2016-07-02

128より大きい任意の整数は相異なる平方数の和として表すことができる。

整数整数-128 整数-57

$128$ と言えば $2^7$ ですが、「相異なる平方数の和として表すことができない最大の整数」という特徴を持っています。

すなわち、相異なる平方数の和として表すことができない自然数は有限個しか存在せず、それは次の $31$ 個の整数です：

$\begin{equation}\begin{split}&2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67,\\ &72, 76, 92, 96, 108, 112, 128\end{split}\end{equation}$

Lagrangeの四平方の定理は「全ての自然数は四つ以下の平方数の和として表すことができる」というものでしたが、「相異なる」という条件はなかったことに注意してください：ラグランジュの四平方の定理とヤコビの四平方の定理 - INTEGERS

$129$ 以上の整数が必ず相異なる平方数の和として表すことができることの証明には次の補題を使います：

補題 (Sierpinski 1955) 自然数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が次の二条件を満たすと仮定する：

非負整数 $r$ が存在して、 $n \geq r+1$ に対して $a_{n+1}\leq 2a_n$ が成り立つ。
非負整数 $l$ が存在して、 $l\leq N < l+a_{r+1}$ なる任意の整数 $N$ が $N=\sum_{n=1}^r\epsilon_na_n \ (\epsilon_n \in \{0, 1\})$ と書ける。

このとき、 $l$ 以上の任意の整数は数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ の有限個の相異なる項の和として表される(ただし、 $l=0$ のときは $0$ 個の和 $=0$ も含める)。

証明は最後に紹介します。まずは応用しましょう。

応用１ (Sprague, 1948) $129$ 以上の任意の整数は相異なる平方数の和として表すことができる。

証明. $a_n=n^2$ とする。 $n \geq 3$ で $(n+1)^2 \leq 2n^2$ が成り立つ。 $l=129, r=10$ として補題を適用する。条件2. を満たすことは次のように確かめられる(表示法は一意ではないですが、適当に手計算で見つけているため、使う平方数の個数を最小にするなどはしていないです)：

