差分形式と離散ストークスの定理

Stokesの定理の離散版(の一つ)について軽くまとめます。通常のStokesの定理については

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください*1。

超立方体と差分形式

$N$ を正整数とし、 $N$ 次元Euclid空間 $\mathbb{R}^N$ を考える。

$\boldsymbol{k}=(k_1, \dots, k_r)$ $(1\leq k_1 < \cdots < k_r \leq N)$ と $\boldsymbol{a}=(a_1, \dots, a_N) \in \mathbb{Z}^N$ に対して、 $\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}} \subset \mathbb{R}^N$ を

$\displaystyle \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}:=\{(x_1,\dots, x_N) \in \mathbb{R}^N \mid x_i=a_i \ (i \not \in \{k_1, \dots, k_r\}), \ a_i\leq x_i \leq a_i+1 \ (i \in \{k_1, \dots, k_r\})\}$

で定める。 $0\leq r\leq N$ を固定して全ての $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{a})$ を考えた $\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}$ 達のなす集合を $C_{r, N}$ とし、 $C_{r, N}$ の有限個の元の $\mathbb{Z}$ -線形結合全体のなす加群を $\widetilde{C}_{r, N}$ とする。ただし、 $C_{0, N}=\mathbb{Z}^N$ と考える。

$f \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{C}$ と $1 \leq i \leq N$ に対して、 $\Delta_i f$ を

$\Delta_i f(x_1, \dots, x_N) := f(x_1, \dots, x_i+1, \dots, x_N)-f(x_1, \dots, x_N)$

と定義する。

定義 $r \geq 1$ とする。境界作用素 $\partial \colon \widetilde{C}_{r, N} \to \widetilde{C}_{r-1, N}$ を

$\displaystyle \partial \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}} := \sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}$

と線形性によって定義する。ただし、 $\Box_{\boldsymbol{k}; \ast}$ を関数とみなして $\Delta_{k_j}$ を作用させている。

命題 $\partial^2=0$ .

証明. $r \geq 2$ として $\partial^2(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})=0$ を示せばよい。

$\begin{align}&\partial^2(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}) \\ &=\partial\left(\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right) \\ &=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\left(\sum_{i=1}^{j-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}+\sum_{i=j}^{r-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_{i+1}}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, \hat{k_{i+1}}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right) \\ &=\sum_{i < j}(-1)^{i+j}\left(\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}-\Delta_{k_j}\Delta_{k_i}\right)\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}=0\end{align}$

と定義から計算できる。 Q.E.D.

定義差分 $r$ -形式とは関数 $\omega \colon C_{r, N} \to \mathbb{C}$ のことをいい、差分 $r$ -形式全体のなす集合を $\Omega^r(\mathbb{R}^N)$ と定義する。

差分 $r$ -形式 $\omega$ を線形に延ばした関数も同じ記号で表す: $\omega \colon \widetilde{C}_{r, N} \to \mathbb{C}$

差分 $r$ -形式 $\omega$ は各 $\boldsymbol{k}=(k_1, \dots, k_r)$ ( $1 \leq k_1 < \cdots < k_r \leq N$ )に対する関数 $\omega_{\boldsymbol{k}} \colon \mathbb{Z}^N \to \mathbb{C}$ によって決まる( $\omega_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{a}) = \omega(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})$ )。形式的に

$\displaystyle \omega = \sum_{\boldsymbol{k}}\omega_{\boldsymbol{k}}\Delta x_1 \wedge \cdots \wedge \Delta x_r$

と書いてもよいが、ここでは深入りしない。

定義 $r \leq N-1$ とする。差分作用素 $\Delta \colon \Omega^r(\mathbb{R}^N) \to \Omega^{r+1}(\mathbb{R}^N)$ を

$\displaystyle (\Delta \omega)_{(k_1, \dots, k_{r+1})}(\boldsymbol{a}):=\sum_{j=1}^{r+1}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+1})}(\boldsymbol{a})$

で定める。

命題 $\Delta^2=0$ .

証明. $r \leq N-2$ として、 $\Delta^2\omega=0$ を示す。

$\begin{align}&(\Delta(\Delta \omega) )_{(k_1, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) \\ &=\sum_{j=1}^{r+2}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}(\Delta \omega)_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) \\ &=\sum_{j=1}^{r+2}(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\left(\sum_{i=1}^{j-1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_i}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a})+\sum_{i=j}^{r+1}(-1)^{i-1}\Delta_{k_{i+1}}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, \hat{k_{i+1}}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a})\right) \\ &=\sum_{i < j}(-1)^{i+j}\left(\Delta_{k_j}\Delta_{k_i}-\Delta_{k_i}\Delta_{k_j}\right)\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_i}, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_{r+2})}(\boldsymbol{a}) =0 \end{align}$

と定義から計算できる。 Q.E.D.

