37でたくさん割れる関-ベルヌーイ数

最小の非正則素数 $37$ について短い記事を書こうと思います。

を参照して下さい。 $n$ 番目の関-Bernoulli数 $B_n$ を既約分数表示した際の分子を $N_n$ で表し、若干の数値例( $n=0, 1, 2, 4, 6, \dots, 100$ )を上記記事に掲載しました。

$N_n$ の素因数分解において、赤い素因数はAdamsの定理から分かる自明な素因数であり、色をつけていない非自明な素因数のことを非正則素数というのでした：非正則素数 - INTEGERS

さて、 $N_{100}$ までの数値例を眺めていると、赤い素因数については $5^2\mid N_{50}$ や $7^2\mid N_{98}$ のように、指数が $2$ 以上のものが現れます。ところが、非正則素数であるような素因数の部分には指数が $2$ 以上のものが見当たりません。

実は、そのようなものが存在しないわけではないのです。今回は最小の非正則素数 $37$ について数値例を見てみましょう。

$37$ が最初に現れるのは $n=32$ でした：

$N_{32}=-7709321041217=-\mathbf{37}\times 683\times 305065927$

素因数として $37^2$ が最初に現れるのは、 $n=284$ です：

$N_{284} = -\color{red}{71}\times \mathbf{37^2}\times 792213846555737\times C_{331}$

ここで、 $C_{331}$ は $331$ 桁の合成数で

$\begin{align}C_{331} = \ &172669909653678911169284461515820267610053379415405723857213\\ &874971138358705108405914842864443156762068966357218045544359\\ &785944736585252660878300347245173742458017409983038141773428\\ &417586549816689155680015140781813660366448321397144043116307\\ &199565861230409691967362479755655392967940129097243433172264\\ &6485436053654585994380714905727\end{align}$

です。誰か $C_{331}$ の素因数分解を教えてください。

理論的な考察や $37$ 以外の非正則素数についてはまたの機会ということで、この記事には $a_k$ を $k=1, \dots, 50$ について掲載します*1。ここで、 $a_k$ は「 $N_n$ が $37^k$ で割れるような最小の $n$ 」として定義します。

$a_{1}= 32$
$a_{2}= 284$
$a_{3}= 37580$
$a_{4}= 1072544$
$a_{5}= 55777784$
$a_{6}= 325656968$
$a_{7}= 42764158652$
$a_{8}= 2444284077476$
$a_{9}= 46872402575720$
$a_{10}= 4093248733492712$
$a_{11}= 167845040875289732$
$a_{12}= 4841789050865438960$
$a_{13}= 235423026877046134208$
$a_{14}= 7818983737604766777920$
$a_{15}= 95503904455394036720840$
$a_{16}= 6908622244227620311285724$
$a_{17}= 114945213060615779807957456$
$a_{18}= 5000599931090613659268556892$
$a_{19}= 5000599931090613659268556892$
$a_{20}= 613042537111369440657592250336$
$a_{21}= 293081214320825485226851288796900$
$a_{22}= 5287537686319635770191082106745916$
$a_{23}= 251680723638260943161759802458897372$
$a_{24}= 11647365573915546410021813118745902212$
$a_{25}= 475451738980201064911225983091626999200$
$a_{26}= 16076144299009804869042638973088536625160$
$a_{27}= 651024331492214679697191147665962758401732$
$a_{28}= 68994538298469903024836085174244424447807300$
$a_{29}= 1096282982614603280962705086011251926716684744$
$a_{30}= 88810911689607530166426904388248046351213143424$
$a_{31}= 1170624665742520295087152029115835177586669467144$
$a_{32}= 25186890005717183676327249798068269491013799853728$
$a_{33}= 1209989313444467243817505406399721695620085565591872$
$a_{34}= 12169411730252905300123403354965015887313999398669704$
$a_{35}= 2445161188261726153800032747936460326443362870341948408$
$a_{36}= 9946885832567102003341419893729404200657846889083724412$
$a_{37}= 2230457380546958353467592015048440790968145116436649421596$
$a_{38}= 22770179456655077429511910020229521118567402359751632120548$
$a_{39}= 1922694471496656091963611325499479451421498697366387531773608$
$a_{40}= 44101013754784678614620618349138827904146573446513704504071540$
$a_{41}= 5246093725360307456408984817931325137073572459174682797754149820$
$a_{42}= 370946181351228558735352788048559022671684212225864970053234652904$
$a_{43}= 6068168599101597104975740459430969468474039442275355760980720385160$
$a_{44}= 111466783327483415210422912380005562715817611198190935393139206431896$
$a_{45}= 6936027086990206137538127294237210475481313882393724716575401177958052$
$a_{46}= 692316869011975073822734724500753646714644725118173760169593996318370576$
$a_{47}= 36728920083909863643165440019727591531079078821146818782146729603964271180$
$a_{48}= 1666384198802069935612330001703874593635115154052664432553779417638617776272$
$a_{49}= 54654872503789517124185468628585381662048166933550191692461715001310836290324$
$a_{50}= 2015228939788325063101391597823201143193331082774958700309055331597182921310248$

*1:A251782 - OEIS