は「
なる整数
であって、
と互いに素なものが
を除いて全て素数である」という性質をもつ整数
のうち、最大の数でした:30:この数の持つ或る性質 - INTEGERS
少し緩めて「なる奇数
であって、
と互いに素なものが
を除いて全て素数である」という整数
に関する条件を考えると、最大の数は
となります。
以下の
と互いに素な正整数は
個あって、
以外の奇数は確かに素数です。
の他に
以上の奇数で同じ性質を満たすものとして、
があります。
補題
ならば
が成り立つ。ここで、
は
番目の素数を表す。
証明. に関する数学的帰納法で証明する。
のときは、
より確認できる。が成り立つと仮定する。Bertrandの仮説より、
が成り立つため、
を得る。 Q.E.D.
が最大であることの証明
として、
を割り切らない最小の素数を
とすると、
は必ず
をtotativeにもつことを
に関する記事で既に証明した。従って、
の場合を考えれば十分であり、それはすなわち
が奇数のときである。以下、
を奇数とし、
を割り切らない最小の奇素数を
とする。
のとき:
このとき、 or
となっていることが確認できる。すると、
であるから、
(奇数の合成数)が
のtotativeとなる。
かつ
のとき:
このとき、となって、
(奇数の合成数)が
のtotativeとなる。
かつ
のとき]:
なる番号
は
を満たす。よって、補題より、
なので(最後の不等号は、の定義によって、
が
の全てを素因子にもつことから分かる)、
(奇数の合成数)は
のtotativeとなる。 Q.E.D.