もしも60が奇数だったら | 今週のお題「私のタラレバ」

「は偶数である」という数学の定理を証明してみたいと思います。

は次交代群の位数である。

は次交代群の位数です。は非可換単純群なので、可解群ではありません。

Feit–Thompsonの定理

Feit–Thompsonの定理 任意の奇数位数の有限群は可解群である。

これは大定理で、Thompsonはコール賞、フィールズ賞、アーベル賞を受賞しています*1。

もしもが奇数だったら

もしもが奇数だったら、Feit–Thompsonの定理によっては可解群となってしまいます。
これは「は次交代群の位数である。」の節で述べた事実に矛盾します。従って、次の定理が証明されました：

定理 は偶数である。

今週のお題「私のタラレバ」

はてなブログを始めて一年以上経ちますが、はてなブログには「今週のお題」というイベントがあることをさっき知りました。今週のお題は「私のタラレバ」ということでしたので、「もしもが奇数だったら」というお話を書いてみましたが、すぐに矛盾してしまいました。

*1:学部三年生の群論の試験監督TAをしていたら、この問題が出題されていました。解けた人はいなかったようです。