インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

691:ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式

Ramanujanの発見した魅力的な数列\tau (n)に関する記事第二弾です!
integers.hatenablog.com

前回は\tau (1)から\tau (100)までの値を眺めましたが、今回は素数に限定して100個眺めてみましょう!

素数pに対する\tau (p)の数値(最初の100個の素数)

\tau(2)= -24=-2^3\times 3
\tau(3)= 252=2^2\times 3^2\times 7
\tau(5)= 4830=2\times 3\times 5\times 7 \times 23
\tau(7)= -16744=-2^3 \times  7\times 13 \times 23
\tau(11)= 534612=2^2\times 3\times 13 \times 23 \times 149
\tau(13)= -577738=-2\times 7\times 29\times 1423
\tau(17)= -6905934=-2\times 3^2\times 7\times 23 \times 2383
\tau(19)= 10661420=2^2\times 5\times 7^2\times 11\times 23\times 43
\tau(23)= 18643272=2^3\times 3\times 617\times 1259
\tau(29)= 128406630=2\times 3\times 5\times 11\times 389111
\tau(31)= -52843168=-2^5\times 7^2\times 67 \times 503
\tau(37)= -182213314=-2\times 23\times 3961159
\tau(41)= 308120442=2\times 3\times 7\times 521\times 14081
\tau(43)= -17125708=-2^2\times 23 \times 186149
\tau(47)= 2687348496=2^4\times 3\times 7\times 7998061
\tau(53)= -1596055698=-2\times 3^3\times 23 \times 1285069
\tau(59)= -5189203740=-2^2\times 3\times 5\times 7\times 29\times 89\times 4787
\tau(61)= 6956478662=2\times 7\times 23\times 59\times 366169
\tau(67)= -15481826884=-2^2\times 23\times 47\times 3580441
\tau(71)= 9791485272=2^3\times 3^2\times 61\times 2229391
\tau(73)= 1463791322=2\times 7 \times 104556523
\tau(79)= 38116845680=2^4\times 5\times 23\times 1721 \times 12037
\tau(83)= -29335099668=-2^2\times 3\times 7\times 23\times 283\times 53653
\tau(89)= -24992917110=-2\times 3^2\times 5\times 7\times 19\times 23^2\times 3947
\tau(97)= 75013568546=2\times 7^2\times 23\times 163\times 204173
\tau(101)= 81742959102=2\times 3\times 7\times 1946260931
\tau(103)= -225755128648=-2^3\times 7\times 23\times 175275721
\tau(107)= 90241258356=2^2\times 3^3\times 23\times 53\times 685453
\tau(109)= 73482676310=2\times 5\times 23 \times 29\times 59\times 186727
\tau(113)= -85146862638=-2\times 3\times 23 \times 617006251
\tau(127)= -262717201024=-2^7\times 18049\times 113717
\tau(131)= 631528759932=2^2\times 3\times 7\times 659\times 11408497
\tau(137)= -297198746214=-2\times 3\times 23 \times 71\times 30332593
\tau(139)= 596793577940=2^2\times 5\times 7\times 31 \times 1873\times 73417
\tau(149)= -1115433620850=-2\times 3\times 5^2\times 23\times 337 \times 959389
\tau(151)= -824447297848=-2^3\times 69191\times 1489441
\tau(157)= 1315116754406=2\times 7\times 13 \times 23^2\times 1721\times 7937
\tau(163)= -357832759588=-2^2\times 89458189897
\tau(167)= 2754833892216=2^3\times 3\times 7\times 16397820787
\tau(173)= -950387449578=-2\times 3\times 7\times 311\times 72759719
\tau(179)= 1681384224780=2^2\times 3^2\times 5\times 13\times  3319\times 216493
\tau(181)= -996774496018=-2\times 7\times 23\times 3095572969
\tau(191)= 2762403350592=2^6\times 3\times 23 \times 37\times 16906601
\tau(193)= 5442387685442=2\times 37\times 73545779533
\tau(197)= -2876091504354=-2\times 3^2\times 149\times 1072368197
\tau(199)= 728391402200=2^3\times 5^2\times 7\times 11 \times 23\times 2056441
\tau(211)= -6793168439188=-2^2\times 4943\times 343575179
\tau(223)= 7334863021472=2^5\times 7\times 107\times 306027329
\tau(227)= -1359839565924=-2^2\times  3\times 7^2\times 23 \times 59\times 83 \times 20533
\tau(229)= -11824411223170=-2\times 5\times 7\times 13 \times 23 \times 443 \times 1275283
\tau(233)= -17563353448518=-2\times 3^2\times 1823\times 21611\times 24767
\tau(239)= -7139577462960=-2^4\times 3\times 5\times 17\times 139\times 599\times 21017
\tau(241)= -231306909358=-2\times 7\times 23 \times 718344439