$\begin{equation}\begin{split} 129 &= 2^2+5^2+10^2\\ 130 &= 1^2+2^2+5^2+10^2\\ 131 &= 3^2+4^2+5^2+9^2\\ 132 &= 1^2+3^2+4^2+5^2+9^2\\ 133 &= 4^2+6^2+9^2\\ 134 &= 1^2+4^2+6^2+9^2\\ 135 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+9^2\\ 136 &= 6^2+10^2\\ 137 &= 1^2+6^2+10^2\\ 138 &= 2^2+3^2+5^2+10^2\\ 139 &= 1^2+2^2+3^2+5^2+10^2\\ 140 &= 2^2+6^2+10^2\\ 141 &= 1^2+2^2+6^2+10^2\\ 142 &= 5^2+6^2+9^2\\ 143 &= 1^2+5^2+6^2+9^2\\ 144 &= 1^2+2^2+3^2+7^2+9^2\\ 145 &= 2^2+4^2+5^2+10^2\\ 146 &= 2^2+5^2+6^2+9^2\\ 147 &= 1^2+2^2+5^2+6^2+9^2\\ 148 &= 1^2+3^2+5^2+7^2+8^2\\ 149 &= 7^2+10^2\\ 150 &= 1^2+7^2+10^2\\ 151 &= 3^2+5^2+6^2+9^2\\ 152 &= 1^2+3^2+5^2+6^2+9^2\\ 153 &= 2^2+7^2+10^2\\ 154 &= 1^2+2^2+7^2+10^2\\ 155 &= 5^2+7^2+9^2\\ 156 &= 1^2+5^2+7^2+9^2\\ 157 &= 1^2+2^2+4^2+6^2+10^2\\ 158 &= 3^2+7^2+10^2\\ 159 &= 1^2+3^2+7^2+10^2\\ 160 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+7^2+9^2\\ 161 &= 3^2+4^2+6^2+10^2\\ 162 &= 2^2+3^2+7^2+10^2\\ 163 &= 1^2+2^2+3^2+7^2+10^2\\ 164 &= 8^2+10^2\\ 165 &= 1^2+8^2+10^2\\ 166 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+6^2+10^2\\ 167 &= 3^2+4^2+5^2+6^2+9^2\\ 168 &= 1^2+3^2+4^2+5^2+6^2+9^2\\ 169 &= 1^2+2^2+8^2+10^2\\ 170 &= 5^2+8^2+9^2\\ 171 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+9^2\\ 172 &= 1^1+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+9^2\\ 173 &= 3^2+8^2+10^2\\ 174 &= 2^2+5^2+8^2+9^2\\ 175 &= 1^2+2^2+5^2+8^2+9^2\\ 176 &= 1^2+3^2+6^2+7^2+9^2\\ 177 &= 2^2+3^2+8^2+10^2\\ 178 &= 1^2+2^2+3^2+8^2+10^2\\ 179 &= 2^2+3^2+6^2+7^2+9^2\\ 180 &= 1^2+2^2+3^2+6^2+7^2+9^2\\ 181 &= 6^2+8^2+9^2\\ 182 &= 1^2+6^2+8^2+9^2\\ 183 &= 2^2+3^2+5^2+8^2+9^2\\ 184 &= 1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+9^2\\ 185 &= 2^2+6^2+8^2+9^2\\ 186 &= 4^2+5^2+8^2+9^2\\ 187 &= 1^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 188 &= 1^2+2^2+3^2+5^2+7^2+10^2\\ 189 &= 5^2+8^2+10^2\\ 190 &= 2^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 191 &= 1^2+2^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 192 &= 1^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 193 &= 2^2+5^2+8^2+10^2\\ 194 &= 7^2+8^2+9^2\\ 195 &= 3^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 196 &= 1^2+3^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 197 &= 4^2+6^2+8^2+9^2\\ 198 &= 2^2+7^2+8^2+9^2\\ 199 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 200 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+8^2+9^2\\ 201 &= 2^2+4^2+9^2+10^2\\ 202 &= 1^2+2^2+4^2+9^2+10^2\\ 203 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2 \\ 204 &=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2\\ 205 &= 4^2+5^2+8^2+10^2\\ 206 &= 1^2+4^2+5^2+8^2+10^2\\ 207 &= 4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 208 &= 1^2+4^2+5^2+6^2+9^2\\ 209 &= 2^2+4^2+5^2+8^2+10^2\\ 210 &= 2^2+5^2+9^2+10^2\\ 211 &= 2^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 212 &= 1^2+2^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 213 &= 7^2+8^2+10^2\\ 214 &= 2^2+4^2+7^2+8^2+9^2\\ 215 &= 1^2+2^2+4^2+7^2+8^2+9^2\\ 216 &= 3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 217 &= 1^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 218 &= 1^2+6^2+9^2+10^2\\ 219 &= 2^2+3^2+5^2+9^2+10^2\\ 220 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 221 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2\\ 222 &= 4^2+5^2+9^2+10^2\\ 223 &= 2^2+3^2+4^2+7^2+8^2+9^2\\ 224 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+7^2+8^2+9^2\\ 225 &= 5^2+6^2+8^2+10^2\\ 226 &= 4^2+5^2+6^2+7^2+10^2\\ 227 &= 1^2+4^2+5^2+6^2+7^2+10^2\\ 228 &= 3^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 229 &= 1^2+3^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 230 &= 2^2+4^2+5^2+6^2+7^2+10^2\\ 231 &= 3^2+4^2+5^2+9^2+10^2\\ 232 &= 2^2+3^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 233 &= 1^2+2^2+3^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 234 &= 3^2+5^2+6^2+8^2+10^2\\ 235 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+8^2+9^2\\ 236 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+8^2+9^2\\ 237 &= 2^2+4^2+6^2+9^2+10^2\\ 238 &= 5^2+7^2+8^2+10^2\\ 239 &= 2^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 240 &= 1^2+2^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 241 &= 4^2+5^2+6^2+8^2+10^2\\ 242 &= 5^2+6^2+9^2+10^2\\ 243 &= 1^2+5^2+6^2+9^2+10^2\\ 244 &= 3^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 245 &= 1^2+3^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 246 &= 2^2+5^2+6^2+9^2+10^2\\ 247 &= 1^2+2^2+5^2+6^2+9^2+10^2\\ 248 &= 2^2+3^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2\\ 249 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2. \end{split}\end{equation}$

Q.E.D.

