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数、特に整数に関する記事。

Ramanujanの見つけた魅力的な数列

Ramanujanが1916年に発見した数列\tau (n)は今なお数学者を魅了し続ける大変美しい数列です。これは保型形式\Delta (z)のFourier係数として定義されます。z \in \mathfrak{H}に対してq:=e^{2\pi iz}とおくとき(\mathfrak{H}は上半平面)、\Delta (z)は無限積表示

\displaystyle \Delta (z) = q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24} = \sum_{n=1}^{\infty}\tau (n)q^n

を持つため、逐一展開すれば原理的には手計算でも\tau (n)を計算できることが分かります(実際には手計算はすぐ諦めるでしょう笑)。

これから\tau (n)の不思議に迫っていく前に、とりあえずその数値を眺めてみましょう:


\tau (1)= 1
\tau (2)= -24=-2^3\times 3
\tau (3)= 252=2^2\times 3^2\times 7
\tau (4)= -1472=-2^6\times 23
\tau (5)= 4830=2\times 3\times 5\times 7 \times 23
\tau (6)= -6048=-2^5\times 3^3 \times 7
\tau (7)= -16744=-2^3 \times  7\times 13 \times 23
\tau (8)= 84480=2^9\times  3\times  5\times  11
\tau (9)= -113643=-3^4\times 23\times 61
\tau (10)= -115920=-2^4\times 3^2 \times 5\times 7 \times 23
\tau (11)= 534612=2^2\times 3\times 13 \times 23 \times 149
\tau (12)= -370944=-2^8\times 3^2\times 7\times 23
\tau (13)= -577738=-2\times 7\times 29\times 1423
\tau (14)= 401856=2^6\times 3\times 7\times 13\times 23
\tau (15)= 1217160=2^3\times 3^3\times 5\times 7^2\times 23
\tau (16)= 987136=2^{12}\times 241
\tau (17)= -6905934=-2\times 3^2\times 7\times 23 \times 2383
\tau (18)= 2727432=2^3\times 3^5\times 23 \times 61
\tau (19)= 10661420=2^2\times 5\times 7^2\times 11\times 23\times 43
\tau (20)= -7109760=-2^7\times 3\times 5\times 7\times 23^2
\tau (21)= -4219488=-2^5\times 3^2\times 7^2\times 13 \times 23
\tau (22)= -12830688=-2^5\times 3^2\times 13 \times 23 \times 149
\tau (23)= 18643272=2^3\times 3\times 617\times 1259
\tau (24)= 21288960=2^{11}\times 3^3\times 5\times 7\times 11
\tau (25)= -25499225=-5^2\times 79\times 12911
\tau (26)= 13865712=2^4\times 3\times 7\times 29\times 1423
\tau (27)= -73279080=-2^3\times 3^6\times 5\times 7\times 359
\tau (28)= 24647168=2^9\times 7\times 13\times 23^2
\tau (29)= 128406630=2\times 3\times 5\times 11\times 389111
\tau (30)= -29211840=-2^6\times 3^4\times 5\times 7^2\times 23
\tau (31)= -52843168=-2^5\times 7^2\times 67 \times 503
\tau (32)= -196706304=-2^{15}\times 3^2\times 23\times 29
\tau (33)= 134722224=2^4\times 3^3\times 7\times 13 \times 23 \times 149
\tau (34)= 165742416=2^4\times 3^3\times 7\times 23 \times 2383
\tau (35)= -80873520=-2^4\times 3\times 5\times 7^2\times 13\times 23^2
\tau (36)= 167282496=2^6\times 3^4\times 23^2\times 61
\tau (37)= -182213314=-2\times 23\times 3961159
\tau (38)= -255874080=-2^5\times 3\times 5\times 7^2\times 11\times 23\times 43
\tau (39)= -145589976=-2^3\times 3^2\times 7^2\times 29\times 1423
\tau (40)= 408038400=2^{10}\times 3^2\times 5^2\times 7\times 11\times 23
\tau (41)= 308120442=2\times 3\times 7\times 521\times 14081
\tau (42)= 101267712=2^8\times 3^3\times 7^2\times 13\times 23
\tau (43)= -17125708=-2^2\times 23 \times 186149
\tau (44)= -786948864=-2^8\times 3\times 13\times 23^2\times 149
\tau (45)= -548895690=-2\times 3^5\times 5\times 7\times 23^2\times 61
\tau (46)= -447438528=-2^6\times  3^2\times 617\times 1259
\tau (47)= 2687348496=2^4\times 3\times 7\times 7998061
\tau (48)= 248758272=2^{14}\times 3^2\times 7\times 241
\tau (49)= -1696965207=-3\times 7^2\times 11543981
\tau (50)= 611981400=2^3\times 3\times 5^2\times 79\times 12911
\tau (51)= -1740295368=-2^3\times 3^4\times 7^2\times 23\times 2383
\tau (52)= 850430336=2^7\times 7\times 23 \times 29\times 1423
\tau (53)= -1596055698=-2\times 3^3\times 23 \times 1285069
\tau (54)= 1758697920=2^6\times 3^7\times 5\times 7\times 359
\tau (55)= 2582175960=2^3\times 3^2\times 5\times 7\times 13\times 23^2\times 149
\tau (56)= -1414533120=-2^{12}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 23