\tau(251)= 12983053545252=2^2\times 3^2\times 7\times 23 \times 17863\times 125399
\tau(257)= 23961192565506=2\times 3\times 7\times 17\times 41\times 11717\times 69857
\tau(263)= -24273728464488=-2^3\times 3\times 17\times 23\times 2586714457
\tau(269)= 25837706543670=2\times 3^3\times 5\times 7\times 101\times 1906393
\tau(271)= -3767932360528=-2^4\times 7\times 37\times 10501\times 86587
\tau(277)= -16418932005874=-2\times 8209466002937
\tau(281)= 21035722907082=2\times 3\times 13^3\times 23^2\times 11429\times 2111
\tau(283)= 16713176326532=2^2\times 7\times 23 \times 101\times 509\times  504817
\tau(293)= -23926858987458=-2\times 3\times 7^2\times 23 \times 19219\times 184111
\tau(307)= 15311092828556=2^2\times 7\times 31\times 593\times 3079\times 9661
\tau(311)= 49875160575912=2^3\times 3\times 7\times 5659\times 52460851
\tau(313)= -99480832756438=-2\times 7^2\times  23 \times 1031\times 42808187
\tau(317)= 83369248359366=2\times 3\times 283\times 142067\times 345601
\tau(331)= -63584021925868=-2^2\times 137\times 116029237091
\tau(337)= 121001428335986=2\times 11\times 23\times 31 \times 1033\times 2297\times 3251
\tau(347)= -155661561078204=-2^2\times 3\times 12971796756517
\tau(349)= -25643022194650=-2\times 5^2\times 7\times 73265777699
\tau(353)= 24909815245602=2\times 3\times 7\times 137\times 4329130213
\tau(359)= 157584150853560=2^3\times 3^2\times 5\times 23\times 47\times 197\times 2055503
\tau(367)= -177901220129584=-2^4\times 7\times 23 \times 21379\times 3230321
\tau(373)= -55161734023378=-2\times 23 \times 861\times 1361144303
\tau(379)= 146463116322980=2^2\times 5\times 23 \times 31 \times 10270905773
\tau(383)= 231449571733632=2^7\times 3\times 7\times 23 \times 47\times 1987\times 40087
\tau(389)= -149871571611810=-2\times 3\times 5\times 23 \times 4937\times 43995377
\tau(397)= 208110680273846=2\times 7\times 467\times 3853\times 8261339
\tau(401)= -133407937691598=-2\times 3\times 23 \times 383 \times 9029\times 279553
\tau(409)= -206167580638390=-2\times 5\times 7\times 8263 \times 356438479
\tau(419)= 73403515193820=2^2\times 3 \times 5\times 7\times 23 \times 7598707577
\tau(421)= 171111932338622=2\times 11 \times 23 \times 2543 \times 132979109
\tau(431)= -71775829446768=-2^4\times 3^3\times 23 \times 2593 \times 2785891
\tau(433)= 99881248225682=2\times 7\times 11 \times 23 \times 14747\times 1912193
\tau(439)= -29031220908760=-2^3\times 5\times 7\times 1279 \times 81065623
\tau(443)= 328369848718692=2^2 \times 3\times 11 \times 277\times 8980687253
\tau(449)= -612368143631550=-2\times 3^2\times 5^2\times 1360818096959
\tau(457)= 303483032911706=2\times 23 \times 6597457237211
\tau(461)= -729307946668938=-2\times 3\times 7\times 13 \times 17\times 78572284709
\tau(463)= 122188164073712=2^4\times 11\times 167\times 173\times 24030007
\tau(467)= -617380683662484=-2^2\times 3^2\times 7\times 23 \times 106518406429
\tau(479)= 1050837984850080=2^5\times 3\times 5\times 7\times 23 \times 13597800011
\tau(487)= -219909971761864=-2^3\times 107\times 256904172619
\tau(491)= -483863128068108=-2^2\times 3\times 1987\times 2131\times 9522697
\tau(499)= -108877719272500=-2^2\times 5^4\times 19\times 449\times 1907\times 2677
\tau(503)= 506588355787752=2^3\times 3^2\times 7\times 23^2\times 577\times 1151\times 2861
\tau(509)= 85753393288710=2\times 3\times 5\times 7^3\times 173\times 48171463
\tau(521)= 927574652509722=2\times 3^2\times 7^3\times 23 \times 6532123861
\tau(523)= -21818651341228=-2^2\times 7\times 23 \times 71 \times 477181597
\tau(541)= -1695266465052058=-2\times 743 \times 1140825346603


