相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するランダウの定理

以前、Ramanujanの不等式

integers.hatenablog.com

を紹介した際に証明を割愛したLandauの定理

定理 (Landau) $x > 0$ 、 $r$ は正の整数とし、 $\pi_r(x)$ を相異なる $r$ 個の素数の積として表せる $x$ 以下の数の個数とすると、

$\displaystyle \pi_r (x) \sim \frac{x}{\log x}\frac{(\log \log x)^{r-1}}{(r-1)!}$

が成り立つ。

の証明を紹介します。

記号

幾つかの補助的関数を導入して証明する。 $x$ は実数。 $r$ は正の整数。和の $p$ は素数。Landauの記号は $x \to \infty$ で考える。範囲が空集合であるような和は $0$ と定義する。

$\pi_r(x)$ 相異なる $r$ 個の素数の積として表される $x$ 以下の正の整数の個数。
$\sigma_r(x)$ $r$ 個の素数(等しいものがあってもよい)の積として表される $x$ 以下の正の整数の個数。
$a_r(n)$ 正整数 $n$ を $n=p_1\cdots p_r$ と表す表し方の総数。 $p_1, \dots, p_r$ は素数で、等しいものがあってもよいし大小の順番も問わない。
$\displaystyle \rho_r(x) := \sum_{n \leq x}a_r(n) = \sum_{p_1\cdots p_r\leq x}1.$
$\displaystyle \Omega_r(x):= \sum_{n \leq x}\frac{a_r(n)}{n} = \sum_{p_1 \cdots p_r \leq x}\frac{1}{p_1\cdots p_r}, \quad \Omega_0(x):=1.$
$\displaystyle \vartheta_r(x):= \sum_{n \leq x}\log (a_r(n)) = \sum_{p_1\cdots p_r \leq x}\log (p_1\cdots p_r).$
$\phi_r(x):=\vartheta_r(x)-rx\Omega_{r-1}(x).$

証明

補題１ $\ \ \ \displaystyle r\phi_{r+1}(x) = (r+1)\sum_{p \leq x}\phi_r\left(\frac{x}{p}\right).$

証明. まず、

$\begin{align}\Omega_r(x) &= \frac{1}{r}\sum_{p_1\cdots p_r \leq x}\left(\frac{1}{p_1}\frac{1}{p_2\cdots p_r}+\frac{1}{p_2}\frac{1}{p_1p_3\cdots p_r}+\cdots + \frac{1}{p_r}\frac{1}{p_1\cdots p_{r-1}}\right) \\ &=\sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\Omega_{r-1}\left(\frac{x}{p}\right)\end{align}$

であり、対数法則を用いれば

$\begin{align}r\vartheta_{r+1}(x) &= \sum_{p_1\cdots p_{r+1}\leq x}\left( \log (p_2p_3\cdots p_{r+1})+\log(p_1p_3\cdots p_{r+1})+\cdots +\log(p_1p_2\cdots p_{r+1})\right) \\ &= (r+1)\sum_{p\leq x}\vartheta_r\left(\frac{x}{p}\right) \end{align}$

も同様にわかる。よって、

$\begin{align}r\phi_{r+1}(x) &= r\vartheta_{r+1}(x)-r(r+1)x\Omega_r(x) \\ &= (r+1)\left(\sum_{p \leq x}\vartheta_r\left(\frac{x}{p}\right)-r\sum_{p\leq x}\frac{x}{p}\Omega_{r-1}\left(\frac{x}{p}\right)\right)\\ &= (r+1)\sum_{p \leq x}\phi_r\left(\frac{x}{p}\right) \end{align}$

を得る。 Q.E.D.

命題 $\ \ \ \displaystyle \phi_r(x) = o\left( x(\log \log x)^{r-1}\right).$

証明. $r$ に関する帰納法で証明する。 $r=1$ のときは

$\phi_1(x) = \vartheta_1(x)-x\Omega_0(x) = \vartheta(x)-x=o(x).$

最後の等号は素数定理に他ならない。

$r$ のときに成立すると仮定すると、

$\displaystyle \left|\phi_r(x)\right| = f_r(x)x(\log \log x)^{r-1}$

と関数 $f_r(x)$ を $x \geq e$ に対して導入すれば $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_r(x) = 0$ ということになる。つまり、 $\varepsilon > 0$ を任意にとると、 $x_r(\varepsilon)$ が存在して

$\displaystyle f_r(x) < \varepsilon, \quad (x \geq x_r(\varepsilon))$

が成り立つ。ここで、帰納法で示す主張を少し強く変更する。すなわち、 $x \geq e$ ならば常に

$\displaystyle f_r(x) < C_r$

となるような定数 $C_r > 0$ の存在を帰納法の仮定に加える。 $C_1$ の存在はChebyshevの定理の証明チェビシェフの定理 - INTEGERSを見ればわかる(この場合は $x \geq 1$ で存在)。帰納法の仮定のもと、 $r+1$ の場合にも強い主張が成立することを確かめよう。Mertensの第二定理より或る定数 $B > 0$ が存在して、 $x\geq 2$ で