応用２ (Richert, 1949) $7$ 以上の任意の整数は相異なる素数の和として表すことができる。

証明. これもBertrandの定理によって補題を適用することができるが、証明は既に詳述したため省略する：６より大きい任意の整数は相異なる素数の和として表すことができる - INTEGERS
Q.E.D.

応用３ (Dressler, 1972) $10$ 以上の任意の整数は相異なる奇素数の和として表すことができる。

証明. $a_n$ を $n$ 番目の奇素数とする。

$a_1=3, a_2=5, a_3=7, a_4=11, a_5=13, a_6=17, a_7=19, \dots$

$l=10, r=6$ として補題を適用する。仮定1. はBertrandの仮説よりわかる。仮定2. は

$\begin{align} 10 &= 3+7\\ 11 &= 11\\ 12 &= 5+7\\ 13 &= 13\\ 14 &= 3+11\\ 15 &= 3+5+7\\ 16 &= 5+11\\ 17 &= 17\\ 18 &= 7+11\\ 19 &= 3+5+11\\ 20 &= 7+13\\ 21 &= 3+5+13\\ 22 &= 5+17\\ 23 &= 3+7+13\\ 24 &= 11+13\\ 25 &= 3+5+17\\ 26 &= 3+5+7+11\\ 27 &= 3+7+17\\ 28 &= 3+5+7+13\\ \end{align}$

よりわかる。 Q.E.D.

応用４ (Dressler, 1973) $46$ 以上の任意の整数は相異なる $11$ 以上の素数の和として表すことができる。

証明. $a_n$ を $11$ から数えて $n$ 番目の素数とする：

$\begin{align}&a_1=11, a_2=13, a_3=17, a_4=19, a_5=23, a_6=29, a_7=31, a_8=37, a_9=41, \\ &a_{10}=43, a_{11}=47\dots \end{align}$

$l=46, r=10$ として補題を適用する。仮定1. はBertrandの仮説よりわかる。仮定2. は

$\begin{align} 46 &= 11+29\\ 47 &= 11+17+19\\ 48 &= 13+29\\ 49 &= 13+17+19\\ 50 &= 13+37\\ 51 &= 11+17+23\\ 52 &= 11+41\\ 53 &= 13+17+23\\ 54 &= 11+43\\ 55 &= 13+19+23\\ 56 &= 13+43\\ 57 &= 11+17+29\\ 58 &= 17+41\\ 59 &= 11+17+31\\ 60 &= 11+13+17+19\\ 61 &= 13+17+31\\ 62 &= 19+43\\ 63 &= 13+19+31\\ 64 &= 11+13+17+23\\ 65 &= 11+17+37\\ 66 &= 11+13+19+23\\ 67 &= 13+17+37\\ 68 &= 31+37\\ 69 &= 11+17+41\\ 70 &= 11+13+17+29\\ 71 &= 11+17+43\\ 72 &= 11+13+19+29\\ 73 &= 13+17+43\\ 74 &= 11+13+19+31\\ 75 &= 13+19+43\\ 76 &= 33+43\\ 77 &= 11+23+43\\ 78 &= 13+17+19+29\\ 79 &= 13+23+43\\ 80 &= 37+43\\ 81 &= 17+23+41\\ 82 &= 11+19+23+29\\ 83 &= 11+13+17+19+23\\ 84 &= 41+43\\ 85 &= 11+31+43\\ 86 &= 11+13+19+43\\ 87 &= 13+31+43\\ 88 &= 11+14+23+41\\ 89&= 11+13+17+19+29\\ 90 &= 11+13+23+43\\ 91 &= 11+37+43\\ 92 &= 13+19+29+31\\ \end{align}$

よりわかる。 Q.E.D.

