2018-05-09

差分形式と離散ストークスの定理

定理解説

Stokesの定理の離散版(の一つ)について軽くまとめます。通常のStokesの定理については

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください*1。

超立方体と差分形式

$N$ を正整数とし、 $N$ 次元Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ を考える。

$\boldsymbol{k}=(k_1, \dots, k_r)$ $(1\leq k_1 < \cdots < k_r \leq N)$ と $\boldsymbol{a}=(a_1, \dots, a_N) \in \mathbb{Z}^N$ に対して、 $\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}} \subset \mathbb{R}^N$ を

$\displaystyle \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}:=\{(x_1,\dots, x_N) \in \mathbb{R}^N \mid x_i=a_i \ (i \not \in \{k_1, \dots, k_r\}), \ a_i\leq x_i \leq a_i+1 \ (i \in \{k_1, \dots, k_r\})\}$

で定める。 $0\leq r\leq N$ を固定して全ての $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{a})$ を考えた $\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}$ 達のなす集合を $C_{r, N}$ とし、 $C_{r, N}$ の有限個の元の $\mathbb{Z}$ -線形結合全体のなす加群を $\widetilde{C}_{r, N}$ とする。ただし、 $C_{0, N}=\mathbb{Z}^N$ と考える。

$f \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{C}$ と $1 \leq i \leq N$ に対して、 $\Delta_i f$ を

$\Delta_i f(x_1, \dots, x_N) := f(x_1, \dots, x_i+1, \dots, x_N)-f(x_1, \dots, x_N)$

と定義する。

定義 $r \geq 1$ とする。境界作用素 $\partial \colon \widetilde{C}_{r, N} \to \widetilde{C}_{r-1, N}$ を

$\displaystyle \partial \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}} := \sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}$

と線形性によって定義する。ただし、 $\Box_{\boldsymbol{k}; \ast}$ を関数とみなして $\Delta_{k_j}$ を作用させている。

命題 $\partial^2=0$ .

証明. $r \geq 2$ として $\partial^2(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})=0$ を示せばよい。

$\begin{align}&\partial^2(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}) \\ &=\partial\left(\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right) \\ &=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\left(\sum_{i=1}^{j-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}+\sum_{i=j}^{r-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_{i+1}}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, \hat{k_{i+1}}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right) \\ &=\sum_{i < j}(-1)^{i+j}\left(\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}-\Delta_{k_j}\Delta_{k_i}\right)\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}=0\end{align}$

と定義から計算できる。 Q.E.D.

定義差分 $r$ -形式とは関数 $\omega \colon C_{r, N} \to \mathbb{C}$ のことをいい、差分 $r$ -形式全体のなす集合を $\Omega^r(\mathbb{R}^N)$ と定義する。

差分 $r$ -形式 $\omega$ を線形に延ばした関数も同じ記号で表す: $\omega \colon \widetilde{C}_{r, N} \to \mathbb{C}$

差分 $r$ -形式 $\omega$ は各 $\boldsymbol{k}=(k_1, \dots, k_r)$ ( $1 \leq k_1 < \cdots < k_r \leq N$ )に対する関数 $\omega_{\boldsymbol{k}} \colon \mathbb{Z}^N \to \mathbb{C}$ によって決まる( $\omega_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{a}) = \omega(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})$ )。形式的に

$\displaystyle \omega = \sum_{\boldsymbol{k}}\omega_{\boldsymbol{k}}\Delta x_1 \wedge \cdots \wedge \Delta x_r$

と書いてもよいが、ここでは深入りしない。

定義 $r \leq N-1$ とする。差分作用素 $\Delta \colon \Omega^r(\mathbb{R}^N) \to \Omega^{r+1}(\mathbb{R}^N)$ を

$\displaystyle (\Delta \omega)_{(k_1, \dots, k_{r+1})}(\boldsymbol{a}):=\sum_{j=1}^{r+1}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+1})}(\boldsymbol{a})$

で定める。

命題 $\Delta^2=0$ .

証明. $r \leq N-2$ として、 $\Delta^2\omega=0$ を示す。

$\begin{align}&(\Delta(\Delta \omega) )_{(k_1, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) \\ &=\sum_{j=1}^{r+2}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}(\Delta \omega)_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) \\ &=\sum_{j=1}^{r+2}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\left(\sum_{i=1}^{j-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_i}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a})+\sum_{i=j}^{r+1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_{i+1}}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, \hat{k_{i+1}}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a})\right) \\ &=\sum_{i < j}(-1)^{i+j}\left(\Delta_{k_j}\Delta_{k_i}-\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}\right)\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) =0 \end{align}$

と定義から計算できる。 Q.E.D.

