立方数からなる非自明な長さ3の等差数列は存在しない。

次の古典的Diophantus方程式を紹介します。

定理 (Euler, Legendre) 方程式

$x^3+y^3=2z^3$

が整数解を持てば、 $x=y$ または $z=0$ が成り立つ。

これはFermatの最終定理の指数が $3$ の場合の方程式

$x^3+y^3=z^3$

の $z^3$ に係数 $2$ をつけたものになっています。Fermatの最終定理の形の方が綺麗に感じるかもしれませんが、 $x^3+y^3=2z^3$ は $x \leq y$ であれば $x^3, z^3, y^3$ が等差数列をなすことと同じことなので、Euler-Legendreの定理はタイトルに書いたような興味深い結果と考えられます( $x=y$ の場合は $x^3=y^3=z^3$ と潰れている場合で(長さ $3$ ではない)、 $z=0$ の場合は $(-y)^3, 0^3, y^3$ という等差数列に対応し、自明な等差数列とみなします)。

さて、定理の証明については現代的には曲線 $x^3+y^3=2$ が楕円曲線 $E\colon y^2=x^3-27$ と同型であり、この楕円曲線のMordell-Weil群を計算すると $E(\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ となるというのが筋がよいのだと思われます。

また、Eulerは $x^3+y^3=z^3$ のときにとった手法で証明したらしく(記事

integers.hatenablog.com

の付録3参照)、大塚美紀生氏による解説記事があります。一方、私の書いた最終定理の記事の付録2のような初等的証明も知られており、Wakuliczによって1957年に与えられたものをこの記事では紹介したいと思います。証明は同じく初等的に証明された

integers.hatenablog.com

に帰着します。正の整数のことを自然数と呼ぶことにします。

なお、 $x^n+y^n=2z^n$ と一般化( $n \geq 3$ )しても非自明解を持たないことはDarmon-Merelによって1997年にWilesによる手法で証明されています。

Euler-Legendreの定理の証明

整数解 $(x, y, z)$ であって、 $x \neq y, \ z \neq 0$ なるものが存在したと仮定して矛盾すればよい。 $(x, y)=1$ と仮定してよい。理由: $(x, y)=d > 1$ として、整数 $x_1, y_1$ を用いて $x=dx_1, \ y=dy_1$ と書く。このとき、 $d^3 \mid 2z^3$ であり、これは $d \mid z$ を意味する。よって、整数 $z_1$ を用いて $z=dz_1$ と書くと、 $x_1^3+y_1^3=2z_1^3$ となり、 $(x_1, y_1)=1, \ x_1 \neq y_1, \ z_1 \neq 0$ という状況になる。 $x, y$ はともに奇数なので、 $x+y, \ x-y$ は偶数である。よって、 $u:=\frac{x+y}{2}, \ v:=\frac{x-y}{2} \in \mathbb{Z}$ であり、 $x=u+v$ , $y=u-v$ であることから $(u, v)=1$ がわかる。

$(u+v)^3+(u-v)^3=2z^3$

を整理すると

$u(u^2+3v^2)=z^3$

を得る。 $z\neq 0$ より $x \neq -y$ に注意すると、仮定より

$\displaystyle uvz=\frac{1}{4}(x+y)(x-y)z \neq 0$

である。

$(u, 3)=1$ の場合: $(u, v)=1$ から $(u, u^2+3v^2)=1$ なので、素因数分解の一意性より整数 $z_1, z_2 \neq 0$ が存在して

$u=z_1^3,\quad u^2+3v^2=z_2^3$

と書ける。このとき、 $z_2^3-z_1^6=3v^2 > 0$ なので、

$(z_2-z_1^2)\{(z_2-z_1^2)^2+3z_2z_1^2\}=3v^2$

が成り立つ。 $t:=z_2-z_1^2 > 0$ とおくと、 $(z_1, z_2)=1$ より $(t, z_1) = 1$ である。

$t(t^2+3tz_1^2+3z_1^4)=3v^2$

より、 $3 \mid t$ であり、自然数 $t_1$ を用いて $t=3t_1$ と書くと

$t_1(9t_1^2+9t_1z_1^2+3z_1^4) = v^2$

を得る。これより $3 \mid v$ であり、整数 $v_1$ を用いて $v=3v_1$ と書く。今、 $(z_1, 3)=1$ なので、 $9t_1^2+9t_1z_1^2+3z_1^4$ は $9$ では割り切れない。よって、 $3 \mid t_1$ である。整数 $t_2$ を用いて $t_1=3t_2$ と書けば