§3 Psuedorandam measures を読みます。測度の線形形式条件、相関条件を定義し、擬ランダム測度に対するSzemerédiの定理を定式化します。
任意の正整数
定数測度 は明らかに擬ランダム測度です(条件は複雑ですが、この場合は何もかも
なので)。
証明. 測度であること:
線形形式条件を満たすこと: 定義1の記号設定のもと、
を示せばよい(ただし、)。左辺は
と展開できる。ここで、とする。
を固定する。
になるような成分が
であったとすると、
となるが、線形形式条件の式はに対しても成立しているので、
である。よって、は任意であったから、①が成立する。
相関条件を満たすこと: に対する
をとって (
とする)、
を
と定義する。このとき、定義2の記号設定のもと ()、
及び
を示せばよい。の定義における和を二項係数倍の部分をばらして
個の和と考えて、Hölderの不等式を適用すれば
と評価できる。また、先ほどと同様に②の左辺は
と展開でき、を固定して、
になるような成分が
であったとすると、
と評価できるので、足し合わせてで割れば②が得られる。 Q.E.D.
次がGreen-Tao論文の主定理の一つです:
が成り立つ。
は定数測度に対するSzemerédiの定理(Prop 2.3)によって存在する正の定数と同じものを取れることをGreen-Taoは示していますが、任意に正の数
をとったときに、定数測度の場合の定数を
、上記定理における定数を
として
と取れることを示すだけなら議論が単純になるので、そちらを採用して解説します(同じものを取る方法については§8(その二)の注意3を参照)。
次回からしばらくの間、この定理の証明に集中します。
*1:Vinogradov記号を用いれば、となる。