13時28分から始まる地獄

いくらでも長い素数砂漠が存在します。これは素数密度零補題

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からわかりますし、 $n!+k \ (2 \leq k \leq n)$ を使った証明も有名です。

数好きとしては、実際の素数砂漠も把握しておきたいところです。それまでの素数砂漠記録を塗り替える地点を幾つか紹介すると

長さ $1$ の素数砂漠 $\cdots$ $4$

長さ $3$ の素数砂漠 $\cdots$ $8, 9, 10$

長さ $5$ の素数砂漠 $\cdots$ $24, 25, 26, 27, 28$

長さ $7$ の素数砂漠*1 $\cdots$ $90, 91, 92, 93, 94, 95, 96$

長さ $13$ の素数砂漠 $\cdots$ $114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126$

長さ $17$ の素数砂漠*2 $\cdots$ $524$ から $540$

長さ $19$ の素数砂漠 $\cdots$ $888$ から $906$

長さ $21$ の素数砂漠 $\cdots$ $1130$ から $1150$

長さ $33$ の素数砂漠 $\cdots$ $1328$ から $1360$

長さ $35$ の素数砂漠 $\cdots$ $9552$ から $9586$

長さ $43$ の素数砂漠 $\cdots$ $15684$ から $15726$

となっています。

13時28分

さて、24時間表示デジタル時計を利用している素数好きにとって最も苦痛な時刻は13時28分から始まります。 $1328$ から $1360$ まで長さ $33$ の素数砂漠がありますが、13時61分はありません。実は

$\begin{align} 1328 &= 2^4 \times 83 \\ 1329 &= 3 \times 443 \\ 1330 &= 2 \times 5 \times 7 \times 19 \\ 1331 &= 11^3 \\ 1332 &= 2^2 \times 3^2 \times 37 \\ 1333 &= 31 \times 43 \\ 1334 &= 2 \times 23 \times 29 \\ 1335 &=3 \times 5 \times 89 \\ 1336 &= 2^3 \times 167 \\ 1337 &= 7 \times 191 \\ 1338 &= 2 \times 3 \times 223 \\ 1339 &= 13 \times 103 \\ 1340 &= 2^2 \times 5 \times 67 \\ 1341 &= 3^2 \times 149 \\ 1342 &= 2 \times 11 \times 61 \\ 1343 &= 17 \times 79 \\ 1344 &= 2^6 \times 3 \times 7 \\ 1345 &= 5 \times 269 \\ 1346 &= 2 \times 673 \\ 1347 &= 3 \times 449 \\ 1348 &= 2^2 \times 337 \\ 1349 &= 19 \times 71 \\ 1350 &= 2 \times 3^3 \times 5^2 \\ 1351 &= 7 \times 193 \\ 1352 &= 2^3 \times 13^2 \\ 1353 &= 3 \times 11 \times 41 \\ 1354 &= 2 \times 667 \\ 1355 &= 5 \times 271 \\ 1356 &= 2^2 \times 3 \times 113 \\ 1357 &= 23 \times 59 \\ 1358 &= 2 \times 7 \times 97 \\ 1359 &= 3^2 \times 151 \\ 1400 &= 2^3 \times 5^2 \times 7 \\ 1401 &= 3 \times 467 \\ 1402 &= 2 \times 701 \\ 1403 &=23 \times 61 \\ 1404 &= 2^2 \times 3^3 \times 13 \\ 1405 &= 5 \times 281 \\ 1406 &= 2 \times 19 \times 37 \\ 1407 &= 3 \times 7 \times 67 \\ 1408 &= 2^7 \times 11 \end{align}$