離散Stokesの定理

定義 $D \in \widetilde{C}_{r, N}, \ \omega \in \Omega^r(\mathbb{R}^N)$ に対して

$\displaystyle \int_D\omega:=\omega(D)$

と積分を定義する。

離散版Stokesの定理 $r \geq 1$ とする。 $D \in \widetilde{C}_{r, N}, \ \omega \in \Omega^{r-1}(\mathbb{R}^N)$ に対して

$\displaystyle \int_{D}\Delta \omega = \int_{\partial D}\omega$

が成り立つ。

証明. 主張は $(\Delta \omega)(D) = \omega(\partial D)$ であり、線形性から $D=\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}$ のときに示せばよい。そうして、定義から

$\begin{align} (\Delta \omega)(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}) &= (\Delta \omega)_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{a}) \\ &= \sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r)}(\boldsymbol{a}) \\ &=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega(\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}) \\ &=\omega\left(\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right)\\ &=\omega(\partial \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})\end{align}$

と計算される。 Q.E.D.

離散微積分学の基本定理＝望遠鏡和

Stokesの定理が微積分学の基本定理の一般化であったのに対応して離散版Stokesの定理は望遠鏡和の一般化になっているが、導出に望遠鏡和を用いる。

$N=1$ として、差分 $0$ -形式 $\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ をとって $n \mapsto a_n$ と記す。 $D=\Box_{1; 1}+\Box_{1; 2}+\cdots +\Box_{1; n-1}$ とすると

$\displaystyle \partial D= \sum_{i=1}^{n-1}\{(i+1)-(i)\}=(n)-(1)$

であり、

$\displaystyle (\Delta a_{\bullet})(\Box_{1; i})=(\Delta a_{\bullet})_1(i) = \Delta_1a_i=a_{i+1}-a_i$

なので、離散版Stokesの定理は

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=a_n-a_1$

を意味する。

離散Greenの定理

次に、離散版Greenの定理を記述する。

それは、 $r=1, N=2$ の場合である。

左下のコーナーが $(a_1, a_2) \in \mathbb{Z}^2$ であるような一辺の長さが $1$ の正方形(内部も含める)を $\Box(a_1, a_2)$ と表す。このような正方形を合併( $D$ とする)が短連結であるように有限個選ぶ。

$D$ の境界をとって得られる閉曲線(半時計周り)を $C$ とする。

$(a_1, a_2)$ から $(a_1+1, a_2)$ への有向線分を $\rightarrow(a_1, a_2)$ 、逆向きのものを $\leftarrow(a_1, a_2)$ 、 $(a_1, a_2)$ から $(a_1, a_2+1)$ への有向線分を $\uparrow(a_1, a_2)$ 、逆向きのものを $\downarrow(a_1, a_2)$ と表す。

$C$ をこれら四種類の有向線分により $C(\rightarrow), C(\leftarrow), C(\uparrow), C(\downarrow)$ に分割する。

$\omega$ を長さ $1$ の(端点が格子点であるような)有向線分全体のなす集合から $\mathbb{C}$ への関数とし、 $\omega_x(a_1, a_2):=\omega(\rightarrow(a_1, a_2) )$ , $\omega_y(a_1, a_2):=\omega(\uparrow(a_1, a_2) )$ と略記する。このとき、離散Stokesの定理を定義通り書き下すと

$\begin{align} &\sum_{\rightarrow(a_1, a_2) \in C(\rightarrow)}\omega_x(a_1, a_2)+\sum_{\uparrow(a_1, a_2) \in C(\uparrow)}\omega_y(a_1, a_2)-\sum_{\leftarrow(a_1, a_2) \in C(\leftarrow)}\omega_x(a_1, a_2)-\sum_{\downarrow(a_1, a_2) \in C(\downarrow)}\omega_y(a_1, a_2) \\ &= \sum_{\Box(a_1 a_2) \subset D}\left\{\left(\omega_y(a_1+1, a_2)-\omega_y(a_1, a_2)\right)-\left(\omega_x(a_1, a_2+1)-\omega_x(a_1, a_2)\right)\right\}\end{align}$

となり、これが離散版Greenの定理である。曲線に沿った和が領域内の正方形毎の和と一致している。

参考文献

G. Labelle, A. Lacasse, Discrete Versions of Stokes’ Theorem Based on Families of Weights on Hypercubes, Discrete Geometry for Computer - Imagery, 15th IAPR International Conference, (2009), Proceedings.
E. L. Mansfield, P. E. Hydon, Difference forms, Found. Comp. Math. (2007).
A. N. Hirani, Discrete Exterior Calculus, Thesis.

