ラマヌジャンの見つけた魅力的な数列

Ramanujanが1916年に発見した数列 $\tau (n)$ は今なお数学者を魅了し続ける大変美しい数列です。これは保型形式 $\Delta (z)$ のFourier係数として定義されます。 $z \in \mathfrak{H}$ に対して $q:=e^{2\pi iz}$ とおくとき( $\mathfrak{H}$ は上半平面)、 $\Delta (z)$ は無限積表示

$\displaystyle \Delta (z) = q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24} = \sum_{n=1}^{\infty}\tau (n)q^n$

を持つため、逐一展開すれば原理的には手計算でも $\tau (n)$ を計算できることが分かります(実際には手計算はすぐ諦めるでしょう笑)。

これから $\tau (n)$ の不思議に迫っていく前に、とりあえずその数値を眺めてみましょう：

$\tau (1)= 1$
$\tau (2)= -24=-2^3\times 3$
$\tau (3)= 252=2^2\times 3^2\times 7$
$\tau (4)= -1472=-2^6\times 23$
$\tau (5)= 4830=2\times 3\times 5\times 7 \times 23$
$\tau (6)= -6048=-2^5\times 3^3 \times 7$
$\tau (7)= -16744=-2^3 \times 7\times 13 \times 23$
$\tau (8)= 84480=2^9\times 3\times 5\times 11$
$\tau (9)= -113643=-3^4\times 23\times 61$
$\tau (10)= -115920=-2^4\times 3^2 \times 5\times 7 \times 23$
$\tau (11)= 534612=2^2\times 3\times 13 \times 23 \times 149$
$\tau (12)= -370944=-2^8\times 3^2\times 7\times 23$
$\tau (13)= -577738=-2\times 7\times 29\times 1423$
$\tau (14)= 401856=2^6\times 3\times 7\times 13\times 23$
$\tau (15)= 1217160=2^3\times 3^3\times 5\times 7^2\times 23$
$\tau (16)= 987136=2^{12}\times 241$
$\tau (17)= -6905934=-2\times 3^2\times 7\times 23 \times 2383$
$\tau (18)= 2727432=2^3\times 3^5\times 23 \times 61$
$\tau (19)= 10661420=2^2\times 5\times 7^2\times 11\times 23\times 43$
$\tau (20)= -7109760=-2^7\times 3\times 5\times 7\times 23^2$
$\tau (21)= -4219488=-2^5\times 3^2\times 7^2\times 13 \times 23$
$\tau (22)= -12830688=-2^5\times 3^2\times 13 \times 23 \times 149$
$\tau (23)= 18643272=2^3\times 3\times 617\times 1259$
$\tau (24)= 21288960=2^{11}\times 3^3\times 5\times 7\times 11$
$\tau (25)= -25499225=-5^2\times 79\times 12911$
$\tau (26)= 13865712=2^4\times 3\times 7\times 29\times 1423$
$\tau (27)= -73279080=-2^3\times 3^6\times 5\times 7\times 359$
$\tau (28)= 24647168=2^9\times 7\times 13\times 23^2$
$\tau (29)= 128406630=2\times 3\times 5\times 11\times 389111$
$\tau (30)= -29211840=-2^6\times 3^4\times 5\times 7^2\times 23$
$\tau (31)= -52843168=-2^5\times 7^2\times 67 \times 503$
$\tau (32)= -196706304=-2^{15}\times 3^2\times 23\times 29$
$\tau (33)= 134722224=2^4\times 3^3\times 7\times 13 \times 23 \times 149$
$\tau (34)= 165742416=2^4\times 3^3\times 7\times 23 \times 2383$
$\tau (35)= -80873520=-2^4\times 3\times 5\times 7^2\times 13\times 23^2$
$\tau (36)= 167282496=2^6\times 3^4\times 23^2\times 61$
$\tau (37)= -182213314=-2\times 23\times 3961159$
$\tau (38)= -255874080=-2^5\times 3\times 5\times 7^2\times 11\times 23\times 43$
$\tau (39)= -145589976=-2^3\times 3^2\times 7^2\times 29\times 1423$
$\tau (40)= 408038400=2^{10}\times 3^2\times 5^2\times 7\times 11\times 23$
$\tau (41)= 308120442=2\times 3\times 7\times 521\times 14081$
$\tau (42)= 101267712=2^8\times 3^3\times 7^2\times 13\times 23$
$\tau (43)= -17125708=-2^2\times 23 \times 186149$
$\tau (44)= -786948864=-2^8\times 3\times 13\times 23^2\times 149$
$\tau (45)= -548895690=-2\times 3^5\times 5\times 7\times 23^2\times 61$
$\tau (46)= -447438528=-2^6\times 3^2\times 617\times 1259$
$\tau (47)= 2687348496=2^4\times 3\times 7\times 7998061$
$\tau (48)= 248758272=2^{14}\times 3^2\times 7\times 241$
$\tau (49)= -1696965207=-3\times 7^2\times 11543981$
$\tau (50)= 611981400=2^3\times 3\times 5^2\times 79\times 12911$
$\tau (51)= -1740295368=-2^3\times 3^4\times 7^2\times 23\times 2383$
$\tau (52)= 850430336=2^7\times 7\times 23 \times 29\times 1423$
