2016-10-22

ラマヌジャン映画『奇蹟がくれた数式』公開！！

整数整数-5 整数-7 整数-11 Ramanujan

ですから、 $p(n)$ を自然数 $n$ の分割数としましょう。すなわち、 $n$ を例えば非増加の順に自然数の和として分割するときの分割*1の総数が $p(n)$ でした。

$\begin{align}5 &=5 \\ &=4+1 \\ &=3+2 \\ &=3+1+1\\ &= 2+2+1 \\ &= 2+1+1+1 \\ &= 1+1+1+1+1\end{align}$

より、 $p(5)=7$ が分かります。便宜的に $p(0)=1$ 、負の整数 $n$ に対して $p(n)=0$ としておきましょう。 $p(n)$ の母関数は

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^n=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-q^n}$

で与えられたことを思い出しておきます。Ramanujanは分割数の定義からは予想できそうにもない、 $p(n)$ の美しいarithmetic propertyを見出しました。

定理 (Ramanujan) 任意の整数 $n$ に対して合同式

$\begin{align}p(5n+4) &\equiv 0 \pmod{5} \\ p(7n+5) &\equiv 0 \pmod{7} \\ p(11n+6) &\equiv 0 \pmod{11}\end{align}$

が成立する。

$p(4)=5, \ (5)=7, \ p(6)=11, \ p(9)=30, \ p(12)=77, \ p(17)=297$ など確かに成立していることを数値例で確かめることができます。映画はまだ見ていないので内容は知らないのですが、この定理の証明ぐらいは紹介するのではないか？と期待しています*2。

Ramanujanは

It appears that there are no equally simple properties for any moduli involving primes other than these three.

と述べています。

$6$ と素な任意の整数 $m$ に対して、或る整数 $a, b$ が存在して

$p(an+b) \equiv 0 \pmod{m}$

が任意の整数 $n$ に対して成り立つことが示されていますが、 $m=13$ としても

$p(157525693n+111247)\equiv 0 \pmod{13}$

が全ての整数 $n$ に対して成立するというのが実例の一つなので、Ramanujanの発見した合同式と比べると複雑と言えます。そこで、素数 $l$ に対して

$p(ln+k) \equiv 0 \pmod{l}$

が任意の整数 $n$ に対して成立するような整数 $k$ が存在するかを問うことにしましょう。かような $k$ が存在するとき $l$ をRamanujanの奇跡の素数と呼ぶことにします*3。

このとき、Ramanujanの言葉は次のような形で実現されました：

定理 (Ahlgren-Boylan) Ramanujanの奇跡の素数は $5, 7, 11$ に限る。

というわけで、この記事ではこの定理の証明の概略を

S. Ahlgren, M. Boylan, "Arithmetic properties of the partition function", Invent. Math., 153(3) (2003), p. 487-502.

に従って紹介することにしましょう。以下、ですます調からである調に転調します。

$p(0)=1, p(1)=1$ なので $2$ はRamanujanの奇跡の素数ではない。更に、 $p(2)=2$ なので $3$ もRamanujanの奇跡の素数ではないことが分かる。以下、ずっと $l \geq 5$ として固定しよう( $l\geq 13$ なる条件を課すこともある)。 $\frac{l^2-1}{24}$ は自然数となる。

Ramanujanの奇跡の素数については、Ahlgren-Boylanの定理が証明されるよりも前に次の重要な結果が証明されていた：

定理 (Kiming-Olsson) $l$ がRamanujanの奇跡の素数であるとき、それに対して存在する整数 $k$ は $24k \equiv 1 \pmod{l}$ を満たす。

この定理から $k$ は $\bmod{l}$ で一意に決まることが分かる。よって、Ahlgren-Boylanの定理を証明するには

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}p(ln-\frac{l^2-1}{24})q^n \not \equiv 0 \pmod{l} \tag{1}$

が $l \geq 13$ のときに成立することを示せばよい。 $\Delta$ をRamanujanのデルタとし、 $f_l := \Delta^{\frac{l^2-1}{24}}$ とする。すると、 $\Delta$ の $q$ 展開と分割数の母関数表示から

