1767218027：非正則指数世界記録更新！？

以前、2011年にBuhlerとHarveyによって得られた非正則指数 $i(p)$ の世界記録( $=7$ )を紹介しましたが、今日arXivに投稿されたプレプリント

W. Hart, D. Harvey, W. Ong, Irregular primes to two billion, preprint.

において世界記録が5年ぶりに更新されたと宣言されています*1(そのプレプリント自体は非正則素数をサーチすることによって、非正則指数だけではなくKummer-Vandiver予想や岩澤不変量についても新データを与えています)。

2011年のデータについては
integers.hatenablog.com
を参照してください。

前回は $163577856$ 以下の素数をサーチしたものでしたが、今回は $2147483648$ 以下の素数がサーチされたようです。特に、前回は非正則指数が $7$ であるような素数が5つ発見されていましたが、今回のサーチによって $2147483648$ 以下の非正則素数の中には $i(p)=7$ のものが $86$ 個、 $i(p)=8$ のものが $4$ 個、 $i(p)=9$ であるものが $1$ 個見つかったようです。

$i(p)=8$ なる $p = 381348997, 717636389, 778090129, 1496216791$

$i(p)=9$ なる $p=1767218027$

とのこと。また、 $i(p)=9$ ということは $B_j\equiv 0 \pmod{1767218027}$ なる $j$ が $2$ から $1767218024$ の間に $9$ 個あることになりますが、それは

$\begin{equation}\begin{split} j= \ &63562190, 275233542, 290632386, 619227758, 902737892, 1279901568, 1137429618, \\ &1603159110, 1692877044\end{split}\end{equation}$

だそうです。以下に、数値データを引用します：

$k$	$N_k$	$N_k/N$	$P_k$
$0$	$63751120$	$0.606590$	$0.606531$
$1$	$31873681$	$0.303277$	$0.303265$
$2$	$7963496$	$0.075772$	$0.075816$
$3$	$1326171$	$0.0126185$	$0.0126361$
$4$	$165211$	$0.00157198$	$0.00157951$
$5$	$16410$	$0.000156141$	$0.000157951$
$6$	$1384$	$0.000013169$	$0.000013163$
$7$	$86$	$0.000000818$	$0.000000940$
$8$	$4$	$0.0000000381$	$0.0000000588$
$9$	$1$	$0.0000000095$	$0.0000000033$

ここで、 $N=\pi (2147483648)$ であり、 $\pi_{\text{irr}, k}(x):= \{ p \leq x \mid i(p)=k \}$ とするとき、 $N_k:=\#\pi_{\text{irr}, k}(2147483648), \$ $\displaystyle P_k=\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{2^kk!}$ は非正則指数が $k$ であるような素数の割合の予想値です。