離散Stokesの定理

定義 $D \in \widetilde{C}_{r, N}, \ \omega \in \Omega^r(\mathbb{R}^N)$ に対して

$\displaystyle \int_D\omega:=\omega(D)$

と積分を定義する。

離散版Stokesの定理 $r \geq 1$ とする。 $D \in \widetilde{C}_{r, N}, \ \omega \in \Omega^{r-1}(\mathbb{R}^N)$ に対して

$\displaystyle \int_{D}\Delta \omega = \int_{\partial D}\omega$

が成り立つ。

証明. 主張は $(\Delta \omega)(D) = \omega(\partial D)$ であり、線形性から $D=\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}$ のときに示せばよい。そうして、定義から

$\begin{align} (\Delta \omega)(\Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}}) &= (\Delta \omega)_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{a}) \\ &= \sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r)}(\boldsymbol{a}) \\ &=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\omega(\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}) \\ &=\omega\left(\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}\Delta_{k_j}\Box_{(k_1, \dots, \hat{k_j}, \dots, k_r); \boldsymbol{a}}\right)\\ &=\omega(\partial \Box_{\boldsymbol{k}; \boldsymbol{a}})\end{align}$

と計算される。 Q.E.D.

離散微積分学の基本定理＝望遠鏡和

Stokesの定理が微積分学の基本定理の一般化であったのに対応して離散版Stokesの定理は望遠鏡和の一般化になっているが、導出に望遠鏡和を用いる。

$N=1$ として、差分 $0$ -形式 $\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ をとって $n \mapsto a_n$ と記す。 $D=\Box_{1; 1}+\Box_{1; 2}+\cdots +\Box_{1; n-1}$ とすると

$\displaystyle \partial D= \sum_{i=1}^{n-1}\{(i+1)-(i)\}=(n)-(1)$

であり、

$\displaystyle (\Delta a_{\bullet})(\Box_{1; i})=(\Delta a_{\bullet})_1(i) = \Delta_1a_i=a_{i+1}-a_i$

なので、離散版Stokesの定理は

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=a_n-a_1$

を意味する。

離散Greenの定理

次に、離散版Greenの定理を記述する。

それは、 $r=1, N=2$ の場合である。

左下のコーナーが $(a_1, a_2) \in \mathbb{Z}^2$ であるような一辺の長さが $1$ の正方形(内部も含める)を $\Box(a_1, a_2)$ と表す。このような正方形を合併( $D$ とする)が短連結であるように有限個選ぶ。

$D$ の境界をとって得られる閉曲線(半時計周り)を $C$ とする。

$(a_1, a_2)$ から $(a_1+1, a_2)$ への有向線分を $\rightarrow(a_1, a_2)$ 、逆向きのものを $\leftarrow(a_1, a_2)$ 、 $(a_1, a_2)$ から $(a_1, a_2+1)$ への有向線分を $\uparrow(a_1, a_2)$ 、逆向きのものを $\downarrow(a_1, a_2)$ と表す。

$C$ をこれら四種類の有向線分により $C(\rightarrow), C(\leftarrow), C(\uparrow), C(\downarrow)$ に分割する。

$\omega$ を長さ $1$ の(端点が格子点であるような)有向線分全体のなす集合から $\mathbb{C}$ への関数とし、 $\omega_x(a_1, a_2):=\omega(\rightarrow(a_1, a_2) )$ , $\omega_y(a_1, a_2):=\omega(\uparrow(a_1, a_2) )$ と略記する。このとき、離散Stokesの定理を定義通り書き下すと

$\begin{align} &\sum_{\rightarrow(a_1, a_2) \in C(\rightarrow)}\omega_x(a_1, a_2)+\sum_{\uparrow(a_1, a_2) \in C(\uparrow)}\omega_y(a_1, a_2)-\sum_{\leftarrow(a_1, a_2) \in C(\leftarrow)}\omega_x(a_1, a_2)-\sum_{\downarrow(a_1, a_2) \in C(\downarrow)}\omega_y(a_1, a_2) \\ &= \sum_{\Box(a_1 a_2) \subset D}\left\{\left(\omega_y(a_1+1, a_2)-\omega_y(a_1, a_2)\right)-\left(\omega_x(a_1, a_2+1)-\omega_x(a_1, a_2)\right)\right\}\end{align}$

となり、これが離散版Greenの定理である。曲線に沿った和が領域内の正方形毎の和と一致している。

参考文献

G. Labelle, A. Lacasse, Discrete Versions of Stokes’ Theorem Based on Families of Weights on Hypercubes, Discrete Geometry for Computer - Imagery, 15th IAPR International Conference, (2009), Proceedings.
E. L. Mansfield, P. E. Hydon, Difference forms, Found. Comp. Math. (2007).
A. N. Hirani, Discrete Exterior Calculus, Thesis.

*1:tsujimotterさんお誕生日おめでとうございます！！