*1:tsujimotterさんお誕生日おめでとうございます！！

2018-05-09

楔数

整数整数-30 整数-165 整数-1309 整数-24 整数-42946198589594173397354339977451

相異なる三つの素数の積として表される整数のことを楔数といいます。

最小の楔数は $30=2\times 3 \times 5$ です。

ひっくり返しても楔数であるような最小の整数は $165=3 \times 5\times 11$ です( $561=3\times 11 \times 17$ )。

最小の連続楔数は $(230=2\times 5\times 23 , \ 231 = 3\times 7\times 11)$ 。

最小の三連続楔数は $(1309 = 7 \times 11 \times 17, \ 1310 = 2\times 5 \times 131, \ 1311 = 3 \times 19 \times 23$ )。

四連続楔数は存在しません(四連続整数は少なくとも一つが $4$ の倍数で平方因子を持ってしまうため)。

楔数 $pqr$ の約数の個数は8個( $1, p, q, r, pq, qr, rp, pqr$ )ですが、約数の個数が8個であるような最小の非楔数 $\geq 0$ は $24$ です( $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ )。

$42946198589594173397354339977451=53 \times 10433 \times 77667558110411942868789599$ は楔数ですが、これは右切り取り可能楔数です：

$4294619858959417339735433997745=5 \times 28 895749 \times 29724924998202450746201$

$429461985895941733973543399774=2 \times 569 \times 377383115901530521945117223$

$42946198589594173397354339977=13 \times 709 \times 4659455201214513767750281$

$4294619858959417339735433997=3 \times 359 \times 3987576470714407929187961$

$429461985895941733973543399= 2693 \times 123049 \times 1296015769710143107$

$42946198589594173397354339=17 \times 42323 \times 59689695339613940129$

$4294619858959417339735433=109 \times 86845297547 \times 453682390471$

$429461985895941733973543=31271 \times 252353641 \times 54421860313$

$42946198589594173397354=2 \times 37 \times 580354034994515856721$

$4294619858959417339735=5 \times 53 \times 16206112675318555999$

$429461985895941733973=7 \times 475777 \times 128950563543107$

$42946198589594173397=29 \times 41 \times 36119595113199473$

$4294619858959417339=11 \times 5992933 \times 65146729853$

$429461985895941733=7 \times 404267 \times 151760376857$

$42946198589594173=1103 \times 20543 \times 1895332237$

$4294619858959417=13 \times 118297 \times 2792592997$

$429461985895941=3 \times 83 \times 1724746931309$

$42946198589594=2 \times 592387 \times 36248431$

$4294619858959=59 \times 461 \times 157896241$

$429461985895=5 \times 24967 \times 3440237$

$42946198589= 7 \times 59 \times 103985953$

$4294619858=2 \times 4253 \times 504893$

$429461985=3 \times 5 \times 28630799$

$42946198=2 \times 23 \times 933613$

$4294619=7 \times 199 \times 3083$

$429461=29 \times 59 \times 251$

$42946=2 \times 109 \times 197$

$4294=2 \times 19 \times 113$

$429=3 \times 11 \times 13$

$42=2\times 3\times 7$

integers.hatenablog.com

$x$ 以下の楔数の個数は $\displaystyle \frac{x(\log \log x)^2}{2\log x}$ に漸近します。

integers.hatenablog.com

2018-05-05

多項式に関する簡単な問題２

高校数学

昔紹介した問題*1

問題 $n$ を正整数とする。有界なる $n$ 変数複素係数多項式は定数に限ることを示せ。

の最もシンプルだと感じた証明を書いておきます。ただし、一変数の場合への帰着のみ書きます(一変数の場合は簡単)。

証明. $n$ 変数多項式 $P(x_1, \dots, x_n)$ は $\mathbb{C}^n$ で有界であると仮定する。 $(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n$ を任意にとって固定する。このとき、一変数多項式 $Q(t):=P(x_1t, \dots, x_nt)$ は有界なので定数であり、 $Q(1)=Q(0)$ であることから $P(x_1, \dots, x_n)=P(0, \dots, 0)$ が従う。 Q.E.D.