インテジャーズ

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するランダウの定理

以前、Ramanujanの不等式

integers.hatenablog.com

を紹介した際に証明を割愛したLandauの定理

定理 (Landau) x > 0rは正の整数とし、\pi_r(x)を相異なるr個の素数の積として表せるx以下の数の個数とすると、
\displaystyle \pi_r (x) \sim \frac{x}{\log x}\frac{(\log \log x)^{r-1}}{(r-1)!}
が成り立つ。

の証明を紹介します。

記号

幾つかの補助的関数を導入して証明する。xは実数。rは正の整数。和のpは素数。Landauの記号はx \to \inftyで考える。範囲が空集合であるような和は0と定義する。

  • \pi_r(x) 相異なるr個の素数の積として表されるx以下の正の整数の個数。
  • \sigma_r(x) r個の素数(等しいものがあってもよい)の積として表されるx以下の正の整数の個数。
  • a_r(n) 正整数nn=p_1\cdots p_r と表す表し方の総数。p_1, \dots, p_r は素数で、等しいものがあってもよいし大小の順番も問わない。
  • \displaystyle \rho_r(x) := \sum_{n \leq x}a_r(n) = \sum_{p_1\cdots p_r\leq x}1.
  • \displaystyle \Omega_r(x):= \sum_{n \leq x}\frac{a_r(n)}{n} = \sum_{p_1 \cdots p_r \leq x}\frac{1}{p_1\cdots p_r}, \quad \Omega_0(x):=1.
  • \displaystyle \vartheta_r(x):= \sum_{n \leq x}\log (a_r(n)) = \sum_{p_1\cdots p_r \leq x}\log (p_1\cdots p_r).
  • \phi_r(x):=\vartheta_r(x)-rx\Omega_{r-1}(x).

証明

補題1 \ \ \ \displaystyle r\phi_{r+1}(x) = (r+1)\sum_{p \leq x}\phi_r\left(\frac{x}{p}\right).

証明. まず、

\begin{align}\Omega_r(x) &= \frac{1}{r}\sum_{p_1\cdots p_r \leq x}\left(\frac{1}{p_1}\frac{1}{p_2\cdots p_r}+\frac{1}{p_2}\frac{1}{p_1p_3\cdots p_r}+\cdots + \frac{1}{p_r}\frac{1}{p_1\cdots p_{r-1}}\right) \\
&=\sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\Omega_{r-1}\left(\frac{x}{p}\right)\end{align}

であり、対数法則を用いれば

\begin{align}r\vartheta_{r+1}(x) &= \sum_{p_1\cdots p_{r+1}\leq x}\left( \log (p_2p_3\cdots p_{r+1})+\log(p_1p_3\cdots p_{r+1})+\cdots +\log(p_1p_2\cdots p_{r+1})\right) \\
&= (r+1)\sum_{p\leq x}\vartheta_r\left(\frac{x}{p}\right) \end{align}

も同様にわかる。よって、

\begin{align}r\phi_{r+1}(x) &= r\vartheta_{r+1}(x)-r(r+1)x\Omega_r(x) \\
&= (r+1)\left(\sum_{p \leq x}\vartheta_r\left(\frac{x}{p}\right)-r\sum_{p\leq x}\frac{x}{p}\Omega_{r-1}\left(\frac{x}{p}\right)\right)\\
&= (r+1)\sum_{p \leq x}\phi_r\left(\frac{x}{p}\right) \end{align}

を得る。 Q.E.D.

命題 \ \ \ \displaystyle \phi_r(x) = o\left( x(\log \log x)^{r-1}\right).

証明. rに関する帰納法で証明する。r=1のときは

\phi_1(x) = \vartheta_1(x)-x\Omega_0(x) = \vartheta(x)-x=o(x).

最後の等号は素数定理に他ならない:

integers.hatenablog.com

rのときに成立すると仮定すると、

\displaystyle \left|\phi_r(x)\right| = f_r(x)x(\log \log x)^{r-1}

と関数 f_r(x)x \geq eに対して導入すれば \displaystyle \lim_{x \to \infty}f_r(x) = 0 ということになる。つまり、\varepsilon > 0を任意にとると、x_r(\varepsilon)が存在して

\displaystyle f_r(x) < \varepsilon, \quad (x \geq x_r(\varepsilon))

が成り立つ。ここで、帰納法で示す主張を少し強く変更する。すなわち、x \geq eならば常に

\displaystyle f_r(x) < C_r

となるような定数 C_r > 0 の存在を帰納法の仮定に加える。C_1の存在はChebyshevの定理の証明

integers.hatenablog.com

を見ればわかる(この場合はx \geq 1で存在)。帰納法の仮定のもと、r+1の場合にも強い主張が成立することを確かめよう。Mertensの第二定理

integers.hatenablog.com

より或る定数B > 0が存在して、x\geq 2

\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} < \log \log x+B

が成り立ち、

\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x+O(1)