いかがでしょう。ちなみに、この数値例を私は単純作業で書いているのですが書いていて心が洗われる思いでした。

さて、今回は\tau (p)に関するRamanujanの合同式を紹介します。

Ramanujanの合同式 pを素数とするとき、次の合同式が成立する:
\tau (p) \equiv 1+p^{11} \pmod{691}

この合同式は数ある合同式の中でもとびきり美しいものだと感じます。この合同式を知ったときの驚きは今でも忘れません。今も感動しながらこの記事を書いています。

 q(1-q)^{24}(1-q^2)^{24}(1-q^3)^{24} \cdots = \tau (1)q+\tau (2)q^2+\tau(3)q^3+\cdots

という単純な定義式からどうして691が浮かび上がるのでしょう。人はこの合同式を知って素数691に特別の感情を抱かずにいられるでしょうか。

RamanujanのΔおよび\tau (n)が出現したのは

S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): (1916), 159–184.

です。しばらく、この論文の記法を用いていくつかの式をなぞってみましょう*1

まず、

f(x)=x^{\frac{1}{24}}(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots

とします。このとき、f^{24}(q)=\Delta (z)であり、現在ではfではなく\eta (z):=f(q)が使われます。

次に、

\displaystyle f_{24}(q)=\sum_{1}^{\infty}\{r_{2s}(n)-\delta_{2s}(n)\}q^n

とします。ここで、r_s(n)

\phi (q)=1+2q+2q^4+2q^9+\cdots

および

\displaystyle \phi^s (q)=1+2\sum_1^{\infty}r_s(n)q^n

で定義され、\delta_{2s}(n)s4の倍数の場合には

\displaystyle (2^s-1)B_s\sum_{1}^{\infty}\delta_{2s}(n)q^n=s\left( \frac{1^{s-1}q}{1+q}+\frac{2^{s-1}q^2}{1-q^2}+\frac{3^{s-1}q^3}{1+q^3}+\cdots \right)

で定義されます(他の場合にも同様に定義されますが省略します)*2B_sは関-Bernoulli数ですが、絶対値をとっていることに注意します。このとき、Ramanujanは次の関係式を得ています:

691f_{24}(q)=16576f^{24}(-q)-32768f^{24}(q^2)

これから

\frac{691}{64}e_{24}(n)=(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau (\frac{1}{2}(n))

が得られます(e_{24}(n):=r_{24}(n)-\delta_{24}(n))。\tauの値は半整数に対しては0とします。この式においてn=pを考えればRamanujanの合同式が得られます。

現代の記法で証明を読みたければ例えば岩波書店の「数論Ⅱ」に証明が載っていますし、tsujimotterさんの記事でも解説されているのでWeb上で読むこともできます:
tsujimotter.hatenablog.com

ですが、今回は証明は脇に置いておきましょう。

Ramanujanの合同式という非常に美しい合同式をもっと味わいたい!!

