この記事ではの群構造についてまとめています。
1.1
と素因数分解されているとき、中国剰余定理によって
が成り立つので、
を得る。すなわち、問題はのときに帰着される(
は自然数)。
1.2
のとき、
が成り立つ。
証明. 奇数が存在して、
と書けることを示せばよい。
に関する帰納法で証明する。
なので、
。
が存在したと仮定すると、
より、とすればよい(このとき
は奇数)。 Q.E.D.
1.3
証明. のときは明らか。
、
とする。また、
(resp.
)が生成する
の部分群を
(resp.
)と表す。
で割ったあまりを考えることによって、
がわかるので、自然な埋め込み
がある。1.2より
なので、
が示された。 Q.E.D.
はEulerのトーシェント関数。
である。
1.5
を法
の原始根とする(1.4より存在する)。このとき、
または
は
を満たす。
証明.
よりわかる。 Q.E.D.
を
を満たすような法
の原始根とする。
が奇素数、
ならば
によって定義される
は
で割り切れないような整数である。
証明. が
で割れないような整数であることは
の取り方からOK。
として数学的帰納法で証明する。すなわち、
は
で割れない整数であると仮定する。このとき、
が成り立つ。ここで、pCrはpの倍数 - INTEGERS*1およびであることを用いている。従って、
であることがわかり、特に
は
で割れない整数である。 Q.E.D.
1.6
証明. を
なる法
の原始根とする。
の
における位数
は
の約数なので、非負整数
を用いて
と書ける(
,
)。
と仮定しよう。
なので、
が成り立つが、Fermatの小定理によって
となってが法
の原始根であることに反する。従って、
を得る。すると、1.5より
も従い、
が法
の原始根になっていることがわかった。 Q.E.D.
2.1
群の同型があって、
はそれぞれ位数
の巡回群とする。このとき、
が巡回群になるための必要十分条件は
と
が互いに素であることである。
証明. の任意の元
に対して
が成り立つので、
の位数は
を割り切る。従って、
が巡回群であれば
と
は互いに素でなければならない。逆は中国剰余定理よりわかる。 Q.E.D.
2.2
証明. が奇素数であれば
は偶数である。このことに注意すれば、1.3, 1.6, 2.1より従う。 Q.E.D.
*1:タイトルの事実のみを使うため、リンク先を読む必要はありません。