47, 131：ウラム数

$47$ は「 $n$ と $n+1$ がともにUlam数である」という性質を満たす知られている最大の数
( $1, 2, 3, 47$ しか知られていない)。Ulam素数でもある。

$131=62+69$ は「連続するUlam数の和となるようなUlam数である」という性質を満たす知られている最大の数(他には $3=1+2$ しか知られていない)。こちらもUlam素数。

Ulam数列 Ulam数列 $\{U_n\}$ を次のように定義する： $U_1:=1, U_2:=2$ とし、 $U_1, \dots,$ $U_n$ が定義されているときに、 $U_1$ から $U_n$ のうち相異なる二つの数の和として丁度一通りに表せるような数のうち最小のものを $U_{n+1}$ と定義する。 $\{U_n\}$ をUlam数列といい、各 $U_n$ をUlam数という。

$U_1$ から $U_{100}$ を以下に列挙する。例えば、

$5=1+4=2+3, \ \ 7=1+6=3+4$

と二通りの和に表すことができるので、 $5$ と $7$ はUlam数ではない。

$\begin{align}U_{1}&= 1\\ U_{2}&= 2\\ U_{3}&= 3\\ U_{4}&= 4\\ U_{5}&= 6\\ U_{6}&= 8\\ U_{7}&= 11\\ U_{8}&= 13\\ U_{9}&= 16\\ U_{10}&= 18\\ U_{11}&= 26\\ U_{12}&= 28\\ U_{13}&= 36\\ U_{14}&= 38\\ U_{15}&= 47\\ U_{16}&= 48\\ U_{17}&= 53\\ U_{18}&= 57\\ U_{19}&= 62\\ U_{20}&= 69\\ U_{21}&= 72\\ U_{22}&= 77\\ U_{23}&= 82\\ U_{24}&= 87\\ U_{25}&= 97\\ U_{26}&= 99\\ U_{27}&= 102\\ U_{28}&= 106\\ U_{29}&= 114\\ U_{30}&= 126\\ U_{31}&= 131\\ U_{32}&= 138\\ U_{33}&= 145\\ U_{34}&= 148\\ U_{35}&= 155\\ U_{36}&= 175\\ U_{37}&= 177\\ U_{38}&= 180\\ U_{39}&= 182\\ U_{40}&= 189\\ U_{41}&= 197\\ U_{42}&= 206\\ U_{43}&= 209\\ U_{44}&= 219\\ U_{45}&= 221\\ U_{46}&= 236\\ U_{47}&= 238\\ U_{48}&= 241\\ U_{49}&= 243\\ U_{50}&= 253\\ U_{51}&= 258\\ U_{52}&= 260\\ U_{53}&= 273\\ U_{54}&= 282\\ U_{55}&= 309\\ U_{56}&= 316\\ U_{57}&= 319\\ U_{58}&= 324\\ U_{59}&= 339\\ U_{60}&= 341\\ U_{61}&= 356\\ U_{62}&= 358\\ U_{63}&= 363\\ U_{64}&= 370\\ U_{65}&= 382\\ U_{66}&= 390\\ U_{67}&= 400\\ U_{68}&= 402\\ U_{69}&= 409\\ U_{70}&= 412\\ U_{71}&= 414\\ U_{72}&= 429\\ U_{73}&= 431\\ U_{74}&= 434\\ U_{75}&= 441\\ U_{76}&= 451\\ U_{77}&= 456\\ U_{78}&= 483\\ U_{79}&= 485\\ U_{80}&= 497\\ U_{81}&= 502\\ U_{82}&= 522\\ U_{83}&= 524\\ U_{84}&= 544\\ U_{85}&= 546\\ U_{86}&= 566\\ U_{87}&= 568\\ U_{88}&= 585\\ U_{89}&= 602\\ U_{90}&= 605\\ U_{91}&= 607\\ U_{92}&= 612\\ U_{93}&= 624\\ U_{94}&= 627\\ U_{95}&= 646\\ U_{96}&= 668\\ U_{97}&= 673\\ U_{98}&= 685\\ U_{99}&= 688\\ U_{100}&= 690\end{align}$