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} < \log \log x+B$

が成り立ち、

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x+O(1)$

なる漸近公式が成立する。 $x \geq e$ のとき、補題１より

$\begin{align}\left|\phi_{r+1}(x)\right| &\leq \left(1+\frac{1}{r}\right)\sum_{p \leq \frac{x}{e}}f_r\left(\frac{x}{p}\right)\frac{x}{p}\left(\log \log \frac{x}{p}\right)^{r-1}+O(x) \\ &\leq O\left(x(\log \log x)^{r-1}\sum_{p \leq \frac{x}{e}}\frac{1}{p}f_r\left(\frac{x}{p}\right)\right) –①\\ &\leq O\left(x(\log \log x)^{r-1}\sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\right)\\ &\leq O\left(x(\log \log x)^{r-1}\left(\log \log x+B\right)\right)\end{align}$

なので、 $C_{r+1}$ の存在がわかる(上記変形における $O$ の評価は $x\geq e$ で成立)。また、 $x \geq x_r(\varepsilon)$ かつ必要に応じて更に大きく取るとき

$\begin{align}\sum_{p \leq \frac{x}{e}}\frac{1}{p}f_r\left( \frac{x}{p}\right) &\leq \varepsilon\sum_{p \leq x/x_r(\varepsilon)}\frac{1}{p}+C_r\sum_{x/x_r(\varepsilon) \leq p\leq \frac{x}{e}}\frac{1}{p} \\ &\leq \varepsilon \log \log \frac{x}{x_r(\varepsilon)} + C_r\log \left(\frac{\log x-1}{\log x-\log x_r(\varepsilon)} \right)+ O(1)\\ &\leq 2\varepsilon \log \log x\end{align}$

となって、①より $r+1$ の場合も主張が成立することが示された。 Q.E.D.

補題２ $\ \ \ \displaystyle \Omega_r(x) \sim (\log \log x)^r.$

証明. これは、

$\displaystyle \left( \sum_{p \leq x^{1/r}}\frac{1}{p}\right)^r \leq \Omega_r(x) \leq \left(\sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\right)^r$

と

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\sim\sum_{p \leq x^{1/r}}\frac{1}{p}\sim (\log \log x)^k$

よりわかる。 Q.E.D.

系１ $\ \ \ \displaystyle \vartheta_r(x) \sim rx(\log \log x)^{r-1}.$

証明. $\vartheta_r(x) = rx\Omega_{r-1}(x)+\phi_r(x)$ なので、命題と補題２から従う。 Q.E.D.

Landauの定理の $r=1$ の場合は素数定理なので、以下 $r \geq 2$ とする。

系２ $\ \ \ \displaystyle \rho_r(x) \sim \frac{rx(\log \log x)^{r-1}}{\log x}.$

証明. まず、

$\displaystyle \vartheta_r(x) = \sum_{n \leq x}a_r(n) \log n \leq \rho_r(x) \log x$

と上から評価でき、 $\ell(x):= \frac{x}{\log x}$ とすれば

$\displaystyle \vartheta_r(x) \geq \sum_{\ell(x) < n \leq x}a_r(n)\log n \geq \left(\rho_r(x)-\rho_r(\ell(x))\right)\log(\ell(x))$

と下から評価できる。 $a_r(n) \leq r!$ なので系１より

$\displaystyle \rho_r(\ell(x)) = O(\ell(x))=O\left(\frac{x}{\log x}\right) = o\left(\frac{\vartheta_r(x)}{\log x}\right) = o\left(\rho_r(x)\right).$

これと $\log \ell (x) \sim \log x$ より、系１から

$\displaystyle \rho_r(x) \sim \frac{\vartheta_r(x)}{\log x}\sim \frac{rx(\log \log x)^{r-1}}{\log x}$

が成り立つ。 Q.E.D.

$n$ が相異なる $r$ 個の素数の積であれば $a_r(n)= r!$ であり、等しいものを含む $r$ 個の素数の積の場合は $a_r(n) < r!$ なので

$r!\pi_r(x) \leq \rho_r(x) \leq r!\sigma_r(x).$

$\sigma_r(x)-\pi_r(x)$ は $n \leq x$ で $n=p_1\cdots p_r$ と書け、少なくとも２つの $p_i$ は等しいものの個数なので、

$\displaystyle \sigma_r(x)-\pi_r(x) \leq \sum_{p_1p_2\cdots p_{r-2}p_{r-1}^2 \leq x}1 \leq \sum_{p_1\cdots p_{r-1}\leq x}1 = \rho_{r-1}(x)$

である。つまり、

$\displaystyle \pi_r (x) \leq \frac{1}{r!}\rho_r(x) \leq \sigma_r(x) \leq \pi_r(x)+\rho_{r-1}(x)$

であり、系２からLandauの定理が導かれる。