応用５ (Brown, 1976) $58$ 以上の任意の整数は相異なる $13$ 以上の素数の和として表すことができる。

Grothendieck素数として有名な $57$ ですが、「相異なる $13$ 以上の素数の和として表すことのできない最大の整数」という特徴を持ちます：57：グロタンディーク素数 - INTEGERS

証明. $a_n$ を $13$ から数えて $n$ 番目の素数とする：

$\begin{align}&a_1=13, a_2=17, a_3=19, a_4=23, a_5=29, a_6=31, a_7=37, a_8=41, a_{9}=43, \\ &a_{10}=47, a_{11}=53, \dots \end{align}$

$l=58, r=10$ として補題を適用する。仮定1. はBertrandの仮説よりわかる。仮定2. は

$\begin{align} 58 &= 17+41\\ 59 &= 19+41\\ 60 &= 17+43\\ 61 &= 13+17+31\\ 62 &= 19+43\\ 63 &= 13+19+31\\ 64 &= 23+41\\ 65 &= 13+23+29\\ 66 &= 19+47\\ 67 &= 13+17+37\\ 68 &= 31+37\\ 69 &= 17+23+29\\ 70 &= 29+41\\ 71 &= 13+17+41\\ 72 &= 31+41\\ 73 &= 13+17+43\\ 74 &= 31+43\\ 75 &= 13+19+43\\ 76 &= 29+47\\ 77 &= 13+23+41\\ 78 &= 37+41\\ 79 &= 13+19+47\\ 80 &= 37+43\\ 81 &= 17+23+41\\ 82 &= 13+17+23+29\\ 83 &= 17+19+47\\ 84 &= 41+43\\ 85 &= 19+23+43\\ 86 &= 13+19+23+31\\ 87 &= 17+23+47\\ 88 &= 41+47\\ 89 &= 19+23+47\\ 90 &= 43+47\\ 91 &=13+31+47\\ 92 &= 13+19+29+31\\ 93 &= 17+29+47\\ 94 &= 13+17+23+41\\ 95 &= 19+29+47\\ 96 &= 13+17+29+37\\ 97 &= 19+31+47\\ 98 &= 13+19+29+37\\ 99 &= 23+29+47\\ 100 &= 13+19+31+37\\ 101 &= 13+41+47\\ 102 &= 13+19+29+41\\ 103 &= 13+43+47\\ 104 &= 13+19+29+43\\ 105 &= 17+41+47\\ 106 &= 13+19+31+43\\ 107 &= 19+41+47\\ 108 &= 13+19+29+47\\ 109 &= 19+43+47\\ 110 &= 13+19+31+47\\ \end{align}$

よりわかる。 Q.E.D.

補題の証明

直接証明することもできますが、Brownによるより適用範囲の広い命題を示します。

命題 (Brown, 1976) 自然数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ が次の二条件を満たすと仮定する：

非負整数 $r$ が存在して、 $n \geq r$ に対して $a_{n+1}\leq a_{r+1}+\sum_{i=r+1}^na_i$ が成り立つ。
非負整数 $l$ が存在して、 $l\leq N < l+a_{r+1}$ なる任意の整数 $N$ が $N=\sum_{n=1}^r\epsilon_na_n \ (\epsilon_n \in \{0, 1\})$ と書ける。

この時、任意の $n \geq r$ に対して、次が成り立つ：
$l \leq N < l+a_{r+1}+\sum_{i=r+1}^na_i$ なる任意の整数 $N$ は $N=\sum_{i=1}^n\epsilon_ia_i \ (\epsilon_i \in \{0, 1\})$ と書ける。ここで、記号 $\sum_{i=1}^k$ は $k=0$ ならば和は $0$ であると約束する。
特に、 $l$ 以上の任意の整数は数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ の有限個の相異なる項の和として表される(ただし、 $l=0$ の時は $0$ 個の和 $=0$ のも含める)。