ディクソンの恒等式

Dixonの恒等式 (1891/1903) 非負整数 $a, b, c$ に対し、

$\displaystyle \sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}$

が成り立つ。

$a=b=c=n$ とおくと、

mathtrain.jp

で紹介されている

$\displaystyle \sum_{k=-n}^n(-1)^k\binom{2n}{n+k}^3 = \frac{(3n)!}{(n!)^3}$

となります。

正整数 $j$ に対して、多項式 $\binom{x}{j}$ を

$\displaystyle \binom{x}{j} := \frac{x(x-1)\cdots (x-j+1)}{j!}$

で定義します。 $\binom{x}{j}$ は $x=0, 1, \dots, j-1$ を根に持つ $j$ 次の多項式です。

証明*1. $m, r$ を非負整数とする。多項式 $P(x)$ を

$\displaystyle P(x) := (-1)^r\binom{x}{r}\binom{x+m+r}{m+r}$

と定義する。このとき、 $P(x)$ は $m+2r$ 個の整数 $x=-m-r, -m-r-1, \dots, r-1$ を根に持つ $m+2r$ 次の多項式である。

理由: $\binom{x}{r}$ は $x=0, 1, \dots, r-1$ を根に持つ $r$ 次の多項式であり、 $\binom{x+m+r}{m+r}$ は $x=-m-r, -m-r+1, \dots, -1$ を根に持つ $m+r$ 次の多項式であることからわかる。

次に、多項式 $Q(x)$ を

$\displaystyle Q(x) := \sum_{k=0}^{2r}(-1)^k\binom{m+2r}{m+k}\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k}$

と定義する。このとき、 $Q(x)$ も $m+2r$ 個の整数 $x=-m-r, -m-r-1, \dots, r-1$ を根に持つ $m+2r$ 次の多項式である。

理由: 各 $k$ 毎に $\binom{x}{k}$ は $k$ 次、 $\binom{x+m}{m+2r-k}$ は $m+2r-k$ 次、よって $\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k}$ は $m+2r$ 次である。よって、 $Q(x)$ も $m+2r$ 次。根については三通りに場合分けして確認しよう。

・ $x=0, 1, \dots, r-1$ の場合: このような非負整数 $x$ を固定して、各 $k$ に対して $k$ に関する項

$\displaystyle (-1)^k\binom{m+2r}{m+k}\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k}$

が消えていることを確認する。

・ $x < k$ の場合:
$\ \binom{x}{k}=0$ である。

・ $x\geq k$ の場合:
$x+k \leq 2x < 2r$ なので $x < 2r-k$ であり、 $x+m < m+2r-k$ である。これは、 $\binom{x+m}{m+2r-k}=0$ を意味している。

・ $x=-m, -m+1, \dots, -1$ の場合:
同様に $x, k$ を固定するとき、 $0 \leq x+m < m \leq m+2r-k$ なので $\binom{x+m}{m+2r-k}=0$ であり、 $Q(x)=0$ 。

・ $x=-m-r, -m-r+1, \dots, -m-1$ の場合:
$x=-y-1$ とおくと、 $y=m, m+1, \dots, m+r-1$ である。

$\begin{align} \binom{x}{k} &= \binom{-y-1}{k} \\ &= \frac{(-y-1)(-y-2)\cdots (-y-k)}{k!}\\ &= (-1)^k\frac{(y+k)(y+k-1)\cdots (y+1)}{k!} \\ &=(-1)^k\binom{y+k}{k}\end{align}$

および

$\begin{align} \binom{x+m}{m+2r-k} &= \binom{-y+m-1}{m+2r-k} \\ &= \frac{(-y+m-1)(-y+m-2) \cdots (-y-2r+k)}{(m+2r-k)!} \\ &= (-1)^{m+2r-k}\frac{(y+2r-k)(y+2r-k-1)\cdots (y-m+1)}{(m+2r-k)!} \\ &= (-1)^{m-k}\binom{y+2r-k}{m+2r-k}\end{align}$

より

$\displaystyle Q(x) = \sum_{k=0}^{2r}(-1)^{m-k}\binom{m+2r}{m+k}\binom{y+k}{k}\binom{y+2r-k}{m+2r-k}$

と書き換えられる。以下、整数 $m \leq y < m+r$ を固定する。整数 $k$ が $-m \leq k < 0$ を満たしているとすると、 $0 \leq y+k \leq y-1$ であることから

$\displaystyle \binom{y+k}{k} = \binom{y+k}{y} = \frac{(y+k)(y+k-1)\cdots (k+1)}{y!} = 0$

となる。これより、

$\begin{align} Q(x) &= \sum_{k=-m}^{2r}(-1)^{k-m}\binom{m+2r}{m+k}\binom{y+k}{y}\binom{y+2r-k}{y-m}\\ &= \sum_{l=0}^{m+2r}(-1)^l\binom{m+2r}{l}\binom{y-m+l}{y}\binom{y+m+2r-l}{y-m}\end{align}$

と変形できる。ここで、 $\binom{y-m+l}{y}\binom{y+m+2r-l}{y-m}$ を $l$ に関する多項式だと思えば、それは $y+(y-m)=2y-m$ 次である。 $2y-m < m+2r$ なので

$\displaystyle \binom{y-m+l}{y}\binom{y+m+2r-l}{y-m} = \sum_{i=0}^{m+2r-1}a_il^i$

と書ける*2。よって、

$\displaystyle Q(x) = \sum_{i=0}^{m+2r-1}a_i\left\{\sum_{l=0}^{m+2r}(-1)^l\binom{m+2r}{l}l^i\right\}$

を得る。

$\displaystyle \sum_{l=0}^{m+2r}(-1)^l\binom{m+2r}{l}l^i=0$

なので*3、結局 $Q(x)=0$ が示された。

また、 $x=r$ のときを考えると、 $k > r$ ならば $\binom{r}{k}=0$ であるし、 $0 \leq k < r$ ならば $r+m < m+2r-k$ なので $\binom{r+m}{m+2r-k}=0$ である。すなわち、

$\displaystyle Q(r) = (-1)^r\binom{m+2r}{m+r} = P(r)$

が成り立つ。以上によって、 $P(x)$ と $Q(x)$ は次数より一つ多い $m+2r+1$ 個の相異なる数で値を共有していることが判明し、 $P(x) \equiv Q(x)$ であることが示された：

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2r}(-1)^k\binom{m+2r}{m+k}\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k} = (-1)^r\binom{x}{r}\binom{x+m+r}{m+r}$ −(⭐︎)

$a, b, c$ が与えられたときに

$x=c+a$
$x+m=b+c$
$m+2r=a+b$

となるように $x, m, r$ を選ぶ( $m=b-a \equiv a+b \pmod{2}$ であることに注意)。このとき、(⭐︎)の左辺は

$\begin{align} &\sum_{k=0}^{2a}(-1)^k\binom{a+b}{b-a+k}\binom{c+a}{k}\binom{b+c}{a+b-k} \\ &= \sum_{k=-a}^a(-1)^{a+k}\binom{a+b}{b+k}\binom{c+a}{a+k}\binom{b+c}{b-k} \\ &= (-1)^a\sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a-k}\binom{b+c}{b-k}\binom{c+a}{c-k} \\ &=(-1)^a\sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}\end{align}$