$\begin{align}f_l(z) &=q^{\frac{l^2-1}{24}}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^n)^{l^2}}{1-q^n} \\ &\equiv \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{ln})^l\sum_{n=0}^{\infty}p(n-\frac{l^2-1}{24})q^n\pmod{l}\end{align}$

が得られる。よって、作用素 $U \colon \mathbb{Z}[[q]] \to \mathbb{Z}[[q]]$ を

$\displaystyle \left. \sum_{n=0}^{\infty}a_nq^n \right|_U := \sum_{n=0}^{\infty}a_{ln}q^n$

と定めれば

$\displaystyle \left. f_l\right|_U \equiv \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^l\sum_{n=0}^{\infty}p(ln-\frac{l^2-1}{24})q^n \pmod{l}$

が得られたことになる。これを元に $l \geq 13$ に対して(1)を示すのであるが、 $\bmod{l}$ モジュラー形式の $l$ -weightに関する議論を用いて証明する。

$k$ を偶数として、 $M_k$ を $SL_2(\mathbb{Z})$ に対する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 線形空間とする。Fourier係数が $\mathbb{Z}$ に属するようなもののなす $\mathbb{Z}$ 加群を $M_k(\mathbb{Z}):=M_k \cap \mathbb{Z}[[q]]$ として、 $f \in M_k(\mathbb{Z})$ に対して $\widetilde{f} \in \mathbb{F}_l[[q]]$ を $\widetilde{f} := f\bmod{l}$ で定義する。そうして、

$\displaystyle \widetilde{M_k} := \{ \widetilde{f} \mid f \in M_k(\mathbb{Z})\}$

とする。このとき、 $f \in M_k(\mathbb{Z})$ に対して、 $f$ の $l$ -weight $w(f)$ を

$\displaystyle w(f) := \inf \{ k' \mid \widetilde{f} \in \widetilde{M}_{k'}\}$

と定義する。 $f \in \mathbb{Z}[[q]]$ がモジュラー形式でない場合でも、 $\bmod{l}$ で一致するようなモジュラー形式の持ち上げが存在すれば $w(f)$ を定義できる。

$w(f) = -\infty \Longleftrightarrow \widetilde{f} \equiv 0 \pmod{l}$

である。 $f \in M_k(\mathbb{Z})$ 、 $g \in M_{k'}(\mathbb{Z})$ 、 $\widetilde{f} \equiv \widetilde{g} \not \equiv 0 \pmod{l}$ ならば $k \equiv k' \pmod{l-1}$ が成り立つことは $\left(\begin{smallmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ の作用を見れば分かる。また、 $w(f^j)=jw(f)$ なる性質を持つ( $j$ は自然数)。

$\Theta = q\frac{d}{dq}\colon \mathbb{Z}[[q]] \to \mathbb{Z}[[q]]$ を

$\displaystyle \Theta \left( \sum_{n=0}^{\infty}a_nq^n \right) := \sum_{n=1}^{\infty}na_nq^n$

と定義し、 $\mathbb{F}_l$ 係数で考えたものを同じく $\Theta$ で表すことにする。

補題１ $\Theta (\widetilde{M}_k) \subset \widetilde{M}_{k+l+1}$ が成り立つ。特に、 $f \in M_k(\mathbb{Z}), \ \widetilde{f} \not \equiv 0 \pmod{l}$ ならば

$w(\Theta f) \leq w(f)+l+1$

が成り立つ。等号成立のための必要十分条件は $w(f) \not \equiv 0 \pmod{l}$ 。

$k$ が正の偶数のときにEisenstein級数

$\displaystyle E_k(z) = 1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(n)q^n$

を考える。 $B_k$ は関-Bernoulli数で $\sigma_{k-1}(n)$ は $n$ の約数の $k-1$ 乗和。これは、 $k > 2$ ならモジュラー形式である。