というわけで、最初の数値例でRamanujanの合同式が成立していることを全て確認することがこの記事の目的です:

(1+2^{11})-\tau (2) = 2073 = 691\times 3
(1+3^{11})-\tau (3) = 176896 = 691\times 2^8
(1+5^{11})-\tau (5) = 48823296 = 691\times 2^{10}\times 3\times 23
(1+7^{11})-\tau (7) = 1977343488 = 691\times 2^9\times 3^5\times 23
(1+11^{11})-\tau (11) = 285311136000 = 691\times 2^8\times 3\times 5^3\times 11\times 17\times 23
(1+13^{11})-\tau (13) = 1792160971776 = 691\times 2^{10}\times 3^5\times 7\times 1489
(1+17^{11})-\tau (17)=34271903213568 =691\times 2^{11}\times 3^2\times 23 \times 116993
(1+23^{11})-\tau(23) =952809739270656 = 691\times 2^9\times 3\times 23 \times 39030947
(1+29^{11})-\tau(29) =12200509637299200 = 691\times 2^{10}\times 3\times 5^2\times 7\times 32842837
(1+31^{11})-\tau(31) = 25408476949248000= 691\times 2^{11}\times 3^5\times 5^3\times 591091
(1+37^{11})-\tau(37) = 177917621961673728= 691\times 2^{10}\times 3^6\times 23 \times 863\times 17377
\begin{equation}\begin{split}(1+41^{11})-\tau(41) &=550329031408128000 \\ &= 691\times 2^{12}\times 3\times 5^3\times 7\times 17\times 1153\times 3779\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+43^{11})-\tau(43) &= 929293739488348416\\ &= 691\times 2^8\times 3^5\times 7\times 13 \times 23 \times 10329029\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+47^{11})-\tau(47) &= 2472159212396663808\\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 17\times 68505944237\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+53^{11})-\tau(53) &= 9269035930968247296\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^3\times 23 \times 503 \times 1669\times 25127\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+59^{11})-\tau(59) &= 30155888449927046400\\ &= 691\times 2^8\times 3\times 5^2\times 11^2\times 17\times 23^2 \times 2088829\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+61^{11})-\tau(61) &= 43513917604479360000\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 5^4\times 19\times 23 \times 29\times 89\times 359\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+67^{11})-\tau(67) &= 122130132920449843968\\ &= 691\times 2^8\times 3^5\times 23 \times 79\times 16363\times 95561\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+71^{11})-\tau(71) &= 231122292111910080000\\ &= 691\times 2^9\times 3^2\times 5^4\times 7\times 29\times 572104367\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+73^{11})-\tau(73) &= 313726685566895917056\\ &= 691\times 2^{11}\times 3^7\times 13^2\times 19\times 107\times 295033\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+79^{11})-\tau(79) &= 74799381048940408320\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 5^2\times 23\times 103 \times 73452851\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+83^{11})-\tau(83) &= 128783141856742093593\\ &= 691\times 2^8\times 3\times 7\times 13 \times 23 \times 977 \times 1186741027\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+89^{11})-\tau(89) &= 2775173073791983257600\\ &= 691\times 2^{11}\times 3^2\times 5^2\times 23 \times 378941106829\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+97^{11})-\tau(97) &=7153014030805790558208 \\ &= 691\times 2^{11}\times 3^5\times 7^2\times 23 \times 3371 \times 5475101\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+101^{11})-\tau(101) &=11156683466571422592000 \\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 5^3\times 23 \times 47\times 11173 \times 151357\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+103^{11})-\tau(103) &= 13842338707470210909696\\ &= 691 \times 2^9\times 3^5\times 17\times 23 \times 62801 \times 6557101\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+107^{11})-\tau(107) &= 21048519522908107692288\\ &= 691 \times 2^8\times 3^3\times 19^2\times 23 \times 530768010263\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+109^{11})-\tau(109) &= 25804264052980595174400\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^6\times 5^2\times 23 \times 3433 \times 25342199\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+113^{11})-\tau(113) &= 38358611506206268440576\\ &= 691\times 2^{14} \times 3\times 7\times 23 \times 7014839857063\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+127^{11})-\tau(127) &= 138624799340583695720448\\ &= 691\times 2^{13}\times 3^6\times 7\times 4798962664553\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+131^{11})-\tau(131) &= 194977389846210180576000\\ &= 691\times 2^8\times 3\times 5^3\times 29\times 31 \times 103 \times 331\times 4691 \times 20443\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+137^{11})-\tau(137) &= 319099584516481895190528\\ &= 691\times 2^{12}\times 3\times 23 \times 29\times 53\times 5081 \times 209226211\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+139^{11})-\tau(139) &= 374250856382777922105600\\ &= 691\times 2^8\times 3^5\times 5^2 \times 7\times 293 \times 11273 \times 15062371\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+149^{11})-\tau(149) &= 803616698648563301760000\\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 5^4\times 23 \times 356453 \times 73882157\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+151^{11})-\tau(151) &= 930564370501668942912000\\ &= 691\times 2^9\times 3^5\times 5^3\times 17\times 4969\times 1025095217\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+157^{11})-\tau(157) &= 1 428552404461870902770688\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 11\times 23 \times 131 \times 250680228593\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+163^{11})-\tau(163) &= 2158060662624317923166976\\ &= 691\times 2^8\times 3^6\times 9743\times 70753\times 24276191\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+167^{11})-\tau(167) &= 2817611963460404057568768\\ &= 691\times 2^9\times 3\times 7\times 23^2\times 6829\times 54091 \times 1940779\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+173^{11})-\tau(173) &= 4154388758502644377721856\\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 23^3\times 191 \times 134683\times 6252853\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+179^{11})-\tau(179) &= 6044819549313025309075200\\ &= 691\times 2^8\times 3^2\times 5^2\times 71\times 41897 \times 102547\times 497873\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+181^{11})-\tau(181) &= 6 830686029299979288960000\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^6\times 5^4\times 7\times 23 \times 131599093541\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+191^{11})-\tau(191) &= 12341474201972031785472000\\ &= 691\times 2^{12}\times 3\times 5^3\times 23 \times 29\times 11827\times 1473999533\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+193^{11})-\tau(193) &= 13839818640537392465135616\\ &= 691\times 2^{11}\times 3^5\times 941\times 3407\times 22031 \times 569797\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+197^{11})-\tau(197) &= 17343170265608117438635008\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^2\times 7\times 563\times 6991037378944673\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+199^{11})-\tau(199) &= 19381341794578584926400000\\ &= 691\times 2^9\times 3^6\times 5^5\times 23 \times 897593\times 1164799\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+211^{11})-\tau(211) &= 36906852424977876654432000\\ &= 691\times 2^8\times 3^5\times 5^3\times 7\times 23^2\times 47\times 131413\times 300319\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+223^{11})-\tau(223) &= 67819329772610001703520256\\ &= 691\times 2^{11}\times 3^5\times 7\times 19\times 23^2\times 601\times 4663988117\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+227^{11})-\tau(227) &= 82467803819584476905749248\\ &= 691\times 2^8\times 3\times 23 \times 3023\times 9203\times 42961 \times 5652953\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+229^{11})-\tau(229) &= 90821841990854294869171200\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 5^2\times 23 \times 2398523 \times 382996051\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+233^{11})-\tau(233) &= 109879109551328015865563136\\ &= 691\times 2^{11}\times 3^2\times 1327\times 6501202584031189\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+239^{11})-\tau(239) &= 145337240630179500511257600\\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 5^2\times 7\times 643\times 608455232290277\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+241^{11})-\tau(241) &= 159289617104504459792640000\\ &= 691\times 2^{11}\times 3^5\times 5^4\times 23 \times 1039\times 31013429533\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+251^{11})-\tau(251) &= 249121342886669949215520000\\ &= 691\times 2^8\times 2^2\times 5^4\times 7\times 11\times 13\times 23 \times 10874479610881\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+257^{11})-\tau(257) &= 323045991615968887256383488\\ &= 691\times 2^{19}\times 3\times 31\times 881\times 41959\times 259377563\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+263^{11})-\tau(263) &= 416402409029855744351755776\\ &= 691\times 2^9\times 3\times 23 \times 3191609\times 5344492\times 269593\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+269^{11})-\tau(269) &= 