グリーン・タオ論文の§3を読む

§3 Psuedorandam measures を読みます。測度の線形形式条件、相関条件を定義し、擬ランダム測度に対するSzemerédiの定理を定式化します。

定義１ (線形形式条件, Definition 3.1) $\nu \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ を測度とする。正整数パラメータ $m_0, t_0, L_0$ に対して、 $\nu$ が $(m_0, t_0, L_0)$ -線形形式条件を満たすとは次が成立するときにいう：
任意の正整数 $m \leq m_0, t \leq t_0$ に対して、分母・分子の絶対値が $L_0$ 以下の $mt$ 個の有理数 $\{L_{ij}\}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq t}$ であって、 $m$ 個のベクトル $(L_{ij})_{1 \leq j \leq t} \in \mathbb{Q}^t$ はどの二つをとっても $\mathbb{Q}$ 上一次独立であるようなものをとる。十分大きい素数 $N$ を考え*1、各有理数 $L_{ij}$ を自然に $\mathbb{Z}_N$ の元とみなし、 $b_i \in \mathbb{Z}_N \ (1 \leq i \leq m)$ を任意にとって、 $1 \leq i \leq m$ に対して線形形式 $\psi_i \colon \mathbb{Z}_N^t \to \mathbb{Z}_N$ を

$\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}):=\sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+b_i, \quad (\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}_N^t)$

で定義する。このとき、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) = 1+o_{L_0, m_0, t_0}(1)$

が成り立つ。

定義２ (相関条件, Definition 3.2) $\nu \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ を測度とする。正整数パラメータ $m_0$ に対して、 $\nu$ が $m_0$ -相関条件を満たすとは、任意の正整数 $1 < m \leq m_0$ に対して関数 $\tau=\tau_m\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ であって任意の $1 \leq q < \infty$ に対して

$\mathbb{E}(\tau^q) = O_{m, q}(1)$

を満たすものが存在して、任意の $h_1, \dots, h_m \in \mathbb{Z}_N$ (等しいものがあってもよい)に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl(\nu(x+h_1)\cdots \nu(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau(h_i-h_j)$

が成り立つときにいう。

定義３ (擬ランダム測度, Definition 3.3) $\nu \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ を測度とする。 $\nu$ が $k$ -擬ランダム測度であるとは、 $\nu$ が $(k2^{k-1}, 3k-4, k)$ -線形形式条件と $2^{k-1}$ -相関条件を満たすときにいう。

定数測度 $\nu_{\text{const}}$ は明らかに擬ランダム測度です(条件は複雑ですが、この場合は何もかも $1$ なので)。

補題 $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度とする。このとき、

$\displaystyle \nu_{1/2}:=\frac{\nu+\nu_{\text{const}}}{2}$

も $k$ -擬ランダム測度である。

証明. 測度であること:

$\displaystyle \mathbb{E}(\nu_{1/2}) = \frac{\mathbb{E}(\nu)+\mathbb{E}(\nu_{\text{const}})}{2}=1+o(1).$

線形形式条件を満たすこと: 定義１の記号設定のもと、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{1/2}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{1/2}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) = 1+o_k(1)$ −①

を示せばよい(ただし、 $m_0=k2^{k-1}, t_0=3k-4, L_0=k$ )。左辺は

$\displaystyle \frac{1}{2^m}\sum_{(\omega_1, \dots, \omega_m) \in \{0, 1\}^m}\left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\omega_1}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\omega_m}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr)$

と展開できる。ここで、 $\nu_0:=\nu, \ \nu_1:=\nu_{\text{const}}$ とする。 $(\omega_1, \dots, \omega_m) \in \{0, 1\}^m$ を固定する。 $0$ になるような成分が $\omega_{i_1}, \dots, \omega_{i_s}$ であったとすると、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu_{\omega_1}\left(\psi_1(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu_{\omega_m}\left(\psi_m(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr) = \left.\mathbb{E}\bigl( \nu\left(\psi_{i_1}(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu\left(\psi_{i_s}(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr)$

