Ramanujanが1916年に発見した数列は今なお数学者を魅了し続ける大変美しい数列です。これは保型形式
のFourier係数として定義されます。
に対して
とおくとき(
は上半平面)、
は無限積表示
を持つため、逐一展開すれば原理的には手計算でもを計算できることが分かります(実際には手計算はすぐ諦めるでしょう笑)。
これからの不思議に迫っていく前に、とりあえずその数値を眺めてみましょう:
この数列は本当に魅力的なため、何度も記事を書くことになると思います。今回は二つだけ事実を紹介します。
一つ目は次の事実です:
定理 数論的関数
は乗法的である。すなわち、
と
が互いに素ならば
が成り立つ。
上記数値例を眺めてこの公式が成り立つかどうかを確認することはとても楽しい作業です。例えば、ですが、
よりが成り立っていることが分かります。
もう一つ。数値例に素数が出てこないことが気がかりですが、最小の例はLehmerによって与えられています:
の世界を探検する前に、是非上記数値例を眺めてご自身で法則を発見してみてください!!