533672814240275893767244800\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^3\times 5^2\times 28547\times 391410821007977\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+271^{11})-\tau(271) &= 578978183833812191760768000\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^9\times 5^3\times 23^2\times 42533\times 14780911\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+277^{11})-\tau(277) &= 736677591779515757792283648\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 17\times 73\times 103\times 705973\times 47478401\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+281^{11})-\tau(281) &= 862520684644167349317888000\\ &= 691\times 2^{11}\times 3\times 5^3\times 7\times 23 \times 821 \times 12295925365621\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+283^{11})-\tau(283) &= 932504187587645816793697536\\ &= 691\times 2^8\times 3^5\times 17\times 23 \times 59\times 281921\times 3335571913\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+293^{11})-\tau(293) &= 1366292938961017196150332416\\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 7^2\times 23 \times 3407\times 3677\times 45588456211\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+307^{11})-\tau(307) &= 2283085260392010340862469888\\ &= 691\times 2^8\times 3^7\times 7\times 23^2\times 733\times 28403\times 76547927\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+311^{11})-\tau(311) &= 2632475144332255002577728000\\ &= 691\times 2^9\times 3\times 5^3\times 31\times 218989\times 2922812856311\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+313^{11})-\tau(313) &= 2824800055000120720967602176\\ &= 691\times 2^{12}\times 3^5\times 23 \times 94815893\times 1883364883\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+317^{11})-\tau(317) &= 3248268229327985539834579968\\ &= 691\times 2^{10}\times 3\times 23^2\times 3583\times 4801\times 168158350837\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+331^{11})-\tau(331) &= 5225260318375475065931424000\\ &= 691\times 2^8\times 3^5\times 5^3\times 43 \times 191 \times 662497\times 1894578649\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+337^{11})-\tau(337) &= 6366912912781294702016176128\\ &= 691\times 2^{13}\times 3^5\times 7\times 23\times 72434149\times 396903937\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+347^{11})-\tau(347) &= 8782622634578209997835902208\\ &= 691\times 2^8\times 3\times 23^2\times 43 \times 1409\times 225079\times 2294113273\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+349^{11})-\tau(349) &= 9355773444073824739902336000\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 5^3\times 7\times 1605103\times 38742216119\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+353^{11})-\tau(353) &= 10605270721642506700563357696\\ &= 691\times 2^{13}\times 3\times 17\times 131\times 2939\times 95414133458977\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+359^{11})-\tau(359) &= 12765532462721774591706662400\\ &= 691\times 2^9\times 3^2\times 5^2\times 23\times 3518113 \times 1981850028343\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+367^{11})-\tau(367) &= 16267720676219106241643578368\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 11\times 13 \times 23 \times 30059\times 956982568739\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+373^{11})-\tau(373) &= 19444516557322941829858323456\\ &= 691\times 2^{10}\times 3^5\times 23 \times 163\times 4793\times 6293467631359\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+379^{11})-\tau(379) &= 23175617242259595289934419200\\ &=691\times 2^8\times 3^6\times 5^2\times 7^2\times 11 \times 23 \times 579868021213891\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+383^{11})-\tau(383) &= 26012764767708687131480334336\\ &=691\times 2^{13}\times 3\times 11\times 23\times 89\times 65519\times 75541\times 13744747\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+389^{11})-\tau(389) &= 30863531265828074626607385600\\ &=691\times 2^{10}\times 3\times 5^2\times 23 \times 139\times 191\times 952424028642481\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+397^{11})-\tau(397) &= 38609624189220660744528964608\\ &=691\times 2^{10}\times 3^6\times 59\times 131\times 3571\times 426773\times 6354479\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+401^{11})-\tau(401) &= 43111000196969224746506496000\\ &=691\times 2^{11}\times 3\times 5^3\times 23 \times 35320024438308848679\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+409^{11})-\tau(409) &= 53574285543133572406876262400\\ &=691\times 2^{12}\times 3^5\times 5^2\times 11\times 211 \times 