ディガンマ関数とリーマンゼータ

ディ(ダイ)ガンマ関数 $\psi (x)$ は

$\displaystyle \psi (x) := \frac{d}{dx}\log \Gamma (x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma (x)}$

で定義されます。ガンマ関数 $\Gamma (x)$ については階乗とガンマ関数 - INTEGERSを参照してください。

Weierstrassの無限積表示

$\displaystyle \frac{1}{\Gamma (x)} = xe^{\gamma x}\prod_{n=1}^{\infty}\left( 1+ \frac{x}{n} \right) e^{-\frac{x}{n}}$

の対数をとると(ガンマ関数の極 $x=0, -1, -2, \dots$ は避ける)

$\displaystyle \log \frac{1}{\Gamma (x)} = \log x + \gamma x + \sum_{n=1}^{\infty}\left\{ \log \left( 1+ \frac{x}{n}\right) -\frac{x}{n} \right\}$ ー①

が得られ、微分することにより

$\displaystyle \psi (x) = -\frac{1}{x}-\gamma - \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{n+x}-\frac{1}{n} \right)$ ー②

が得られます*1。更に $\left|x\right| < 1$ なら

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{n+x}-\frac{1}{n} \right) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n^2}\frac{1}{1+\frac{x}{n}} = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n^2}\sum_{k=0}^{\infty}\left( -\frac{x}{n}\right)^k = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-x)^k}{n^{k+1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\zeta (k+1)(-x)^k$

が成り立つので、

$\displaystyle \psi (x) = -\frac{1}{x}-\gamma -\sum_{k=1}^{\infty}\zeta (k+1)(-x)^k.$

関数等式 $\Gamma (1+x)=x\Gamma (x)$ の対数微分をとれば

$\displaystyle \psi (1+x) =\psi (x)+ \frac{1}{x}$

が得られるので、結局 $|x| < 1$ で

$\displaystyle \psi (1+x) = -\gamma -\sum_{k=1}^{\infty}\zeta (k+1)(-x)^k$

なる級数表示を持つことが分かりました*2。これはEulerが1765年に発見した式です。ディガンマ関数はRiemannゼータ値の母関数を与えることがわかります。この式は別の記事で使うことになるでしょう。

①の時点で $\log$ のTaylor展開をすることによって得られる

$\displaystyle -\log \Gamma (1+x) = \gamma x + \sum_{n=1}^{\infty}\left( \sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\left(\frac{x}{n}\right)^k\right) = \gamma x -\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta (k)}{k}(-x)^k$