= 4846279, \ S(1142)= 4901431, \ S(1148)= 4956893, \ \\ &S(1150)= 4975457, \ S(1178)= 5238847, \ S(1190)= 5353841, \ S(1192)= 5373133, \ \\ &S(1196)= 5411839, \ S(1222)= 5666783, \ S(1240)= 5847047, \ S(1256)= 6009791, \ \\ &S(1296)= 6426919, \ S(1314)= 6619643, \ S(1322)= 6706397, \ S(1338)= 6881663, \ \\ &S(1356)= 7081849, \ S(1386)= 7422539\end{align}$