定理 Ulam数列は無限数列である。

証明. $U_1, \dots, U_n$ が決まっているとき、 $N:=U_{n-1}+U_n$ は

$\mathcal{U}_n:=\{m \in \mathbb{N} \mid m\text{を}\{U_1, \dotsm U_n\}\text{に属する相異なる二つの数のとして表す方法は丁度一通り}\}$

の元である。すなわち、 $\mathcal{U}_n$ は空集合ではない。このとき、 $\mathcal{U}_n$ の最小元が $U_{n+1}$ である。 Q.E.D.

Ulam数であって、かつ素数であるものをUlam素数という。

Ulam素数最初の100個

$\begin{align}U_{2}&= 2\\ U_{3}&= 3\\ U_{7}&=11\\ U_{8}&=13\\ U_{15}&=47\\ U_{17}&=53\\ U_{25}&=97\\ U_{31}&=131\\ U_{41}&=197\\ U_{48}&= 241\\ U_{69}&= 409\\ U_{73}&= 431\\ U_{91}&= 607\\ U_{97}&= 673\\ U_{106}&= 739\\ U_{107}&= 751\\ U_{123}&= 983\\ U_{125}&= 991\\ U_{138}&= 1103\\ U_{167}&= 1433\\ U_{172}&= 1489\\ U_{177}&= 1531\\ U_{181}&= 1553\\ U_{193}&= 1709\\ U_{194}&= 1721\\ U_{241}&= 2371\\ U_{242}&= 2393\\ U_{246}&= 2447\\ U_{267}&= 2633\\ U_{280}&= 2789\\ U_{286}&= 2833\\ U_{287}&= 2897\\ U_{297}&= 3041\\ U_{306}&= 3109\\ U_{312}&= 3217\\ U_{322}&= 3371\\ U_{323}&= 3373\\ U_{338}&= 3527\\ U_{340}&= 3547\\ U_{343}&= 3593\\ U_{353}&= 3671\\ U_{354}&= 3691\\ U_{382}&= 4057\\ U_{388}&= 4153\\ U_{393}&= 4211\\ U_{398}&= 4297\\ U_{403}&= 4363\\ U_{411}&= 4409\\ U_{412}&= 4451\\ U_{415}&= 4517\\ U_{416}&= 4519\\ U_{433}&= 4729\\ U_{444}&= 4903\\ U_{448}&= 4969\\ U_{460}&= 5059\\ U_{462}&= 5081\\ U_{492}&= 5531\\ U_{525}&= 6029\\ U_{560}&= 6481\\ U_{567}&= 6569\\ U_{582}&= 6833\\ U_{591}&= 6911\\ U_{601}&= 7043\\ U_{614}&= 7219\\ U_{619}&= 7297\\ U_{630}&= 7459\\ U_{641}&= 7537\\ U_{643}&= 7559\\ U_{646}&= 7583\\ U_{648}&= 7603\\ U_{651}&= 7691\\ U_{653}&= 7727\\ U_{677}&= 8011\\ U_{687}&= 8101\\ U_{693}&= 8167\\ U_{721}&= 8539\\ U_{725}&= 8573\\ U_{753}&= 8969\\ U_{754}&= 8971\\ U_{756}&= 9013\\ U_{767}&= 9137\\ U_{780}&= 9311\\ U_{784}&= 9377\\ U_{791}&= 9511\\ U_{796}&= 9619\\ U_{799}&= 9643\\ U_{805}&= 9721\\ U_{808}&= 9743\\ U_{815}&= 9851\\ U_{821}&= 9941\\ U_{842}&= 10247\\ U_{845}&= 10271\\ U_{852}&= 10369\\ U_{854}&= 10391\\ U_{858}&= 10457\\ U_{859}&= 10459\\ U_{860}&= 10501\\ U_{869}&= 10567\\ U_{874}&= 10657\\ U_{877}&= 10691\end{align}$