次の古典的Diophantus方程式を紹介します。
これはFermatの最終定理の指数がの場合の方程式
のに係数
をつけたものになっています。Fermatの最終定理の形の方が綺麗に感じるかもしれませんが、
は
であれば
が等差数列をなすことと同じことなので、Euler-Legendreの定理はタイトルに書いたような興味深い結果と考えられます(
の場合は
と潰れている場合で(長さ
ではない)、
の場合は
という等差数列に対応し、自明な等差数列とみなします)。
さて、定理の証明については現代的には曲線が楕円曲線
と同型であり、この楕円曲線のMordell-Weil群を計算すると
となるというのが筋がよいのだと思われます。
また、Eulerはのときにとった手法で証明したらしく(記事
の付録3参照)、大塚美紀生氏による解説記事があります。一方、私の書いた最終定理の記事の付録2のような初等的証明も知られており、Wakuliczによって1957年に与えられたものをこの記事では紹介したいと思います。証明は同じく初等的に証明された
に帰着します。正の整数のことを自然数と呼ぶことにします。
なお、と一般化(
)しても非自明解を持たないことはDarmon-Merelによって1997年にWilesによる手法で証明されています。
Euler-Legendreの定理の証明
整数解であって、
なるものが存在したと仮定して矛盾すればよい。
と仮定してよい。理由:
として、整数
を用いて
と書く。このとき、
であり、これは
を意味する。よって、整数
を用いて
と書くと、
となり、
という状況になる。
はともに奇数なので、
は偶数である。よって、
であり、
,
であることから
がわかる。
を整理すると
を得る。より
に注意すると、仮定より
である。
の場合:
から
なので、素因数分解の一意性より整数
が存在して
と書ける。このとき、なので、
が成り立つ。とおくと、
より
である。
より、であり、自然数
を用いて
と書くと
を得る。これよりであり、整数
を用いて
と書く。今、
なので、
は
では割り切れない。よって、
である。整数
を用いて
と書けば
となる。だったので、
であり、
である。よって、
に注意して、自然数
が存在して
が成り立つ。であったので、方程式
が自然数解
を持つことになり、これは矛盾である。
のとき:
より
であり、整数
を用いて
と書く。
より
なので、整数
を用いて
と書くと、
が得られる。より
であり、整数
を用いて
と書くと
を得る。より
なので、
であり、
なる整数
が存在して
と書ける。より
であり、
より、とおくと、
で
より
であり、
なので、
である。
に注意すると、自然数
が存在して
が成り立つ。すなわち、
であり、これは方程式が自然数解
を持つことになって矛盾する。
以上で定理の証明が完了する。 Q.E.D.