基準完全数 - INTEGERS

$\sigma$ を約数総和関数とするとき、 $\sigma (n)=2n$ が成り立つような正整数のことを完全数というのでした：
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$d$ を $n$ の正の約数とするとき、 $d$ が基準約数であるとは、 $d$ と $n/d$ が互いに素であることと定義します。

例） $36=3\times 12=4 \times 9$ なので、 $3$ や $12$ は $36$ の基準約数ではないが、 $4$ や $9$ は $36$ の基準約数である。

$\sigma$ の類似として、 $n$ の基準約数の総和を $\sigma^{\ast}(n)$ と定義します。

例） $36$ の基準約数は $1, 4, 9, 36$ なので、 $\sigma^{\ast}(36)=1+4+9+36=50$ が成り立つ。

$\sigma^{\ast}(1)=1$ であり、 $n > 1$ については $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ と素因数分解することによって

$\sigma^{\ast}(n)=(1+p_1^{e_1})\cdots (1+p_k^{e_k})$

が成り立つことが分かります(約数の素因数 $p_i$ の指数が $e_i$ より小さいとそれは基準約数ではない)。よって、 $\sigma^{\ast}$ は乗法的関数です*1。

この基準約数という概念を用いて、基準完全数が定義されます：

定義正の整数 $n$ が基準完全数であるとは、 $\sigma^{\ast}(n)=2n$ が成り立つときにいう。

知られている基準完全数は全部で五個です。

一つ目
$6=2\times 3, \quad \sigma^{\ast}(6)=(1+2)(1+3)=12$

二つ目
$60=2^2\times 3\times 5, \quad \sigma^{\ast}(60)=(1+4)(1+3)(1+5)=120$

三つ目
$90=2\times 3^2\times 5, \quad \sigma^{\ast}(90)=(1+2)(1+9)(1+5)=180$

四つ目
$87360=2^6\times 3\times 5\times 7\times 13$

$\begin{align} \sigma^{\ast}(87360)&=(1+64)(1+3)(1+5)(1+7)(1+13)\\ &=(5\times 13) \times 2^2\times (2\times 3)\times 2^3\times (2\times 7)=2^7\times 3\times 5 \times 7 \times 13\end{align}$

五つ目
$\begin{align}&146361946186458562560000\\ &= 2^{18} \times 3 \times 5^4 \times 7 \times 11 \times 13 \times 19 \times 37 \times 79 \times 109 \times 157 \times 313\end{align}$

$\begin{align}&\sigma^{\ast}(146361946186458562560000)\\ &= (1+2^{18})(1+3)(1+5^4)(1+7)(1+11)(1+13)(1+19)(1+37)(1+79)(1+109)\\ &\quad \quad \times (1+157)(1+313)\\ &= 262145 \times 4 \times 626 \times 8 \times 12 \times 14 \times 20 \times 38 \times 80\times 110 \times 158 \times 314 \\ &= (5\times 13\times 37\times 109)\times 2^2 \times (2 \times 313) \times 2^3 \times (2^2\times 3) \times (2\times 7) \times (2^2\times 5) \\ &\quad \quad \times (2\times 19)\times (2^4\times 5) \times (2 \times 5 \times 11) \times (2 \times 79) \times (2\times 157)\\ &=2^{19}\times 3 \times 5^4 \times 7 \times 11 \times 13 \times 19 \times 37 \times 79 \times 109 \times 157 \times 313\end{align}$