なる漸近公式が成立する。x \geq eのとき、補題1より

\begin{align}\left|\phi_{r+1}(x)\right| &\leq \left(1+\frac{1}{r}\right)\sum_{p \leq \frac{x}{e}}f_r\left(\frac{x}{p}\right)\frac{x}{p}\left(\log \log \frac{x}{p}\right)^{r-1}+O(x) \\
&\leq O\left(x(\log \log x)^{r-1}\sum_{p \leq \frac{x}{e}}\frac{1}{p}f_r\left(\frac{x}{p}\right)\right) –①\\
&\leq O\left(x(\log \log x)^{r-1}\sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\right)\\
&\leq O\left(x(\log \log x)^{r-1}\left(\log \log x+B\right)\right)\end{align}

なので、C_{r+1}の存在がわかる(上記変形におけるOの評価はx\geq eで成立)。また、x \geq x_r(\varepsilon)かつ必要に応じて更に大きく取るとき

\begin{align}\sum_{p \leq \frac{x}{e}}\frac{1}{p}f_r\left( \frac{x}{p}\right) &\leq \varepsilon\sum_{p \leq x/x_r(\varepsilon)}\frac{1}{p}+C_r\sum_{x/x_r(\varepsilon) \leq p\leq \frac{x}{e}}\frac{1}{p} \\
&\leq \varepsilon \log \log \frac{x}{x_r(\varepsilon)} + C_r\log \left(\frac{\log x-1}{\log x-\log x_r(\varepsilon)} \right)+ O(1)\\
&\leq 2\varepsilon \log \log x\end{align}

となって、①よりr+1の場合も主張が成立することが示された。 Q.E.D.

補題2 \ \ \ \displaystyle \Omega_r(x) \sim (\log \log x)^r.

証明. これは、

\displaystyle \left( \sum_{p \leq x^{1/r}}\frac{1}{p}\right)^r \leq \Omega_r(x) \leq \left(\sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\right)^r

\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p}\sim\sum_{p \leq x^{1/r}}\frac{1}{p}\sim (\log \log x)^k

よりわかる。 Q.E.D.

系1 \ \ \ \displaystyle \vartheta_r(x) \sim rx(\log \log x)^{r-1}.

証明. \vartheta_r(x) = rx\Omega_{r-1}(x)+\phi_r(x) なので、命題と補題2から従う。 Q.E.D.

Landauの定理のr=1の場合は素数定理なので、以下 r \geq 2 とする。

系2 \ \ \ \displaystyle \rho_r(x) \sim \frac{rx(\log \log x)^{r-1}}{\log x}.

証明. まず、

\displaystyle \vartheta_r(x) = \sum_{n \leq x}a_r(n) \log n \leq \rho_r(x) \log x

と上から評価でき、\ell(x):= \frac{x}{\log x}とすれば

\displaystyle \vartheta_r(x) \geq \sum_{\ell(x) < n \leq x}a_r(n)\log n \geq \left(\rho_r(x)-\rho_r(\ell(x))\right)\log(\ell(x))

と下から評価できる。a_r(n) \leq r! なので系1より

\displaystyle \rho_r(\ell(x)) = O(\ell(x))=O\left(\frac{x}{\log x}\right) = o\left(\frac{\vartheta_r(x)}{\log x}\right) = o\left(\rho_r(x)\right).

これと \log \ell (x) \sim \log x より、系1から

\displaystyle \rho_r(x) \sim \frac{\vartheta_r(x)}{\log x}\sim \frac{rx(\log \log x)^{r-1}}{\log x}

が成り立つ。 Q.E.D.

nが相異なるr個の素数の積であれば a_r(n)= r! であり、等しいものを含むr個の素数の積の場合はa_r(n) < r!なので

r!\pi_r(x) \leq \rho_r(x) \leq r!\sigma_r(x).

\sigma_r(x)-\pi_r(x)n \leq xn=p_1\cdots p_rと書け、少なくとも2つのp_iは等しいものの個数なので、

\displaystyle \sigma_r(x)-\pi_r(x) \leq \sum_{p_1p_2\cdots p_{r-2}p_{r-1}^2 \leq x}1 \leq \sum_{p_1\cdots p_{r-1}\leq x}1 = \rho_{r-1}(x)

である。つまり、

\displaystyle \pi_r (x) \leq \frac{1}{r!}\rho_r(x) \leq \sigma_r(x) \leq \pi_r(x)+\rho_{r-1}(x)

であり、系2からLandauの定理が導かれる。