となるが、線形形式条件の式は $s \leq m \leq k2^{k-1}$ に対しても成立しているので、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl( \nu\left(\psi_{i_1}(\boldsymbol{x})\right)\cdots \nu\left(\psi_{i_s}(\boldsymbol{x})\right)\right|\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_N^t\bigr)=1+o_k(1)$

である。よって、 $(\omega_1, \dots, \omega_m) \in \{0, 1\}^m$ は任意であったから、①が成立する。

相関条件を満たすこと: $\nu$ に対する $\tau_2, \dots, \tau_m$ をとって ( $\tau_1:=\mathbf{1}_{\mathbb{Z}_N}$ とする)、 $\tau'=\tau_m'\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ を

$\displaystyle \tau_m':=\frac{1}{2^m}\sum_{i=1}^m\binom{m}{i}\tau_i$

と定義する。このとき、定義２の記号設定のもと ( $m_0\mapsto 2^{k-1}$ )、 $\mathbb{E}(\tau'^q)=O_{m, q}(1)$ 及び

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{1/2}(x+h_1)\cdots \nu_{1/2}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau'(h_i-h_j)$ −②

を示せばよい。 $\tau'$ の定義における和を二項係数倍の部分をばらして $2^m$ 個の和と考えて、Hölderの不等式を適用すれば

$\displaystyle \mathbb{E}(\tau'^q)\leq \frac{1}{2^m}\sum_{1 \leq i \leq m}\binom{m}{i}\mathbb{E}(\tau_i^q) = O_{m, q}(1)$

と評価できる。また、先ほどと同様に②の左辺は

$\displaystyle \frac{1}{2^m}\sum_{(\omega_1, \dots, \omega_m) \in \{0, 1\}^m}\left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{\omega_1}(x+h_1)\cdots \nu_{\omega_m}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr)$

と展開でき、 $(\omega_1, \dots, \omega_m) \in \{0, 1\}^m$ を固定して、 $0$ になるような成分が $\omega_{i_1}, \dots, \omega_{i_s}$ であったとすると、

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\bigl(\nu_{\omega_1}(x+h_1)\cdots \nu_{\omega_m}(x+h_m)\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) =\left.\mathbb{E}\bigl(\nu(x+h_{i_1})\cdots \nu(x+h_{i_s})\right|x \in \mathbb{Z}_N\bigr) \\ &\leq \sum_{1 \leq j < j' \leq s}\tau_s(h_{i_j}-h_{i_{j'}}) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq m}\tau_s(h_i-h_j)\end{align}$

と評価できるので、足し合わせて $2^m$ で割れば②が得られる。 Q.E.D.

次がGreen-Tao論文の主定理の一つです：

擬ランダム測度に対するSzemerédiの定理 (Theorem 3.5) 整数 $k \geq 3$ 、実数 $0 < \delta \leq 1$ をとり、 $\nu \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ を $k$ -擬ランダム測度とする。関数 $f \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ が

$\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \nu(x) \quad ({}^{\forall}x \in \mathbb{Z}_N)$

及び

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(f(x) \right| x \in \mathbb{Z}_N) \geq \delta$

を満たせば、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(f(x)f(x+r)\cdots f(x+(k-1)r)\right|x, r \in \mathbb{Z}_N\right) \geq c(k, \delta) -o_{k, \delta}(1)$

が成り立つ。

$c(k, \delta)$ は定数測度に対するSzemerédiの定理(Prop 2.3)によって存在する正の定数と同じものを取れることをGreen-Taoは示していますが、任意に正の数 $\varepsilon$ をとったときに、定数測度の場合の定数を $c_{\text{SZ}}(k, \delta)$ 、上記定理における定数を $c_{\text{GT}}(k, \delta)$ として