$\tau (53)= -1596055698=-2\times 3^3\times 23 \times 1285069$
$\tau (54)= 1758697920=2^6\times 3^7\times 5\times 7\times 359$
$\tau (55)= 2582175960=2^3\times 3^2\times 5\times 7\times 13\times 23^2\times 149$
$\tau (56)= -1414533120=-2^{12}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 23$
$\tau (57)= 2686677840=2^4\times 3^2\times 5\times 7^3\times 11\times 23\times 43$
$\tau (58)= -3081759120=-2^4\times 3^2\times 5\times 11\times 389111$
$\tau (59)= -5189203740=-2^2\times 3\times 5\times 7\times 29\times 89\times 4787$
$\tau (60)= -1791659520=-2^9\times 3^3\times 5\times 7^2\times 23^2$
$\tau (61)= 6956478662=2\times 7\times 23\times 59\times 366169$
$\tau (62)= 1268236032=2^8\times 3\times 7^2\times 67 \times 503$
$\tau (63)= 1902838392=2^3\times 3^4\times 7\times 13\times 23^2\times 61$
$\tau (64)= 2699296768=2^{18}\times 7\times 1471$
$\tau (65)= -2790474540=-2^2\times 3\times 5\times 7^2\times 23\times 29\times 1423$
$\tau (66)= -3233333376=-2^7\times 3^4\times 7\times 13\times 23 \times 149$
$\tau (67)= -15481826884=-2^2\times 23\times 47\times 3580441$
$\tau (68)= 10165534848=2^7\times 3^2\times 7\times 23^2\times 2383$
$\tau (69)= 4698104544=2^5\times 3^3\times 7\times 617\times 1259$
$\tau (70)= 1940964480=2^7\times 3^2\times 5\times 7^2\times 13\times 23^2$
$\tau (71)= 9791485272=2^3\times 3^2\times 61\times 2229391$
$\tau (72)= -9600560640=-2^9\times 3^5\times 5\times 11\times 23 \times 61$
$\tau (73)= 1463791322=2\times 7 \times 104556523$
$\tau (74)= 4373119536=2^4\times 3\times 23 \times 3961159$
$\tau (75)= -6425804700=-2^2\times 3^2\times 5^2\times 7\times 79\times 12911$
$\tau (76)= -15693610240=-2^8\times 5\times 7^2\times 11\times 23^2\times 43$
$\tau (77)= -8951543328=-2^5\times 3\times 7\times 13^2\times 23^2\times 149$
$\tau (78)= 3494159424=2^6\times 3^3\times 7^2\times 29\times 1423$
$\tau (79)= 38116845680=2^4\times 5\times 23\times 1721 \times 12037$
$\tau (80)= 4767866880=2^{13}\times 3\times 5\times 7\times 23 \times 241$
$\tau (81)= 1665188361=3^8\times 253801$
$\tau (82)= -7394890608=-2^4\times 3^2\times 7\times 521 \times 14081$
$\tau (83)= -29335099668=-2^2\times 3\times 7\times 23\times 283\times 53653$
$\tau (84)= 6211086336=2^{11}\times 3^2\times 7^2\times 13\times 23^2$
$\tau (85)= -33355661220=-2^2\times 3^3\times 5\times 7^2\times 23^2\times 2383$
$\tau (86)= 411016992=2^5\times 3\times 23 \times 186149$
$\tau (87)= 32358470760=2^3\times 3^3\times 5\times 7\times 11\times 389111$
$\tau (88)= 45164021760=2^{11}\times 3^2\times 5\times 11\times 13\times 23\times 149$
$\tau (89)= -24992917110=-2\times 3^2\times 5\times 7\times 19\times 23^2\times 3947$
$\tau (90)= 13173496560=2^4\times 3^6\times 5\times 7\times 23^2\times 61$
$\tau (91)= 9673645072=2^4\times 7^2\times 13\times 23\times 29\times 1423$
$\tau (92)= -27442896384=-2^9\times 3\times 23 \times 617\times 1259$
$\tau (93)= -13316478336=-2^7\times 3^2\times 7^3\times 67\times 503$
$\tau (94)= -64496363904=-2^7\times 3^2\times 7\times 7998061$
$\tau (95)= 51494658600=2^3\times 3\times 5^2\times 7^3\times 11\times 23^2\times 43$
$\tau (96)= -49569988608=-2^{17}\times 3^4\times 7\times 23 \times 29$
$\tau (97)= 75013568546=2\times 7^2\times 23\times 163\times 204173$
$\tau (98)= 40727164968=2^3\times 3^2\times 7^2\times 11543981$
$\tau (99)= -60754911516=-2^2\times 3^5\times 13\times 23^2\times 61\times 149$
$\tau (100)= 37534859200=2^6\times 5^2\times 23 \times 79\times 12911$