$k$ が整数のときに $f \in \mathbb{Z}[[q]]$ に対して、 $\Theta_1f(z):=12\Theta f(z)-kE_2(z)f(z)$ によって $\Theta_1\colon \mathbb{Z}[[q]] \to \mathbb{Z}[[q]]$ を定める( $k$ に依存)。このとき、 $\left(\begin{smallmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ の作用を計算すれば $\Theta_1(M_k(\mathbb{Z}) ) \subset M_{k+2}(\mathbb{Z})$ が確かめられる。von-Staudt−Clausenの定理およびKummerの合同式より $E_{l-1} \equiv 1 \pmod{l}$ および $E_{l+1}(z) \equiv E_2(z) \pmod{l}$ が成り立つので、

$\displaystyle \Theta f(z) \equiv \frac{\Theta_1f(z)E_{l-1}(z)-kE_{l+1}(z)f(z)}{12} \pmod{l}$

が得られる。従って、 $\displaystyle f \in M_k(\mathbb{Z})$ であれば、 $\bmod{l}$ で $\Theta f(z)$ は $M_{k+l+1}(\mathbb{Z})$ に持ち上げが存在する。これで、補題１の不等式までは証明できた。等号成立条件については省略。

補題２ 自然数 $m$ に対して

$\displaystyle w(\Theta^m f_l) \geq w(f_l) = \frac{l^2-1}{2}$

が成り立つ。

$w(f_l)=\frac{l^2-1}{24}w(\Delta) = \frac{l^2-1}{2}$ と計算できる。 $f_l=q^{\frac{l^2-1}{24}}+\cdots$ なので、

$\Theta^m f_l = \left(\frac{l^2-1}{24}\right)^mq^{\frac{l^2-1}{24}}+\cdots \not \equiv 0 \pmod{l}$

である。 $k:=w(\Theta^m f_l)$ 、 $d:=\dim_{\mathbb{C}}M_k$ とする。 $M_k$ の基底として、 $q$ 展開の先頭項が $1, q, q^2, \dots, q^{d-1}$ であるものからなるものが取れるので、

$\displaystyle d \geq \frac{l^2-1}{24}+1$

でなければならない。一方、次元公式より $d \leq \frac{k}{12}+1$ なので $k \geq \frac{l^2-1}{2}$ となって補題２の証明が完了する。

補題３ $w(\Theta^{l-1}f_l) \equiv 0 \pmod{l}$ または

$w(\Theta^{l-1}f_l)=w(f_l)=\frac{l^2-1}{2}$

が成り立つ。前者の場合は $w(\left. f_l\right|_U) > 0$ である。

$\Theta^l f_l \equiv \Theta f_l \pmod{l}$ なので、補題１より $w(\Theta^lf_l)=w(\Theta f_l)=\frac{l^2-1}{2}+l+1$ が成立。もう一度補題１を用いると

$w(\Theta^lf_l) \leq w(\Theta^{l-1}f_l)+l+1$

が成り立ち、 $w(\Theta^{l-1}f_l) \equiv 0 \pmod{l}$ でなければ等号が成立する。そのとき、 $w(\Theta^{l-1}f_l)=\frac{l^2-1}{2}$ である。

$(\left. f_l \right|_U)^l \equiv f_l-\Theta^{l-1}f_l \pmod{l}$ なので、

$\displaystyle w(\left. f_l\right|_U)=\frac{1}{l}w(f_l-\Theta^{l-1}f_l).$

$w(\Theta^{l-1}f_l) \equiv 0 \pmod{l}$ かつ $w(\left. f_l\right|_U) \leq 0$ と仮定する。このとき、 $f_l-\Theta^{l-1}f_l$ は $\bmod{l}$ で定数*4。定数項をみれば $0$ と分かる。すると、 $f_l \equiv \Theta^{l-1}f_l \pmod{l}$ ということになるが、 $w(f_l)=\frac{l^2-1}{2} \not \equiv 0 \pmod{l}$ なので矛盾。これで補題３の証明完了。只今より、 $l\geq 13$ として(1)を証明する。背理法で証明するので

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}p(ln-\frac{l^2-1}{24})q^n \equiv 0 \pmod{l}$

