友愛数 - INTEGERS

約数の総和関数を $\sigma(n)$ で表すときに、正整数の組 $(a, b) \ (a < b)$ が友愛数であるとは

$\sigma(a) = \sigma(b) = a+b$

が成り立つときに言います。最小の友愛数は $(220, 284)$ で

integers.hatenablog.com

で紹介したことがありました。

続く友愛数は

$\begin{align}&(1184,1210) \\ &(2620,2924) \\ &(5020,5564) \\ &(6232,6368) \\ &(10744,10856)\\ &(12285,14595)\\ &(17296,18416)\\ &(63020,76084)\\ &(66928,66992)\\ &(67095,71145)\\ &(69615,87633)\end{align}$

のようになっています。友愛数が無数に存在するかどうかはわかっていないほか、パリティの異なる友愛数のペアが存在するかどうかも未解決問題です。

Thābit ibn Qurraの定理 $2$ 以上の整数 $n$ に対して、

$\begin{align} p &= 3\cdot 2^{n-1}-1 \\ q&=3\cdot 2^n-1 \\ r&= 9\cdot 2^{2n-1}-1\end{align}$

が全て素数であれば、 $(2^npq, 2^nr)$ は友愛数となる。

証明. $p, q, r$ が素数であれば、

$\sigma(2^npq) = (2^{n+1}-1)(p+1)(q+1),$

$\sigma(2^nr) = (2^{n+1}-1)(r+1)$

であり、

$(p+1)(q+1) = r+1 = 9\cdot 2^{2n-1}$

なので、

$\sigma(2^npq) = \sigma(2^nr) = 9\cdot 2^{2n-1}(2^{n+1}-1)$

が成り立つ。一方、

$\begin{align}2^npq+2^nr &= 2^n(9\cdot 2^{2n-1}-3\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^n+1+9\cdot 2^{2n-1}-1) \\ &= 2^n(9\cdot 2^{2n}-9\cdot 2^{n-1}) \\ &=9\cdot 2^{2n-1}(2^{n+1}-1) \end{align}$

なので、

$\sigma(2^npq) = \sigma(2^nr) = 2^npq+2^nr$

が示された。 Q.E.D.

$n=2$ のとき、 $(p, q, r) = (5, 11, 71)$ で、友愛数 $(220, 284)$ が、 $n=4$ のとき、 $(p, q, r) = (23, 47, 1151)$ で友愛数 $(17296, 18416)$ が、 $n=7$ のとき、 $(p, q, r) = (191, 383, 73727)$ で友愛数 $(9363584, 9437056)$ が得られます。これら以外にThābit ibn Qurraの方法で知られている友愛数はありません。

この定理に関連して、 $3\cdot 2^n-1$ 型数のことをThabit数といいます。321数とも呼ばれているようです。