\tau (57)= 2686677840=2^4\times 3^2\times 5\times 7^3\times 11\times 23\times 43
\tau (58)= -3081759120=-2^4\times 3^2\times 5\times 11\times 389111
\tau (59)= -5189203740=-2^2\times 3\times 5\times 7\times 29\times 89\times 4787
\tau (60)= -1791659520=-2^9\times 3^3\times 5\times 7^2\times 23^2
\tau (61)= 6956478662=2\times 7\times 23\times 59\times 366169
\tau (62)= 1268236032=2^8\times 3\times 7^2\times 67 \times 503
\tau (63)= 1902838392=2^3\times 3^4\times 7\times 13\times 23^2\times 61
\tau (64)= 2699296768=2^{18}\times 7\times 1471
\tau (65)= -2790474540=-2^2\times 3\times 5\times 7^2\times 23\times 29\times 1423
\tau (66)= -3233333376=-2^7\times 3^4\times 7\times 13\times 23 \times 149
\tau (67)= -15481826884=-2^2\times 23\times 47\times 3580441
\tau (68)= 10165534848=2^7\times 3^2\times 7\times 23^2\times 2383
\tau (69)= 4698104544=2^5\times 3^3\times 7\times 617\times 1259
\tau (70)= 1940964480=2^7\times 3^2\times 5\times 7^2\times 13\times 23^2
\tau (71)= 9791485272=2^3\times 3^2\times 61\times 2229391
\tau (72)= -9600560640=-2^9\times 3^5\times 5\times 11\times 23 \times 61
\tau (73)= 1463791322=2\times 7 \times 104556523
\tau (74)= 4373119536=2^4\times 3\times 23 \times 3961159
\tau (75)= -6425804700=-2^2\times 3^2\times  5^2\times 7\times 79\times 12911
\tau (76)= -15693610240=-2^8\times 5\times 7^2\times 11\times 23^2\times 43
\tau (77)= -8951543328=-2^5\times 3\times 7\times 13^2\times 23^2\times 149
\tau (78)= 3494159424=2^6\times 3^3\times 7^2\times 29\times 1423
\tau (79)= 38116845680=2^4\times 5\times 23\times 1721 \times 12037
\tau (80)= 4767866880=2^{13}\times 3\times 5\times 7\times 23 \times 241
\tau (81)= 1665188361=3^8\times 253801
\tau (82)= -7394890608=-2^4\times 3^2\times 7\times 521 \times 14081
\tau (83)= -29335099668=-2^2\times 3\times 7\times 23\times 283\times 53653
\tau (84)= 6211086336=2^{11}\times 3^2\times 7^2\times 13\times 23^2
\tau (85)= -33355661220=-2^2\times 3^3\times 5\times 7^2\times 23^2\times 2383
\tau (86)= 411016992=2^5\times 3\times 23 \times 186149
\tau (87)= 32358470760=2^3\times 3^3\times 5\times 7\times 11\times 389111
\tau (88)= 45164021760=2^{11}\times 3^2\times 5\times 11\times 13\times 23\times 149
\tau (89)= -24992917110=-2\times 3^2\times 5\times 7\times 19\times 23^2\times 3947
\tau (90)= 13173496560=2^4\times 3^6\times 5\times 7\times 23^2\times 61
\tau (91)= 9673645072=2^4\times 7^2\times 13\times 23\times 29\times 1423
\tau (92)= -27442896384=-2^9\times 3\times 23 \times 617\times 1259
\tau (93)= -13316478336=-2^7\times 3^2\times 7^3\times 67\times 503
\tau (94)= -64496363904=-2^7\times 3^2\times 7\times 7998061
\tau (95)= 51494658600=2^3\times 3\times 5^2\times 7^3\times 11\times 23^2\times 43
\tau (96)= -49569988608=-2^{17}\times 3^4\times 7\times 23 \times 29
\tau (97)= 75013568546=2\times 7^2\times 23\times 163\times 204173
\tau (98)= 40727164968=2^3\times 3^2\times 7^2\times 11543981
\tau (99)= -60754911516=-2^2\times 3^5\times 13\times 23^2\times 61\times 149
\tau (100)= 37534859200=2^6\times 5^2\times 23 \times 79\times 12911



この数列は本当に魅力的なため、何度も記事を書くことになると思います。今回は二つだけ事実を紹介します。

一つ目は次の事実です:

定理 数論的関数\tau (n)は乗法的である。すなわち、nmが互いに素ならば
\tau (nm)=\tau (n)\tau (m)
が成り立つ。

上記数値例を眺めてこの公式が成り立つかどうかを確認することはとても楽しい作業です。例えば、100=2^2\times 5^2ですが、

\tau (4)= -1472=-2^6\times 23
\tau (25)= -25499225=-5^2\times 79\times 12911
\tau (100)= 37534859200=2^6\times 5^2\times 23 \times 79\times 12911

より\tau (100)=\tau (4)\tau (25)が成り立っていることが分かります。


もう一つ。数値例に素数が出てこないことが気がかりですが、最小の例はLehmerによって与えられています:

\tau (n)の絶対値が素数となるような最小のnn=63001=251^2であり、
\tau (63001)=-80561663527802406257321747
である。


\tau (n)の世界を探検する前に、是非上記数値例を眺めてご自身で法則を発見してみてください!!