と仮定する。すると、幾分前に示した合同式より $w(\left. f_l \right|_U)=-\infty$ ということになる。故に補題３より

$\displaystyle w(\Theta^{l-1}f_l) = w(f_l)=\frac{l^2-1}{2}.$

さて、 $w(\Theta^{l-2}f_l) \not \equiv 0 \pmod{l}$ と仮定すると補題１より

$w(f_l)=w(\Theta^{l-1}f_l) = w(\Theta^{l-2}f_l)+l+1$

を得るが、これは $w(\Theta^{l-2}f_l) < w(f_l)$ ということだから補題２に矛盾。しからば

$w(\Theta^{l-2}f_l) \equiv 0 \pmod{l} \tag{2}$

と言える。 $w(f_l)=\frac{l^2-1}{2}$ なので補題１を繰り返せば $w(\Theta^{\frac{l+1}{2}}f_l) \equiv 0\pmod{l}$ が得られ、これにもう一回補題１を適用すると等号が成立しない場合で、或る $a \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ に対して

$\displaystyle w(\Theta^{\frac{l+3}{2}}f_l) = \frac{l^2-1}{2}+\frac{l+3}{2}(l+1)-a(l-1) \tag{3}$

が成り立つ( $k \equiv k' \pmod{l-1}$ の話を思い出そう)。補題２と合わせると

$\displaystyle a \leq \frac{l+3}{2(l-1)}(l+1)=\frac{l+5}{2}+\frac{4}{l-1}$

となるが、 $l > 5$ なので

$\displaystyle 1 \leq a \leq \frac{l+5}{2}$

に至る。(2)より $1 \leq j \leq \frac{l-5}{2}$ であって $w(\Theta^{\frac{l+1}{2}+j}f_l) \equiv 0 \pmod{l}$ なる最小の $j$ を取れる。(3)に補題１を適用すれば

$\begin{align}w(\Theta^{\frac{l+1}{2}+j}f_l) &= \frac{l^2-1}{2}+\left( \frac{l+1}{2}+j \right)(l+1)-a(l-1) \\ &\equiv j+a \equiv 0 \pmod{l}.\end{align}$

$1 \leq a \leq \frac{l+5}{2}$ および $1 \leq j \leq \frac{l-5}{2}$ より $a=\frac{l+5}{2}$ と確定する。(3)より

$\displaystyle w(\Theta^{\frac{l+3}{2}}f_l)=\frac{l^2-1}{2}+4$

と $\Theta^{\frac{l+3}{2}}f_l$ の $l$ -weightを決定できる。 $q$ 展開は

$\Theta^{\frac{l+3}{2}}f_l = \left( \frac{l^2-1}{24}\right)^{\frac{l+3}{2}}q^{\frac{l^2-1}{24}}+\cdots$

である。 $\frac{l^2-1}{2}$ が $12$ の倍数であることに注意して、 $M_{\frac{l^2-1}{2}+4}$ の基底を

$E_4\cdot E_4^{\frac{l^2-1}{8}}, E_4\Delta E_4^{\frac{l^2-1}{8}-3}, \dots, E_4\Delta^{\frac{l^2-1}{24}}$

と選べば、直前で得られた情報から

$\Theta^{\frac{l+3}{2}}f_l \equiv \left( \frac{l^2-1}{24} \right)^{\frac{l+3}{2}}E_4f_l \pmod{l}$

なる合同関係が成り立たなければならないことが分かる。

$f_l \equiv q^{\frac{l^2-1}{24}}(1-q)^{l^2-1} \cdots \equiv q^{\frac{l^2-1}{24}}+q^{\frac{l^2-1}{24}+1}+\cdots \pmod{l}$

なので、 $\Theta$ の定義から

$\Theta^{\frac{l+3}{2}}f_l \equiv \left( \frac{l^2-1}{24} \right)^{\frac{l+3}{2}}q^{\frac{l^2-1}{24}}+(\frac{l^2-1}{24}+1)^{\frac{l+3}{2}}q^{\frac{l^2-1}{24}+1}+\cdots \pmod{l}$

であるが、一方

$\left( \frac{l^2-1}{24} \right)^{\frac{l+3}{2}}E_4f_l \equiv \left( \frac{l^2-1}{24} \right)^{\frac{l+3}{2}}q^{\frac{l^2-1}{24}}+241\left( \frac{l^2-1}{24} \right)^{\frac{l+3}{2}}q^{\frac{l^2-1}{24}+1}+\cdots \pmod{l}$