素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら、合成数番目の合成数でない自然数は無数に存在するであろう。

#85は素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら合成数番目の合成数でない最小の自然数 #みらいけん数学デー pic.twitter.com/WtPKtNVdwX
— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月11日

だぶん【駄文】くだらない文章。

$85$ は $61$ 番目の合成数であり、 $85=5\times 17$ であるが $5$ と $17$ はそれぞれ $3$ 番目の素数と $7$ 番目の素数であり、ともに超素数だ*1。 $85$ はこのような性質を持つ最小の正整数だという。みらいけん数学デーという数学好きの人々が集まる場所での発見らしい。面白いことを考える人達がいるものだ。他にこんな数があるかを調べてみると、 $471$ が $379$ 番目の合成数 − $379$ は当然素数であるが− であり、 $471=3\times 157$ に対して $3$ は $2$ 番目の素数、 $157$ は $37$ 番目の素数である。せっかくなので用語を導入しよう。二つの素数の積を半素数*2と呼ぶのにならって二つの超素数の積は半超素数とするのがよかろう。素数番目の素数を素数の中の素数として超素数と呼ぶのであれば、合成数番目の合成数を合成数の中の合成数として超合成数と呼ぶとして、考察対象にある合成数番目ではない合成数は頻度こそ珍しかれど、合成数の世界では平凡なものとして凡合成数とでも呼ばしてもらおう*3。お前、合成数なのに素数番目なのかよ。そうすれば、半超素数が合成数としては凡合成数なのであれば、それは凡半超素数とでも呼べばよいか。 $85$ は最小の凡半超素数であり、 $471$ は $2$ 番目の凡半超素数といった具合である。それでは、凡半超素数はどれぐらい存在するのであろうか。無数に存在するのか、それとも有限個しかないのか。皆が思う当然の疑問である。しかし、午前4時を過ぎて頭の働かない今、とてもそんなことを証明できそうにもない。例えば、 $x$ 以下の半超素数の個数を $\pi_{\text{半超}}(x)$ 、 $x$ 以下の超素数の個数を $\pi_{\pi}(x)$ とでも書くのであれば、 $\pi_{\text{半超}}(x) = \sum_{q \leq \sqrt{x}}(\pi_{\pi}(x/q)-\pi_{\pi}(q)+1)$ が成り立つが −勿論 $q$ は超素数を表す記号として用いている− 超素数定理 $\pi_{\pi}(x) \sim x/\log^2x$ を使って計算をすると、素数のときとは違って超素数の逆和は有界なのであるから、 $\pi_{\text{半超}}(x) \asymp x/\log^2 x$ ということになる。一方、 $x$ 以下の凡合成数の個数は $\pi(x-\pi(x)-1)$ であり、素数定理より $x/\log x$ に漸近する(エリートの方が圧倒的に多いということになる。何がおかしいかというと命名がおかしい。追記：やっぱり合成数番目の合成数は平凡だ。素数番目の合成数の方が超合成数に相応しいかもしれない。すると超半超素数のできあがり。さっき裏切り合成数を提案したが、劣合成数もよいなあ)。 $x$ 以下の数が目の前にあったときにそれが凡合成数である確率は $1/\log x$ であると考えることにすれば、確率論的に賢い議論をする気力もなく、陳腐な評価であるが $x$ 以下の凡半超素数の個数は $\gg x/\log^3x$ であると期待してよいだろう。おかしなことばかり言っている気がするが、凡半超素数は無数に存在すると予想してよいのではなかろうか。