1342446447654437\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+419^{11})-\tau(419) &= 69880218238265901583693228800\\ &=691\times 2^8\times 3\times 5^2\times 7\times 23 \times 43 \times 101\times 113 \times 6247\times 10671103243\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+421^{11})-\tau(421) &= 73638181357622692751945088000\\ &=691\times 2^{10}\times 3^5\times 5^3\times 7\times 23 \times 769\times 216569\times 127779227\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+431^{11})-\tau(431) &= 95334473350473406114306176000\\ &=691\times 2^{10}\times 3^3\times 5^3\times 13 \times 23 \times 109414229\times 1220262311\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+433^{11})-\tau(433) &= 100315226918403249538575476736\\ &=691\times 2^{11}\times 3^6\times 7\times 17\times 23 \times 97 \times 43499 \times 8419872733\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+439^{11})-\tau(439) &= 116710444381569172391825625600\\ &=691\times 2^9\times 3^5\times 5^2 \times 977\times 4447 \times 644123 \times 19403717\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+443^{11})-\tau(443) &= 128955832196077225114851599616\\ &=691\times 2^8\times 3\times 2393\times 78079\times 1300543191918731\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+449^{11})-\tau(449) &= 149523602156363424956730624000\\ &=691\times 2^{11}\times 3^2\times 5^3\times 23^2 \times 795211 \times 31894304627\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+457^{11})-\tau(457) &= 181584260108050472514592985088\\ &=691\times 2^{12}\times 3^5\times 23 \times 11479053918176055947 \end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+461^{11})-\tau(461) &= 199852773331011951551866752000\\ &=691\times 2^{10}\times 3\times 5^3\times 7\times 107\times 292471 \times 3438240722677\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+463^{11})-\tau(463) &= 209599817996529308551670885376\\ &=691\times 2^{10}\times 3^5\times 7\times 23^3 \times 73 \times 5237 \times 37438603567\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+467^{11})-\tau(467) &= 230401703744465887261895655168\\ &=691\times 2^8\times 3^2\times 11\times 23 \times 5419\times 11579\times 9116212455929\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+479^{11})-\tau(479) &= 304572471562967491285030963200\\ &= 691\times 2^{11}\times 3\times 5\times^2 23 \times 337\times 40123\times 79427\times 116172167\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+487^{11})-\tau(487) &= 365442096185077634968762787328\\ &= 691\times 2^9\times 3^6\times 239\times 2729\times 4513\times 140527\times 3425441\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+491^{11})-\tau(491) &= 399849367486819966472962464000\\ &= 691\times 2^8\times 3\times 5^3\times 7\times 937\times 713 \times 574853\times 1287863887\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+499^{11})-\tau(499) &= 477645842414670775773330528000\\ &= 691 \times 2^8\times 3^5\times 5^3\times  347\times 256178234187085489\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+503^{11})-\tau(503) &= 521492222311600923378235408896\\ &=691\times 2^9\times 3^2\times 7\times 13 \times 23\times 29\times 1048799\times 2572751422469\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+509^{11})-\tau(509) &= 594149321766565022232650726400\\ &=691 \times 2^{10} \times 3\times 5^2\times 11 \times 53 \times 19203826938946668041\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+521^{11})-\tau(521) &= 767741392900400832634341888000\\ &=691\times 2^{12}\times 3^2\times 5^3\times 23 \times 1217\times 8614022945161481\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+523^{11})-\tau(523) &= 800789882655737272830825574656\\ &= 691\times 2^8\times 3^7\times 23 \times 263\times 19213 \times 17810372984869\end{split}\end{equation}
\begin{equation}\begin{split}(1+541^{11})-\tau (541) &= 1161903115387183082 166608256000 \\ &= 691\times 2^{10} \times  3^6 \times 5^3 \times 11 \times 45837167 \times 35739125189\end{split}\end{equation}

素晴らしい。しかも、他の法則も見えてきませんか?例えば次が予測できると思います:

pが奇素数であれば
\tau (p) \equiv 1+p^{11} \pmod{2^8}
が常に成り立つであろう。

実際に、次の定理がLehmerによって証明されています:

定理 pが奇素数であれば、
\tau (p) \equiv 1+p^{11}+8(41+(-1)^{\frac{p-1}{2}})(p-(-1)^{\frac{p-1}{2}})^{2+(-1)^{\frac{p-1}{2}}}\pmod{2^{11}}
が成立する。

p=257のときだけ2の指数が大きい(2^{19} \mid 1+257^{11}-\tau (257))ことが気になります(257と言えばFermat素数)。

今回はここらへんにしてまた次回!

*1:私が眺めた限りでは原論文には\tau (p) \equiv 1+p^{11}\pmod{
691}という式自体は書かれていない??例えばSerreの1968年の論文には同じ式が書いてあります:

f:id:integers:20160513130853p:plain

*2:これは約数総和関数やEisenstein級数と関係しており、実際には全ての自然数nに対して合同式\tau (n) \equiv \sigma_{11}(n)\pmod{691}が成り立ちますが、今回は\tau (p)に焦点を充てているため省略します。