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数、特に整数に関する記事。

314:半素数

314は100番目の半素数です。

定義 ちょうど二つの素数の積として表される自然数のことを半素数という(二つの素数は等しくてもよい)。

「~素数」という名称でありながら素数でないものの一例でもあります。

半素数最初の100個

\begin{align}&4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, \\
&82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, \\
&143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 169, 177, 178, 183, 185, 187, 194, 201, 202, 203, 205, \\
&206, 209, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 221, 226, 235, 237, 247, 249, 253, 254, 259, 262, 265, \\
&267, 274, 278, 287, 289, 291, 295, 298, 299, 301, 302, 303, 305, 309, 314\end{align}

x以下の半素数の個数を\pi_{\text{半}}(x)とすると漸近公式は次のようになります:

半素数の個数に関する漸近公式 x \to \inftyにおいて、漸近公式
\displaystyle \pi_{\text{半}}(x) \sim \frac{x\log \log x}{\log x}
が成り立つ。

これは素数定理を用いれば簡単に証明できます。和に現れるpは素数を表します。

補題 x > 0とする。このとき、
\displaystyle \pi_{\text{半}}(x) = \sum_{p \leq \sqrt{x}}\left( \pi\left( \frac{x}{p} \right) - \pi (p)+1 \right).

証明. 例えば25以下の半素数の個数を調べたければ、\sqrt{25}=5以下の素数2, 3, 5毎に分けて

\displaystyle 2\times 2, \ 2\times 3, 2\times 5, 2\times 7, 2\times 11

\displaystyle 3\times 3, 3\times 5, 3\times 7

\displaystyle 5\times 5

9個とカウントすることができる。この例を見れば証明は分かったも同然である。 Q.E.D.

漸近公式の証明

素数定理より

\displaystyle \pi (x) = \frac{x}{\log x} + o\left( \frac{x}{\log x} \right)

が成り立つので、

\displaystyle \sum_{p \leq \sqrt{x}}\pi\left( \frac{x}{p} \right) = \sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{\frac{x}{p}}{\log \frac{x}{p}} + o\left( \sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{\frac{x}{p}}{\log \frac{x}{p}} \right) ―①

を得る。

\displaystyle \frac{1}{\log x-\log p} = \frac{1}{\log x}+\frac{\log p}{\log^2 x}+\frac{\log^2 p}{\log^3 x}+\cdots = \frac{1}{\log x}+o\left( \frac{1}{\log^2x} \right)

より

\displaystyle \sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{\frac{x}{p}}{\log \frac{x}{p}} = \sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{x}{p} \left( \frac{1}{\log x}+o\left( \frac{1}{\log^2x} \right) \right) = \frac{x}{\log x}\sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{1}{p} + o\left( \frac{x}{\log^2x}\sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{1}{p} \right) ―②

であり、Mertensの第二定理より

\begin{equation}\begin{split}\frac{x}{\log x}\sum_{p \leq \sqrt{x}}\frac{1}{p} = \frac{x\log \log x}{\log x} + o\left( \frac{x\log \log x}{\log x} \right) \end{split}\end{equation} ―③

を得る。①、②、③、補題を組み合わせることにより、所望の漸近公式が示された*1Q.E.D.

*1:残りの項の寄与は\pi(\sqrt{x})^2 = O\left(\frac{x}{\log^2x}\right)で無視できる。